精品解析：山东济南市历城区济南稼轩学校2026-2027学年上学期八年级期中数学试题

济南稼轩学校八年级期中数学试题 2026.11 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 化简的结果是（ ） A. 4 B. ±2 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 2. 下列运算正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的加法法则、乘法法则，以及算术平方根、立方根的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意． 3. 如图，点、、都在方格纸的格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，利用已知点坐标确定平面直角坐标系是解题的关键． 利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 建立平面直角坐标系如下： 则点C的坐标为．  故选：B． 4. 下列条件中，不能判定是直角三角形的一组条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐项判断能否得到直角三角形即可． 【详解】解：选项：∵ ∴设，， ∴，， ∴，是直角三角形，故选项不符合题意； 选项：∵， ∴设，，，由三角形内角和得解得 ， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 选项：∵， ∴， 又∵， ∴，得， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； 选项：∵， ∴设，则， ∴，， ∴，是直角三角形，故选项不符合题意． 5. 若，是一次函数图象上的两点，则和的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据一次函数的性质，当比例系数时，y随x的增大而增大，由此可比较两点纵坐标的大小． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴ 随的增大而增大， 又∵，的横坐标满足， ∴ ． 故选：A． 6. 有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐是．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童人，竹竿根．根据题意，列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设有牧童人，竹竿根，当每人分6根时，剩余14根，即；当每人分8根时，恰好用完，即．由此可列出方程组． 【详解】解：设有牧童人，竹竿根． 由题意得，， 故选：B． 7. 设地面气温是，如果高度每升高，气温下降，那么气温与高度之间的函数表达式是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据气温地面温度降低的温度，地面气温为，高度每增加气温下降，因此函数表达式为一次函数，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵当高度时，气温；高度每增加，气温下降， ∴气温与高度之间的函数表达式是， 故选：． 8. 一次函数与一次函数（，均为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，掌握相关知识是解题关键．分析每个选项中所过象限确定，的正负，然后与的图象对比验证是否一致． 【详解】解：A：函数的图象经过第一、三、四象限，则，，函数的图象经过第二、三、四象限，故选项A符合题意； B∶ 函数的图象经过第一、二、三象限，则，函数的图象需经过第一、三、四象限，故选项B不符合题意； C∶ 函数的图象经过第一、三、四象限，则，函数的图象需经过第二、三、四象限，故选项C不符合题意； D∶ 函数的图象经过第一、二、四象限，则，时，函数的图象需经过第一、二、三象限，故选项D不符合题意． 故选：A． 9. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 将代入，即可求出的值，即可求解． 【详解】解：关于，的方程组的解是一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， 即方程组的解为： ， 故选：A． 10. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点、、的坐标分别为、、，点是直线与轴的交点，点在直线上，若点关于直线的对称点恰好落在四边形内部（不包括正好落在边上），则的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 以上答案都不对 【答案】C 【解析】 【分析】设交于点，过点作于点，作于点，先利用轴对称的性质和三角形的面积计算求出，，由点恰好落在四边形内部（不包括正好落在边上），可得，，据此建立不等式组，求解即可． 【详解】解：如图所示，设交于点，过点作于点，作于点， ∵点是直线与轴的交点， 令，得， ∴， ∵点、、的坐标分别为、、， ∴，，，轴， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∵点与点关于直线对称， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点恰好落在四边形内部（不包括正好落在边上）， ∴，， ∴ 解不等式①：，即，解得：， 解不等式②：，即，解得：或， 综上：或． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 的整数部分是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据实数的估算，由平方数估算出的近似值可得到整数部分． 【详解】∵3＜＜4， ∴的整数部分是3． 故答案为3． 【点睛】此题考查实数的估算，熟记常见的平方数． 12. 若平面直角坐标系中的两点关于x轴对称，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得a，b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点关于x轴对称， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，以数轴上的2个单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，正方形的边长为2，则正方形的面积为4，设正方形的对角线长为，可得，即可求解． 【详解】解：由题意可得，正方形的边长为2， ∴正方形的面积为， 设正方形的对角线长为， ∴， ∴， ∴点可以看作表示4的点向左平移个单位长度得到的，即点表示的数是． 14. 已知点的坐标为，其中，均为实数，若，满足，则称点为“和谐点”．若点是“和谐点”，则点在第__________象限． 【答案】一或四 【解析】 【分析】根据“和谐点”的定义，将点M的横纵坐标代入满足的等式，分横坐标取和两种情况求解参数，再根据象限内点的坐标特征判断所在象限. 【详解】解：∵点是“和谐点”， ∴其横纵坐标满足，其中横坐标，纵坐标. 分两种情况代入计算： 当时 代入等式得. 展开整理得. 解得. 此时点的坐标为，即，横、纵坐标均为正，位于第一象限. 当时 代入等式得. 展开整理得. 解得. 此时点的坐标为，即，横坐标为正、纵坐标为负，位于第四象限. ∴点可能在第一象限或第四象限. 15. 如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的知识，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．首先根据余角的性质得到，可证明，易得，进而可知，可有；在中，由勾股定理可得，结合可得，然后根据“阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积”求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积 ． 故答案为：15． 三、解答题（共9小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先化简，计算二次根式的除法，再合并同类二次根式即可； （3）根据平方差公式和完全平方公式可以将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可； （4）根据二次根式的乘法和减法计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组解法． （1）方程组中第一个方程已用x表示y，可直接代入第二个方程求解； （2）方程组第一个方程含有分数，先消去分母化为整式方程，再与第二个方程联立使用加减消元法求解． 【小问1详解】 解： 把代入，得 ，解得： 将代入，得 所以方程组的解为． 【小问2详解】 解：原方程组整理得： 将得，解得： 将代入， 得，解得 所以方程组的解为． 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． （1）画出关于轴对称的； （2）的面积是 ； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为8，则点P的坐标是 ． 【答案】（1）如图即为所求， （2）7 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用割补法计算即可得出结果； （3）设点P的坐标为，根据三角形的面积公式列出关于的方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， ∵的面积为8， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 19. 小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：” （1）他把“”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果； （2）他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？ 【答案】（1）4 （2） 设“”处的数字是，则 ， ∴， 解得：， ∴“”处的数字是． 【解析】 【分析】（1）把10代入列式，再计算即可； （2）设“”处的数字是，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： 他计算出的结果为4； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，方程思想的应用，熟记二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键． 20. 如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长是多少？（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理，解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，得， ， 故． 21. 从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 （1）打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ （2）某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 【答案】（1）打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； （2）打折后购买比不打折节省3700元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元，根据题意得：，求解即可得出答案； （2）分别算出每种商品节省的钱，再相加得到总节省金额． 【小问1详解】 解：设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元， 根据题意得：， 解得 答：打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； 【小问2详解】 解：跳绳每根节省：元，100 根共省：元 手球每个节省：元，40 个共省： 元 总计节省： 元 答：共节省 3700 元． 22. 人工智能广泛应用于生活，为人们带来更多便捷．某酒店的机器人小智和小优准备从酒店前台出发，沿相同路线，将物品送至同楼层的库房，它们到达库房后即停止运动．已知小智比小优先出发，且速度保持不变；小优出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小智行走的时间为（单位：分），小智和小优离开前台的路程分别为（单位：米），（单位：米），，与之间的函数图象，分别为如图的线段和折线． （1）前台到库房的路程为 米；小优提速前的速度为 米/分； （2）分别求线段和线段对应的函数表达式（不必写自变量的取值范围）； （3）在小优加速行驶的期间内，小优和小智最远相距 米． 【答案】（1）70，20 （2）， （3）20 【解析】 【分析】（1）前台到库房的路程为图象终点所对应的函数值；小优提速前的速度为米/分； （2）利用待定系数法，解答即可； （3）利用待定系数法，分类解答，比较判断即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得图象终点对应的纵坐标为， 故前台到库房的路程为70米；小优提速前的速度为（米/分）； 【小问2详解】 解：根据题意，得小优出发一段时间后将速度提高到原来的2倍， 此时速度为40米/分， 故运动的时间为（分）， 故， 此时，， 设线段的函数表达式为， 故， 解得， 故线段的函数表达式为， 设线段的函数表达式为， 故， 解得， 故对应的函数表达式． 【小问3详解】 解：根据题意，得，解得， 此时， 根据题意，得， 解得， 故两线的交点坐标为， 当时，， 根据一次函数的性质，随x的增大，函数值减小，得时，取得最大值，（米）， 当时，， 根据一次函数的性质，随x的增大，函数值也增大，得当时，取得最大值，（米）， 当时，当时，小智已到达，此时， 根据一次函数的性质，随x的增大而增大，得当时，取得最大值，（米）， 综上所述，最大值为20米． 23. 阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： （1）与________互为有理化因式，将分母有理化得________； （2）①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： （3）已知整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】（1）， （2）①；②34 （3）a的值是，b的值为 【解析】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算. （1）根据分母有理化的含义可得答案； （2）①由，可得，进一步可得结论；②先把各项分母有理化，再合并即可. （3）把条件化为，再结合实数的性质进一步解答即可. 【小问1详解】 解：∵， ， ∴与互为有理化因式，将分母有理化得. 【小问2详解】 解：①∵， ， 而， ∴， ∴； ② . 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， ， 解得， 即a的值是，b的值为． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与坐标轴交于，两点，点是点关于轴的对称点，直线：与直线交于点，连接． （1）求直线的解析式． （2）在直线有一动点，过点做轴的垂线，交直线于点，交轴于点，且满足，请求出点的坐标． （3）如图2，以为直角边，点为直角顶点，构造等腰，点位于轴上方，点是直线上一点，若，请直接写出的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，解答即可． （2）不妨设，则，，，，根据已知，建立等式解答即可． （3）根据平行线的性质，线段垂直平分线的性质，构造出符合题意的等角，再运用待定系数法，解方程组的思想，求得交点的坐标即可． 【小问1详解】 解：直线：分别与坐标轴交于，两点，点是点关于轴的对称点，直线：与直线交于点， 令，，此时，令，，解得，此时， ，此时， ， ， 解得， 故直线的解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意，不妨设，则，， ，， ， ， 或 解得或， 或． 【小问3详解】 解：过点D作于点G，过点作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，． 由点在第一象限， 故． 设直线的解析式为 ， 解得， 故直线的解析式为． 过点A作，交于点M， 则， 设直线的解析式为 ， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 此时点M的坐标为； 作线段得垂直平分线，交直线于点N，作直线交于点M， 则， ， 设， 根据，得， ， 解得， ， 设直线的解析式为 ， 解得， 故直线的解析式为． 根据题意，得， 解得， 此时点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南稼轩学校八年级期中数学试题 2026.11 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 化简的结果是（ ） A. 4 B. ±2 C. 2 D. -2 2. 下列运算正确的是（       ） A. B. C. D. 3. 如图，点、、都在方格纸的格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中，不能判定是直角三角形的一组条件是（ ）． A. B. C. D. 5. 若，是一次函数图象上的两点，则和的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 不能确定 6. 有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐是．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童人，竹竿根．根据题意，列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 设地面气温是，如果高度每升高，气温下降，那么气温与高度之间的函数表达式是（   ） A. B. C. D. 8. 一次函数与一次函数（，均为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点、、的坐标分别为、、，点是直线与轴的交点，点在直线上，若点关于直线的对称点恰好落在四边形内部（不包括正好落在边上），则的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 以上答案都不对 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 的整数部分是_____． 12. 若平面直角坐标系中的两点关于x轴对称，则的值是_________． 13. 如图，以数轴上的2个单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是________． 14. 已知点的坐标为，其中，均为实数，若，满足，则称点为“和谐点”．若点是“和谐点”，则点在第__________象限． 15. 如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是___________． 三、解答题（共9小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 解方程组： （1） （2） 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． （1）画出关于轴对称的； （2）的面积是 ； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为8，则点P的坐标是 ． 19. 小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：” （1）他把“”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果； （2）他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？ 20. 如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长是多少？（结果保留根号） 21. 从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 （1）打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ （2）某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 22. 人工智能广泛应用于生活，为人们带来更多便捷．某酒店的机器人小智和小优准备从酒店前台出发，沿相同路线，将物品送至同楼层的库房，它们到达库房后即停止运动．已知小智比小优先出发，且速度保持不变；小优出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小智行走的时间为（单位：分），小智和小优离开前台的路程分别为（单位：米），（单位：米），，与之间的函数图象，分别为如图的线段和折线． （1）前台到库房的路程为 米；小优提速前的速度为 米/分； （2）分别求线段和线段对应的函数表达式（不必写自变量的取值范围）； （3）在小优加速行驶的期间内，小优和小智最远相距 米． 23. 阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： （1）与________互为有理化因式，将分母有理化得________； （2）①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： （3）已知整数a，b满足，求a，b的值． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与坐标轴交于，两点，点是点关于轴的对称点，直线：与直线交于点，连接． （1）求直线的解析式． （2）在直线有一动点，过点做轴的垂线，交直线于点，交轴于点，且满足，请求出点的坐标． （3）如图2，以为直角边，点为直角顶点，构造等腰，点位于轴上方，点是直线上一点，若，请直接写出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $