精品解析：广东广州市培英中学2026-2027学年八年级上学期11月期中教育教学评价数学试题

初二数学期中教育教学评价问卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐一观察各选项图形是否存在对称轴． 【详解】解：A.该图形找不到对称轴，不是轴对称图形； B.该图形沿中间竖直线折叠，左右两部分完全重合，是轴对称图形； C.该图形找不到对称轴，不是轴对称图形； D.该图形找不到对称轴，不是轴对称图形． 2. 要与两根长分别为和的木棒围成一个三角形，则第三根木棒的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设第三根木棒的长为． ∵三根木棒构成三角形． ∴． 即． 选项中仅满足条件． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．，计算错误； B、根据积的乘方法则：积的乘方等于各因式分别乘方，再将所得幂相乘．，计算错误； C、根据合并同类项法则：合并同类项时，同类项系数相加，字母和字母指数不变．，计算错误； D、根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，计算正确． 4. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A． ，左边是整式乘积，右边是多项式，不是因式分解． B． ，右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解． C． ，与左边不相等，不是因式分解． D． ，左边是多项式，右边是整式乘积的形式且等式成立，是因式分解． 5. 如图，的面积为18，D、E、F分别是线段、、的中点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵D、E分别是线段、的中点，的面积为18， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴． 6. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法、如图所示，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. 36 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】先证明、，求出，，再根据矩形的面积进而求解即可． 【详解】解：∵D是的中点，四边形是矩形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 7. 我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（ ） A. 36 B. 28 C. 40 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】设两个偶数分别为、（、为整数，），则美丽数，与同奇偶，再逐一验证选项． 【详解】解：设两个偶数分别为、（、为整数，）， 根据定义，美丽数， ，和为偶数， 与同奇偶， 对选项逐一判断： A选项：，，取，，均为奇数，符合同奇偶要求，解得，，存在整数解，因此36是美丽数； B选项：，，取，，均为奇数，符合同奇偶要求，解得，，存在整数解，因此28是美丽数； C选项：，，不存在两个同奇偶的整数相乘得10，因此40不是美丽数 D选项：，，取，，均为偶数，符合同奇偶要求，解得，，存在整数解，因此48是美丽数． 8. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．点的运动速度为，当与全等时，的值是（ ） A. 2 B. 2或 C. 2或 D. 无数个可能结果 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况：当时，当时，结合全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴运动时间，， 此时； 当时，， ∵， ∴， ∴运动时间， 此时； 综上所述，x的值为2或． 9. 如图，点E，F分别在的边，的延长线上，，的角平分线，交于点P，，，垂足分别为M，．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】①过点P作于点H，根据角平分线性质得，再根据点P在的内部得点P在的平分线上，据此可对结论①进行判断；②依据“”判定和全等，和全等得，，由此得，进而得，据此可对结论②进行判断；③根据和全等，和全等得，，由此得，据此可对结论③进行判断；④设，则，，，由此可得，进而得当时，，依题意可知不一定等于，据此可结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①过点P作于点H，如图所示： 是的平分线，，， ， 是的平分线，，， ， ， 又点P在的内部， 点P在的平分线上， 平分，故结论①正确； ②，， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， ， ，故结论②不正确； ③，， ，， ， 又， ，故结论③正确； ④设， 在中，， ，， ， 当时，，即当时，， 依题意可知：不一定等于， 不一定等于，故结论④不正确， 综上所述：正确结论的序号是①③，共2个． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 10. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点与相交于点，若点是的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等知识，证明是等腰直角三角形，从而证明，根据全等三角形的性质即可证明结论，证明是等腰直角三角形，可得，可得，即可证明结论，解题的关键是根据题意证明三角形全等，根据性质证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①②③符合题意， 如图，过点D作于点F，则， ， ， ， ∵点E是的中点， ， ，， ， ， ，故④符合题意， 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 命题“若，则”的逆命题是___________________． 【答案】若，则 【解析】 【分析】本题考查逆命题的定义，将原命题的条件与结论互换，即可得到它的逆命题． 【详解】原命题条件：，结论：； 互换条件和结论，得到逆命题：若，则． 12. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同底数幂乘法的逆运算，将变形为，代入已知数值计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，可得， ∵，， ∴代入计算得． 13. 已知，，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键． 14. 把式子化简的结果为___________． 【答案】 【解析】 【分析】在原式前乘，其值为不改变原式结果，再连续利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】解： ． 15. 定义：有两个内角的差为的三角形叫作“反直角三角形”，在中，，点为直线上一点，若为“反直角三角形”，则的度数为__________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】求出，分三种情况进行解答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 当点为线段上一点，，设，，则， ∴， 根据定义分情况讨论： ①若，则， ∴，符合题意； ②若，则，不符合点P在线段上的条件，舍去； ③若，则， 代入得到， 解得， ∴，符合题意； ④若，则， 代入得到，解得，不符合题意； 当点在线段的延长线上，即点P在点右侧时，，同理可得，，其中设，，分情况讨论： ①若，则 ∴，符合题意； ②若，则代入得到，解得，， ∴，符合题意； ③其余情况均得到负角度或，不合题意，舍去， 当点在线段的延长线上，即点P在点左侧时，， ∴其余两个内角和为，最大内角为， 若，解得，，不可能存在，其余情况内角差不可能达到，故此情况无符合条件的解， 综上，的度数为或或或． 16. 如图，在中，，，，平分交于点D，过点D作交于点E，P是上的动点，Q是上的动点，则的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，判断出点Q关于直线的对称点必在上是解本题的关键． 过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，时，连接，，进而判断出，得出，即可判断出垂直于时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ， 是的平分线， ， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， 在上取一点，使，连接，， ， ∴， ， ，假设点Q是定点，点B，P，共线时，取最小， 点Q是动点， 当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为： 三、解答题（本题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 将下列各式分解因式 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用平方差公式分解因式； （2）用提公因式法和完全平方公式分解因式 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 如图，已知平分．求证：． 【答案】 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用角平分线的定义得到一组对应角相等，结合已知的边相等和公共边，证明两个三角形全等，再根据全等三角形对应角相等即可得证． 【详解】略 19. 在中，是的两倍，比大，求的度数． 【答案】的度数为． 【解析】 【分析】设的度数为x，则、，再根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：设的度数为x，则、， 由题意可得：，解得：． 所以的度数为． 20. 求值： （1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求与的值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， 当时，原式． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 21. 尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）如图①，在已知的内部求作一点，使得点到三角形三条边的距离相等； （2）如图②，在边上找一点，使的周长等于； 【答案】（1）如图，分别作、的角平分线，交于点，根据角平分线的性质，点到、的距离相等，到、的距离也相等，因此，点到三条边的距离相等，点即为所求． （2）如图，以B、C为圆心，以相同且大于的长度为半径画弧，交于E、F，连接，交于点D，连接，点D即为所求． 【解析】 【分析】（1）要求点O到三条边的距离相等，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，可以利用三角形两个内角的角平分线交点确定所求点． （2）要求的周长等于，将周长条件转化为线段相等，得到，根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，要使，则点D在线段的垂直平分线上，所以作线段的垂直平分线，它与的交点D即可满足要求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决整式的一些问题，观察下列式子； ①． ， ，因此式子有最小值； ②． ， ，因此式子有最大值4． 请你根据上述材料，完成下列问题： （1）求式子的最小值； （2）求式子的最大值． 【答案】（1）最小值为 （2）最大值为 【解析】 【分析】（1）仿照例题化为的形式，由平方项非负求最小值； （2）先提取负号，再仿照例题化为的形式，由平方项非正求最大值． 【小问1详解】 解：． ， ． 当时，该式子取得最小值． 【小问2详解】 解： ． ， ． 当时，该式子取得最大值． 23. 阅读材料，完成下列问题： 【背景】重心是一个物体受力的平衡点，每一个平面图形都有重心．例如： 材料一：“探究学习小组”发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有．例如：如图1，是一个呈“”形的平面组合图形（每个角都是直角），延长线段将图形分割成左、右两个矩形，重心分别为． （1）如图1，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则点的坐标如图1所示，计算得此“”形的重心坐标为______． 材料二：三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一个三脚架从重心处将三角形平稳支撑起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图2中，的值是多少？ （2）【解决问题】如图2所示：若的面积为，______，______． （3）【解决问题】如图2所示：求的值． （4）【拓展应用】如图3，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1） （2），； （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出、，然后代入重心坐标公式即可； （2）根据三角形重心性质求解即可； （3）根据三角形重心性质得到， （4）根据三角形重心性质得到，，连接，得到． 【小问1详解】 解：四边形和四边形是矩形， ，， ， ， ，，， 是的中点， ，即， 是的中点， ，即， ，， ，， “”形的重心坐标为； 【小问2详解】 解：是的重心，即点分别是边、、的中点， ， ， ， 同理可得，，， ， ； 【小问3详解】 解；由（2）得， ， 【小问4详解】 解：由（3）得，， ，， ，， ， ，， 如图，连接， ，， ． 24. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1． （1）已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段与、的数量关系为________； （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由； （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 【答案】（1） （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图所示，过点E作于点M，过点G作交的延长线于点N， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴； ∵在中，是边上的高， ∴，即， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的中点． 【解析】 【分析】（1）由垂线的定义得到，证明，则可证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）证明，则可证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （3）过点E作于点M，过点G作交的延长线于点N，同理证明，，推出，再证明，得到，即可证明是的中点． 【小问1详解】 解：∵直线，直线，垂足分别为点、， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 【基础巩固】（1）如图1，在与中，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，三点在一条直线上，与交于点，若点为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，与中，，与交于点的面积为72，求的长． 【答案】 （1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）①；②；（3） 【解析】 【分析】（1）由证即可； （2）①同（1）得，得，即可得出结论； ②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论； （3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）①，， ， ， 同（1）得：， ， ； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ， 点F为中点， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、算术平方根，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学期中教育教学评价问卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 要与两根长分别为和的木棒围成一个三角形，则第三根木棒的长可以是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的面积为18，D、E、F分别是线段、、的中点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4.5 D. 5 6. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法、如图所示，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. 36 D. 60 7. 我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（ ） A. 36 B. 28 C. 40 D. 48 8. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．点的运动速度为，当与全等时，的值是（ ） A. 2 B. 2或 C. 2或 D. 无数个可能结果 9. 如图，点E，F分别在的边，的延长线上，，的角平分线，交于点P，，，垂足分别为M，．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点与相交于点，若点是的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 命题“若，则”的逆命题是___________________． 12. 若，，则______． 13. 已知，，则______． 14. 把式子化简的结果为___________． 15. 定义：有两个内角的差为的三角形叫作“反直角三角形”，在中，，点为直线上一点，若为“反直角三角形”，则的度数为__________． 16. 如图，在中，，，，平分交于点D，过点D作交于点E，P是上的动点，Q是上的动点，则的最小值为______． 三、解答题（本题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 将下列各式分解因式 （1）； （2）． 18. 如图，已知平分．求证：． 19. 在中，是的两倍，比大，求的度数． 20. 求值： （1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求与的值． 21. 尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）如图①，在已知的内部求作一点，使得点到三角形三条边的距离相等； （2）如图②，在边上找一点，使的周长等于； 22. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决整式的一些问题，观察下列式子； ①． ， ，因此式子有最小值； ②． ， ，因此式子有最大值4． 请你根据上述材料，完成下列问题： （1）求式子的最小值； （2）求式子的最大值． 23. 阅读材料，完成下列问题： 【背景】重心是一个物体受力的平衡点，每一个平面图形都有重心．例如： 材料一：“探究学习小组”发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有．例如：如图1，是一个呈“”形的平面组合图形（每个角都是直角），延长线段将图形分割成左、右两个矩形，重心分别为． （1）如图1，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则点的坐标如图1所示，计算得此“”形的重心坐标为______． 材料二：三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一个三脚架从重心处将三角形平稳支撑起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图2中，的值是多少？ （2）【解决问题】如图2所示：若的面积为，______，______． （3）【解决问题】如图2所示：求的值． （4）【拓展应用】如图3，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 24. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1． （1）已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段与、的数量关系为________； （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由； （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 25. 【基础巩固】（1）如图1，在与中，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，三点在一条直线上，与交于点，若点为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，与中，，与交于点的面积为72，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $