精品解析：甘肃省兰州市第六十一中学2026～2027学年高一上学期期中考试数学试卷

兰化一中2026-2027学年第一学期期中考试 高一数学 2026年11月 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 所以. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】全称命题的否定是特称命题，变量的取值范围不变，并否定原结论，因此原命题的否定为“，”． 3. 设函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据抽象函数定义域的求解规则，即f括号内整体的取值范围与原函数自变量的取值范围一致，列不等式求解即可. 【详解】已知函数的定义域为，即作用的所有对象的取值范围为. 对于函数，其括号内的整体是的作用对象，因此需满足： , 对不等式三边同时加1，可得： 故函数的定义域为. 4. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将代入函数解析式计算得解. 【详解】将代入， 得到，解得. 故选：B. 5. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法求解. 【详解】A选项，，其中，但可正可负，所以无法判断符号，所以A选项错误； B选项，，因为，，所以，所以B选项正确； C选项，，因为可正可负，，所以无法判断的符号，所以C选项错误； D选项，，当时，，所以D选项错误. 6. 已知函数 在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数在上单调递增的充要条件，即“各段自身分别单调递增”且“分界点处的左段函数值不大于右段函数值”，列出不等式组即可求解. 【详解】因为函数 在定义域上是增函数， 所以，解得. 7. 已知，则“成立”是“”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】解不等式得，解方程得， 所以“成立”是“”成立的充要条件. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且，若对任意的，，当时，有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构建，可知是定义在上的奇函数，在内单调递增，结合单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】构建，则的定义域为，显然， 且，可知函数是定义在上的奇函数， 因为，即，则， 由题意可知：在内单调递增，则在内单调递增， 当时，；当时，； 不等式即为，其解集为. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 函数定义域为，则实数的取值范围是 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据同一函数的定义判断A；将问题转化为对任意恒成立，利用数形结合法求解判断B；结合换元法，利用对勾函数单调性求值域判断C；利用方程组法求解析式判断D. 【详解】选项A：的定义域为， 则， 而的定义域也为，定义域、对应法则均相同，是同一个函数，故A正确. 选项B：函数定义域为，即关于的不等式对任意恒成立. 当时，原式化为，恒成立，符合条件； 当时，依题意，需使，解得； 综上，的取值范围是，故B错误. 选项C：由，得， 因函数在上单调递增，则， 即函数的值域为，故C错误. 选项D：已知①， 将替换为，得 ②. ①②，可得，解得，故D正确. 10. 若正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是 C. 的最大值为 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题核心考查基本不等式与二次函数求最值，A、C选项利用基本不等式直接构造或平方后放缩求解最值；B选项利用已知条件代入消元，转化为二次函数配方求最值；D选项巧妙利用常数“1”的代换，展开后结合基本不等式求解. 【详解】已知，且， 对于A选项，由基本不等式可得， 所以，解得，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，故A错误； 对于B选项，由得，因为，所以，即， 将代入中，得， 配方得， 因为在定义域内，所以当时（此时），二次函数取得最小值，故B正确； 对于C选项，由， 由A选项知，所以， 即，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D选项，， 因为，由基本不等式得：， 所以， 当且仅当（即），且（即）时等号成立，故D正确. 11. 定义在R上的函数满足，当时，，则满足（       ） A. B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对； 对于B选项，函数的定义域为R， 令，可得，则， 故函数是奇函数，B对； 对于C选项，任取、且，则， 即 ，所以， 所以，函数为R上的减函数， 所以，在上有最大值，C错； 对于D选项，由于为R上的减函数，由，可得，解得，D对. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由幂函数在上单调递减， 得，解得. 13. 已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【详解】令，的图象如图所示， 由题知与有四个不同的交点，由图知， 所以的取值范围为. 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如，如，.已知，解集为，若函数，且的值域为，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出，再求出函数值域，根据的值域为建立不等式即可得解. 【详解】由的解为，可知，即， ， 当时，， 所以的值域为，又的值域为， 所以且，解得， 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. （1）计算：； （2）若，求及的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可计算； （2）对平方可求得的值，利用立方差公式可求得的值． 【详解】（1）原式． （2）由，两边平方得，故， 于是，． 16. 已知集合，其中为实数，集合． （1）若，求； （2）若集合满足，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式得到集合，解绝对值不等式得到集合，即可求得两集合的交集； （2）由可得，再分和两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 由得，故，解得， 所以． 当时，由得，故， 所以． 【小问2详解】 由得， 当时，，满足； 当时，由得，故， 由得，解得，故， 综上，实数的取值范围为． 17. 已知函数， （1）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）实数的取值范围是 （2） 【解析】 【详解】． （1）依题意，，解得， ∴实数的取值范围是． （2）①当，即时，在上单调递减，∴． ②当，即时，． ③当，即时，在上单调递增，∴． 综上，． 18. 已知函数的定义域是，且满足，． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）函数在上是增函数，证明如下： 由（1）可知，设， 所以 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上是增函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）由条件可得为奇函数，则，先求出的值，然后根据，可求出； （2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行证明即可. （3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案. 【小问1详解】 因为，所以函数为奇函数， 由函数的定义域是，则，得， 又因为，所以， 经检验，当，时，，满足是奇函数， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数是定义在上的奇函数且， 则， 所以，解得， 所以的取值范围是. 19. 设函数. （1）当时，不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对恒成立，求的最大值. 【答案】（1），b=6 （2） 当时，； 当时，； 当时，； 当时，或. （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式对应方程的解结合韦达定理即可求出实数的值；（2）把代入得到一个包含未知参量的一元二次不等式，分类讨论即可；（3）利用换元法结合基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由不等式的解集为可得方程的两根为且， 由根与系数的关系可得：，. 【小问2详解】 由得， 又因为，所以原不等式化为，即， 当时，原不等式化为或； 当时，原不等式化为 当时，不等式的解集为 当时，，由不等式得： 当时，，由不等式得： 综上所述，不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，或. 【小问3详解】 由得， ∵对恒成立， ∴， 化简得，且， 代入得：， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰化一中2026-2027学年第一学期期中考试 高一数学 2026年11月 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则“成立”是“”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且，若对任意的，，当时，有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 函数定义域为，则实数的取值范围是 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 10. 若正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是 C. 的最大值为 D. 的最小值是 11. 定义在R上的函数满足，当时，，则满足（       ） A. B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 13. 已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如，如，.已知，解集为，若函数，且的值域为，则实数的取值范围为_____. 四、解答题（共77分） 15. （1）计算：； （2）若，求及的值． 16. 已知集合，其中为实数，集合． （1）若，求； （2）若集合满足，求实数的取值范围． 17. 已知函数， （1）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （2）若，求的最小值． 18. 已知函数的定义域是，且满足，． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求实数的取值范围． 19. 设函数. （1）当时，不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $