精品解析：广东深圳市高级中学2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

高级中学2026-2027学年第一学期期中试卷 初二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分 选择题 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我们把可以构成一个直角三角形三边的正整数称为勾股数，下列所给的几组数据中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将第一象限的“小旗”各点的纵坐标分别乘，横坐标保持不变，符合上述要求的图形是（ ） A. B. C. D. 4. 观察表格和图象，下列判断正确的是（ ） 1 1 2 3 4 A. 是的函数，不是的函数 B. 和都是的函数 C. 和都不是的函数 D. 不是的函数，是的函数 5. 已知关于的函数（为常数）是正比例函数，且点、是该函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直角三角形中，，，在轴上，且点的横坐标为．若以点为圆心，的长为半径作弧交轴的正半轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知1号探测气球从海拔5米处出发，以的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15米处出发，以的速度上升．两个气球都上升了．图象表示两个探测气球的海拔高度差（单位：）与上升时间（单位：）之间的函数图象．下列说法正确的是（ ） A. 点纵坐标为15 B. 时刻，1号气球的海拔高度为30 C. 当时， D. 点纵坐标为20 8. 将两个全等的直角三角形如图放置，，点，，共线，，．连接，取的中点，连接，则的长为（ ）． A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 请写出一个随增大而减小的一次函数的表达式：________． 10. 如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是______． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围为______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上．若，则___________． 13. 如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿折叠到，连接，此时点，，恰好共线．平分交于点，此时_________． 三、解答题：（本大题共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）作关于轴的对称图形； （2）点的坐标为 ；点到轴的距离为 ；点到轴的距离为 ； （3）在轴上有一动点，试通过画图直接写出使取得最小值的点的坐标（不写作法，保留作图痕迹） ． 16. 二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． （1）求的平方根： （2）若，求的值． 17. 如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为． （1）一辆卡车装满货物后，高为，宽为，要开进该隧道．若隧道是单行道，此卡车能通过该隧道吗？请说明理由． （2）为了适应车流量的增加，现把隧道改为双行道，要使宽为，高为的卡车能安全通过，那么此隧道的宽度至少需要增加到多少米？ 18. 小颖根据学习函数的经验，想对函数的图象和性质进行探究．通过查阅资料，小颖了解到该函数的含义是：当时，；当时，，请你帮她继续完成探究． （1）在自变量的取值范围内，与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 4 5 6 … 2 1 0 1 2 4 … 其中 ； （2）在平面直角坐标系中，已知函数的部分图象如图所示，请补全函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ； （3）已知函数的图象与函数的图象关于轴对称． ①请在图中画出函数的图象； ②把函数与函数的图象合称为图象，若点与点均在图象上，则的值为 ． 19. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． （1）若三边长分别是，和，则此三角形 常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若是常态三角形，两条直角边长为、（），斜边长为，且，请求出此三角形的另一直角边及斜边的长； （3）如图，在中，，，，若是常态三角形，求的面积． 20. 探究与应用 【问题初探】 （1）在长方形的内部任取一点P，将点P与长方形的四个顶点分别连接，则线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图1，过点P作， 垂足分别为：点M、N、G、H．（易得四边形和四边形均为长方形） 在中，∵，∴．① 在中，∵，∴．② 在中，∵，∴．③ 在中，∵，∴ ④ 由①③得：． 由②④得：…… ∵，（长方形的对边相等） ∴…… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 【简单应用】 （2）如图2，点E是正方形对角线上的一点， ．连接， 以为边画正方形．利用(1)中的结论，可得正方形的面积为 ． 【灵活应用】 （3）如图3，在中，，分别以为边画正方形、正方形， 点D在边上， ，连接，求线段的长度． 【深度思考】 （4）如图4，，点A、B分别为两边上的动点，点P为内部的一点，连接，若，则线段长度的最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高级中学2026-2027学年第一学期期中试卷 初二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分 选择题 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我们把可以构成一个直角三角形三边的正整数称为勾股数，下列所给的几组数据中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数需满足两个条件：①均为正整数；②较小两数的平方和等于最大数的平方，对各选项进行逐项验证即可． 【详解】解：∵A选项的数均为分数，B选项的数均为小数，都不是正整数， ∴A，B均不符合要求； ∵C选项：，且，，均为正整数， ∴C选项符合要求； ∵D选项三个数分别为，，，，，， ∴D选项不符合要求． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可． 【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 将第一象限的“小旗”各点的纵坐标分别乘，横坐标保持不变，符合上述要求的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设第一象限“小旗”上任意一点的坐标为 纵坐标分别乘，横坐标保持不变， 变换后的点的坐标为， 点与点关于轴对称， 所得图形与原图形关于轴对称 ，故B符合题意． 4. 观察表格和图象，下列判断正确的是（ ） 1 1 2 3 4 A. 是的函数，不是的函数 B. 和都是的函数 C. 和都不是的函数 D. 不是的函数，是的函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义判断即可． 【详解】解：由表格可得，当x取定一个值时，有两个值与其对应，故不是x的函数； 由图象可得，当x取定一个值时，有唯一确定的值与其对应，故是x的函数； 综上所述，不是的函数，是的函数． 5. 已知关于的函数（为常数）是正比例函数，且点、是该函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判断该正比例函数的增减性，根据函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴该正比例函数中随的增大而增大． ∵点、在函数图象上，且， ∴． 6. 如图，在直角三角形中，，，在轴上，且点的横坐标为．若以点为圆心，的长为半径作弧交轴的正半轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作图得到，可得点M的横坐标，结合点M在x轴的正半轴上即可解答． 【详解】解：由题意得， ∵点的横坐标为，点M在x轴的正半轴， ∴点M的坐标为． 7. 已知1号探测气球从海拔5米处出发，以的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15米处出发，以的速度上升．两个气球都上升了．图象表示两个探测气球的海拔高度差（单位：）与上升时间（单位：）之间的函数图象．下列说法正确的是（ ） A. 点纵坐标为15 B. 时刻，1号气球的海拔高度为30 C. 当时， D. 点纵坐标为20 【答案】D 【解析】 【分析】结合图象以及气球运动的特点逐项判断即可． 【详解】解：A项，起始时，1号探测气球从海拔5米处出发，2号探测气球从海拔15米处出发，此时两个探测气球的海拔高度差，故此项不正确； B项：当两个气球处于同一高度时，1号探测气球比2号探测气球多上升（最初的海拔高度差），此时用时：，此时1号气球的海拔高度为，故此项不正确； C项，当时，1号气球的海拔高度为，2号气球的海拔高度为，此时海拔高度差为，故此项不正确； D项，当时，1号气球的海拔高度为，2号气球的海拔高度为，此时海拔高度差为，故此项正确； 故选：D． 8. 将两个全等的直角三角形如图放置，，点，，共线，，．连接，取的中点，连接，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出，，从而，求出的长，建立平面直角坐标系，利用中点坐标公式求出点的坐标，最后利用勾股定理计算的长.  【详解】解：，，， 共线， ，， ， ，， ， 以为原点，直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，， ，，且，在轴异侧， ， 是的中点， 点的坐标为，即， . 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 请写出一个随增大而减小的一次函数的表达式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：设一次函数的表达式为， 随的增大而减小， ， 可以取，可以取， 一次函数的表达式为． 10. 如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是______． 【答案】（0，-2） 【解析】 【分析】根据已知条件点P（m+3，2m+4）在y轴上，可知点P的横坐标为0，据此求出m的值，进而求出点P的坐标． 【详解】∵P（m+3，2m+4）在y轴上， ∴m+3=0，得m=-3， 即2m+4=-2．即点P的坐标为（0，-2）， 故答案为：（0，-2）． 【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上点的坐标的特征，y轴上的点的横坐标为0． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据二次根式的意义得， 2x－2≥0，解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解二次根式的意义是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上．若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系和全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点分别作轴，轴于点和点，构造全等三角形，先根据已知条件利用角边角证得，再根据全等三角形的性质得到，最后通过等量代换将换成即可得出答案． 【详解】解：如图， 过点分别作轴，轴于点和点，则， 点的坐标为， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿折叠到，连接，此时点，，恰好共线．平分交于点，此时_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由折叠得到，，，结合点，，共线得出，根据勾股定理求出，进而在中根据勾股定理列出方程，求出x的值．过点F作于点H，由角平分线的性质得到，根据面积法求出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 设，则． 由折叠可得，，， ∵点，，恰好共线， ∴， ∴在中，， ∴， ∵在中，， 即，解得， ∴，，， ∴． 过点F作于点H， ∵平分，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 三、解答题：（本大题共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质进行化简、计算二次根式的乘法，再计算减法即可得出结果； （2）先计算算术平方根、绝对值、立方根，再计算加减即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）作关于轴的对称图形； （2）点的坐标为 ；点到轴的距离为 ；点到轴的距离为 ； （3）在轴上有一动点，试通过画图直接写出使取得最小值的点的坐标（不写作法，保留作图痕迹） ． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2），， （3）解：如图所示，点即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质得出对称点，然后连接三角形； （2）根据点到坐标轴的距离公式求解； （3）根据轴对称的性质，确定线段和最小，然后读出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标为；点到轴的距离为；点到轴的距离为； 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求， 作点关于轴的对称点，连接该点和点，交轴于点， 此时点坐标为． 16. 二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． （1）求的平方根： （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，由已知求得，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ． 17. 如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为． （1）一辆卡车装满货物后，高为，宽为，要开进该隧道．若隧道是单行道，此卡车能通过该隧道吗？请说明理由． （2）为了适应车流量的增加，现把隧道改为双行道，要使宽为，高为的卡车能安全通过，那么此隧道的宽度至少需要增加到多少米？ 【答案】（1）解：此卡车能通过该隧道，理由如下： 如图所示，在半圆O中，点A是半圆O上一点，点B是直径上一点，，且， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴此卡车能通过该隧道； （2） 【解析】 【分析】（1）在半圆O上构造一个直角三角形，点A是半圆O上一点，点B是直径上一点，，且，利用勾股定理求出的长即可得到结论； （2）在半圆O上构造一个直角三角形，点A是半圆O上一点，点B是直径上一点，，且，利用勾股定理求出的长即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，在半圆O中，点A是半圆O上一点，点B是直径上一点，，且， 在中，由勾股定理得， ， 答：此隧道的宽度至少需要增加到． 18. 小颖根据学习函数的经验，想对函数的图象和性质进行探究．通过查阅资料，小颖了解到该函数的含义是：当时，；当时，，请你帮她继续完成探究． （1）在自变量的取值范围内，与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 4 5 6 … 2 1 0 1 2 4 … 其中 ； （2）在平面直角坐标系中，已知函数的部分图象如图所示，请补全函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ； （3）已知函数的图象与函数的图象关于轴对称． ①请在图中画出函数的图象； ②把函数与函数的图象合称为图象，若点与点均在图象上，则的值为 ． 【答案】（1）3 （2），时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 （3）①；②或或 【解析】 【分析】（1）把代入求出函数值即可得到答案； （2）根据表格描点，连线作图即可； （3）①根据关于y轴对称的点的特点作图即可；②根据点P和点Q的纵坐标相同分三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，当时，，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略 ②∵点与点的纵坐标相等， ∴可分三种情况： 第一种情况：当点P在函数上，点Q在上， ∴，解得， 第二种情况：点P与点Q关于y轴对称，则，解得 第三种情况：在第一种情况中，，且点P与点Q关于直线对称， ∴由对称性可知，在y轴左侧时，点P与点Q关于直线对称满足题意， ∴， ∴； 综上所述，a的值为或或． 19. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． （1）若三边长分别是，和，则此三角形 常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若是常态三角形，两条直角边长为、（），斜边长为，且，请求出此三角形的另一直角边及斜边的长； （3）如图，在中，，，，若是常态三角形，求的面积． 【答案】（1）是 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据给出定义进行判断即可； （2）利用勾股定理得出三边关系，然后根据新定义，分三种情况进行讨论求解，根据条件进行取舍； （3）根据给出定义，分两种情况进行讨论，设，列出方程求解，然后根据勾股定理求出直角边长，即可求出三角形面积． 【小问1详解】 解：∵，且， 即， ∴此三角形是常态三角形； 【小问2详解】 解：∵是直角三角形，且两条直角边长为、（），斜边长为， ∴， 即，； 又∵是常态三角形， ∴当时，不成立； 当时，即， 将代入得，， 解得，， ∴， ∵，且， ∴，不符合题意，舍去； 当时，即， 将代入得，， 解得，， ∴； 综上； 【小问3详解】 解：假设， ∵是常态三角形， ∴时，即， 解得， 此时，， 由勾股定理得， ∴的面积为； 当或时，即， 解得， 此时，， 由勾股定理得， ∴的面积为； 综上，的面积为或． 20. 探究与应用 【问题初探】 （1）在长方形的内部任取一点P，将点P与长方形的四个顶点分别连接，则线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图1，过点P作， 垂足分别为：点M、N、G、H．（易得四边形和四边形均为长方形） 在中，∵，∴．① 在中，∵，∴．② 在中，∵，∴．③ 在中，∵，∴ ④ 由①③得：． 由②④得：…… ∵，（长方形的对边相等） ∴…… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 【简单应用】 （2）如图2，点E是正方形对角线上的一点， ．连接， 以为边画正方形．利用(1)中的结论，可得正方形的面积为 ． 【灵活应用】 （3）如图3，在中，，分别以为边画正方形、正方形， 点D在边上， ，连接，求线段的长度． 【深度思考】 （4）如图4，，点A、B分别为两边上的动点，点P为内部的一点，连接，若，则线段长度的最大值为 ． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，轴对称图形的性质，三角形三边关系的应用． （1）根据小刚的方法，补充，，结合，，等量代换即可得出结论； （2）连接，利用(1)中的结论，可得，结合，可得，再根据正方形的对称性可得，即可求解； （3）连接，利用(1)中的结论，可得，根据，得到，利用勾股定理求出，得到，再求出，即可求解； （4）以为边作长方形，连接，易得，根据三角形三边关系，可得当三点共线时，有最大值，则有最大值，利用(1)中的结论，可得，进而求出，即可求解． 【详解】解：（1）在中， ∵， ∴．① 在中， ∵， ∴．② 在中， ∵， ∴．③ 在中， ∵， ∴．④ 由①③得：． 由②④得：． ∵，（长方形的对边相等）， ∴； （2）连接， 由(1)可得， ∵， ∴， ∴， ∵正方形是轴对称图形，且为正方形的对称轴， ∴， ∴， ∴，即正方形的面积为， 故答案为：； （3）连接， 由(1)可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （4）以为边作长方形，连接， 则， ∵， ∴当三点共线时，有最大值，则有最大值， 由(1)可得， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的最大值为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $