精品解析：山东省青岛市城阳区2025-2026学年八年级上学期中数学试卷

2025—2026学年度第一学期阶段性检测试题 八年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果把电影票上“7排9座”记作，那么表示（ ） A. 2排2座 B. 2排4座 C. 4排2座 D. 4排4座 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 2，3，4 D. 4，5，6 3. 如图是小明家相对于学校的位置图，下列描述能确定小明家位置的是（ ） A. 在距离学校处 B. 在学校的北偏西方向 C. 在学校的北偏西方向处 D. 在学校的北偏西方向处 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（ ） A. 正方形的面积与边长之间的关系 B. 等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C. 铅笔每支2元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 D. 小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 6. 如图，的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接方格的交点A，B，线段的长度为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个棱长为60厘米的正方体快递包裹，在顶点A处有一只蚂蚁．蚂蚁沿着正方体的表面爬行，从顶点A爬到顶点B的最短路程是（ ） A. 厘米 B. 120厘米 C. 厘米 D. 厘米 8. 一次函数与正比例函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若一个数的平方根为，则这个数是___________． 10. 某战斗机空中展示的队形是轴对称图形，以飞机D，E所在的直线为x轴，以队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机B的坐标为，则飞机C的坐标为________． 11. 我国东汉时期数学家张衡首先推导出圆周率的近似值为，到南北朝时期，数学家祖冲之又给出圆周率分数形式的近似值为，试判断这两个数的大小关系：________．（填“”或“”） 12. 在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为3，则点的坐标为________． 13. 已知直线l与直线平行，且经过点，则直线l所对应的函数表达式为________________________． 14. 观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律． 1 1 已知，则__________． 15. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为__________尺． 16. A，B两地相距4000米，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．，分别表示甲、乙两人离开A地的距离（米）与时间（分钟）之间的关系，下列结论： ①乙先出发10分钟，甲才出发； ②甲的速度是100米/分钟； ③乙出发时，甲在乙前面1000米； ④甲、乙相遇时，他们离开A地3200米． 正确的是________．（填写序号） 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知点在函数的图象上，求的算术平方根与立方根的和． 19. 在中，，，．点从点出发沿方向匀速运动，速度为；点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示线段和的长； （2）当时，求的长； （3）当为等腰直角三角形时，求的值． 20. 以天安门广场所在位置为原点，图中小正方形的边长为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）地坛公园的坐标为_________，朝阳公园的坐标为_________； （2）若北京奥林匹克公园位于天安门广场正上方8个单位长度，则北京奥林匹克公园的坐标为_________； （3）现准备在处建一个公园，请你标出公园的位置． 21. 某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子到菜市场售卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价见下表： 价格 黄瓜 茄子 批发价（元/千克） 2 零售价（元/千克） 该蔬菜经营户当日批发了黄瓜和茄子共千克，设批发了黄瓜x千克，当日总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）若当日的总利润为元，求当日批发了茄子多少千克． 22. 图①是一个由27个同样大小的小正方体组成的大正方体，它的体积为． （1）这个大正方体的棱长是________m； （2）图①中正方形的面积是________； （3）建立如图②所示的平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，在轴上截取，则点的坐标为________． 23. 【知识背景】 在实数范围内，我们学过有理数和无理数．通过运算我们发现：任意一个有理数与一个无理数的和为无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积为无理数；0与无理数的积为0． 由以上信息可知： 如果，其中m，n为有理数，为无理数，那么，． 运用上述知识解决下列问题： 【基础应用】 已知，且，其中m，n为有理数，则的值为________，的值为________； 【进阶拓展】 已知a，b，c均为有理数，且，求与的等量关系； 【实际应用】 制作一个直角三角形木架，其中一条直角边的长度为分米，另一条直角边的长度为分米，斜边长度为分米，其中a，b，c均为有理数，求的值． 24. 如图①，一次函数的图象与坐标轴交于点，，一次函数的图象与的图象交于点，与轴相交于点． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）点是轴上的一动点，请你直接写出的最小值； （4）如图②，点为线段上的一个动点，连接．将沿直线翻折，是否存在点使得点恰好落在轴上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期阶段性检测试题 八年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果把电影票上“7排9座”记作，那么表示（ ） A. 2排2座 B. 2排4座 C. 4排2座 D. 4排4座 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用有序数对表示位置，根据题干中“7排9座”记作的规则，第一个数字表示排，第二个数字表示座，即可得出结果． 【详解】解：∵表示7排9座， ∴表示2排4座， 故选B． 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 2，3，4 D. 4，5，6 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A，最长边为，，不能构成三角形，不符合题意． 选项B，最长边为，计算得，，，能作为直角三角形三边长，符合题意． 选项C，最长边为，计算得，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意． 选项D，最长边为，计算得，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意． 3. 如图是小明家相对于学校的位置图，下列描述能确定小明家位置的是（ ） A. 在距离学校处 B. 在学校的北偏西方向 C. 在学校的北偏西方向处 D. 在学校的北偏西方向处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，解决本题的关键是理解方向角的含义．根据方向角的定义，可得答案． 【详解】解：由题意得：方向角为北偏西， 所以小明家相对于学校的位置，在学校的北偏西方向处， 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据点坐标分别判断出横坐标和纵坐标的符号，从而就可以判断改点所在的象限． 【详解】解：， ，， 满足第二象限的条件． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中点的坐标以及象限知识，解题的关键在于熟练掌握各个象限的横纵坐标点的符号特点． 5. 下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（ ） A. 正方形的面积与边长之间的关系 B. 等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C. 铅笔每支2元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 D. 小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义，写出两个变量之间的函数关系式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是正比例函数，不符合题意； B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，是正比例函数，符合题意； D、，不是正比例函数，不符合题意； 故选C． 6. 如图，的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接方格的交点A，B，线段的长度为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，无理数的估算，勾股定理求出的长，夹逼法估算出范围即可． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴； 故选C． 7. 如图，一个棱长为60厘米的正方体快递包裹，在顶点A处有一只蚂蚁．蚂蚁沿着正方体的表面爬行，从顶点A爬到顶点B的最短路程是（ ） A. 厘米 B. 120厘米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，将正方体展开，则，， ∴由勾股定理得， ∴需要爬行的最短路程是厘米， 故选：D． 8. 一次函数与正比例函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据每个选项中图象所过象限，判断出的符号，即可得出结果． 【详解】解：A、一次函数过一，二，四象限，则，则，正比例函数过一，三象限，则，符合题意； B、一次函数过一，二，四象限，则，则，正比例函数过二，四象限，则，不符合题意； C、一次函数过一，二，三象限，则，则，正比例函数过一，三象限，则，不符合题意； D、一次函数过一，三，四象限，则，则，正比例函数过二，四象限，则，不符合题意． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若一个数的平方根为，则这个数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根，熟练掌握此定义是解题的关键．直接利用平方根的定义求解即可． 【详解】解：一个数的平方根是， 这个数是， 故答案为：． 10. 某战斗机空中展示的队形是轴对称图形，以飞机D，E所在的直线为x轴，以队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机B的坐标为，则飞机C的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数即可得到结论． 【详解】解：以队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机B的坐标为，则飞机C的坐标为． 故答案为：． 11. 我国东汉时期数学家张衡首先推导出圆周率的近似值为，到南北朝时期，数学家祖冲之又给出圆周率分数形式的近似值为，试判断这两个数的大小关系：________．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小关系，通过比较两个数的平方值来判断大小关系即可． 【详解】解：∵，， 又∵，， ∴ ， 故． 故答案为： 12. 在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为3，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，象限内点的符号特征，根据平面直角坐标系中第四象限内点的坐标特征，横坐标为正，纵坐标为负，再结合点到坐标轴的距离与坐标的关系进行求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴其横坐标为正，纵坐标为负； 又∵点到轴的距离为4，到轴的距离为3， ∴，． ∴点的坐标为． 故答案为：． 13. 已知直线l与直线平行，且经过点，则直线l所对应的函数表达式为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式．两直线平行自变量系数相等，设直线的表达式为，再代入点求值即可． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：． 14. 观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律． 1 1 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】观察表格总结被开方数与算术平方根的变化规律，对比3和的倍数关系，结合已知的的近似值推导的结果． 【详解】解：观察表格内的对应数值，可总结规律：被开方数每扩大或缩小倍，其算术平方根相应地扩大或缩小倍， ，即被开方数3扩大倍得到， 的算术平方根是3的算术平方根的倍， ， ． 15. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为__________尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为尺， 故答案为：． 16. A，B两地相距4000米，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．，分别表示甲、乙两人离开A地的距离（米）与时间（分钟）之间的关系，下列结论： ①乙先出发10分钟，甲才出发； ②甲的速度是100米/分钟； ③乙出发时，甲在乙前面1000米； ④甲、乙相遇时，他们离开A地3200米． 正确的是________．（填写序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息． 根据函数图象逐一判断即可． 【详解】解：由函数图象可知：①甲先出发10分钟，乙才出发，故不正确； ②甲的速度是米/分钟，正确； ③乙出发时，甲在乙前面米，正确； ④甲、乙相遇时，他们离开A地3200米，正确． 故答案为：②③④． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 已知点在函数的图象上，求的算术平方根与立方根的和． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象，求一个算术平方根和立方根，把点代入函数解析式，求出的值，再根据算术平方根和立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， ∴； 故的算术平方根与立方根的和为12． 19. 在中，，，．点从点出发沿方向匀速运动，速度为；点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示线段和的长； （2）当时，求的长； （3）当为等腰直角三角形时，求的值． 【答案】（1）， （2）cm （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的定义，正确的列出代数式，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）利用勾股定理进行求解即可； （3）根据等腰三角形的定义，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，， ∴； 【小问2详解】 当时，，， ∵， ∴cm； 【小问3详解】 由题意，当为等腰直角三角形时，， ∴， 解得． 20. 以天安门广场所在位置为原点，图中小正方形的边长为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）地坛公园的坐标为_________，朝阳公园的坐标为_________； （2）若北京奥林匹克公园位于天安门广场正上方8个单位长度，则北京奥林匹克公园的坐标为_________； （3）现准备在处建一个公园，请你标出公园的位置． 【答案】（1）， （2） （3） 公园的位置如图所示： 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，正确的求出点的坐标是解题的关键： （1）根据点所在的位置，写出点的坐标即可； （2）根据题意，写出点的坐标即可； （3）根据点的坐标，画出公园的位置，即可． 【小问1详解】 解：由图可知，地坛公园的坐标为，朝阳公园的坐标为； 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意，北京奥林匹克公园的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 略 21. 某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子到菜市场售卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价见下表： 价格 黄瓜 茄子 批发价（元/千克） 2 零售价（元/千克） 该蔬菜经营户当日批发了黄瓜和茄子共千克，设批发了黄瓜x千克，当日总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）若当日的总利润为元，求当日批发了茄子多少千克． 【答案】（1） （2）千克 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件 （1）根据题意可以求得y与x的关系式； （2）根据题意和表格可以求得购买的黄瓜的质量，从而可以解答本题 【小问1详解】 解：由题意可得， 【小问2详解】 解：当日的总利润为元时，则 解得 （千克） 答：当日批发了茄子千克． 22. 图①是一个由27个同样大小的小正方体组成的大正方体，它的体积为． （1）这个大正方体的棱长是________m； （2）图①中正方形的面积是________； （3）建立如图②所示的平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，在轴上截取，则点的坐标为________． 【答案】（1）3 （2）5 （3）或 【解析】 【分析】本题考查立方根的实际应用，勾股定理与网格问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出立方根即可； （2）勾股定理进行求解即可； （3）勾股定理求出的长，进而求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：由题意，这个大正方体的棱长是； 故答案为：3； 【小问2详解】 由题意，小正方形的边长为， 由勾股定理，得； 故正方形的面积是； 故答案为：5； 【小问3详解】 由图可知：， 由勾股定理，得：， ∴， ∴或． 23. 【知识背景】 在实数范围内，我们学过有理数和无理数．通过运算我们发现：任意一个有理数与一个无理数的和为无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积为无理数；0与无理数的积为0． 由以上信息可知： 如果，其中m，n为有理数，为无理数，那么，． 运用上述知识解决下列问题： 【基础应用】 已知，且，其中m，n为有理数，则的值为________，的值为________； 【进阶拓展】 已知a，b，c均为有理数，且，求与的等量关系； 【实际应用】 制作一个直角三角形木架，其中一条直角边的长度为分米，另一条直角边的长度为分米，斜边长度为分米，其中a，b，c均为有理数，求的值． 【答案】[基础应用] ，；[进阶拓展]；[实际应用]2 【解析】 【分析】本题考查了无理数，勾股定理的应用以及二次根式的混合运算，理解题意是解答的关键． [基础应用]根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可； [进阶拓展]先整理成，其中a，b，c均为有理数，再按题干提供的方法求解； [实际应用]利用勾股定理得到得，然后按题干提供的方法求解． 【详解】解：[基础应用] ∵，且，其中m，n为有理数， ∴，则， ∴，， ∴，， 故答案为：，3； [进阶拓展] 由得， ∴， ∴，， ∴，即； [实际应用] 由勾股定理得， 整理，得， ∴，解得． 24. 如图①，一次函数的图象与坐标轴交于点，，一次函数的图象与的图象交于点，与轴相交于点． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）点是轴上的一动点，请你直接写出的最小值； （4）如图②，点为线段上的一个动点，连接．将沿直线翻折，是否存在点使得点恰好落在轴上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）18 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）把代入可求a，根据待定系数法可求出的表达式； （2）求出，根据三角形面积公式求解即可； （3）作点关于x轴的对称点，则，连接交x轴于点P，则的值最小，最小值为，根据勾股定理求出即可； （4）过点B作轴于点H，当点B落在x轴上（记为点）时，如图，由条件可知，由翻折得，根据全等三角形的性质得到，由翻折得，求得，得到轴，于是得到结论． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与的图象交于点，与y轴相交于点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， ∴， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：作点关于x轴的对称点，则，连接交x轴于点P， 则根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知的值最小，最小值为， ∴， ∴的最小值为； 【小问4详解】 解：存在，过点B作轴于点H，当点B落在x轴上（记为点）时，如图， ∴， ∴， 由翻折得， 在和中， ， ∴， ∴， 由翻折得， ∵， ∴， ∴， ∴轴， 当时，则有，解得， ∴， 当时，则有，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折， ∴点A和点B重合，点Q在的垂直平分线上， ∴， 设与x轴的交点为，连接， ∴，即， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $