江苏南京鼓楼实验中学2026-2027学年上学期八年级期中模拟数学试卷

八年级上学期期中考试数学模拟练习 （时间：80 分钟　参考答案与解析　满分：100 分） 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，） 答案：1．A　　2．D　　3．C　　4．C　　5．B　　6．A 1． A．13 的平方根是 ，此说法错误，符合题意；B． 是无限不循环小数，是无理数，说法正确；C．，则 ，整数 ，说法正确；D．面积为 13 的正方形边长为 ，说法正确．故选 A． 2． A．，，由勾股定理的逆定理知是直角三角形；B．，是直角三角形；C．，是直角三角形；D．三个角之比为 ，最大角为 ，不是直角三角形．故选 D． 3． 已知 ，图形中隐含 （公共边）．A．添加 ，由 SSS 可判定全等；B．添加 ，由 SAS 可判定全等；C．添加 ，是“边边角”，无法判定全等，符合题意；D．添加 ，由 HL 可判定全等．故选 C． 4． 无理数是无限不循环小数：、、（无限不循环）共 3 个；，、、、、 都是有理数．故选 C． 5． 设格宽为 1，则 、、，三边长为 、、．逐一检验网格内与 关于某条直线对称的格点三角形，可画出 6 个，其对称轴分别为： 的垂直平分线、直线 、 的垂直平分线，以及两条网格对角线所在的直线和网格竖直中线（此时 自身也关于其中两条对称）．注意：还有 6 个与 全等的格点三角形不能由轴对称得到，不要误数．故选 B． 6． 连接 ，设 与直线 交于点 ．∵ ，，∴ 垂直平分 ，∴ 为 的中点，且 ．又 为 的中点，∴ 是 的中位线，∴ ．∵ ， 为斜边 的中点，∴ ，∴ ；由对称性 ．在 Rt 中 ，故该角的对边与邻边之比等于 在 Rt 中的对边与邻边之比，即 ；又 ，解得 ，．∴ ．故选 A． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．） 答案：7．　　8．　　9．　　10．　　11．　　12．　　13．　　14．　　15． 或 　　16． 7． ，其相反数是 ． 8． 65478 精确到千位：百位数字是 4，舍去，得 ． 9． 底边长 cm，且 ，能构成三角形． 10． 将长方体的侧面展开，、 之间的最短路线为展开图中连接 、 的线段．最短路线长 cm． 11． 一个正数的两个平方根互为相反数，∴ ，解得 ．∴ ，这个正数为 ． 12． ，，故填 ．（也可比较：，成立．） 13． 倍长中线：延长 至 ，使 ，连接 ．∵ ，，，∴ （SAS），∴ ，且 ．在 中，，，，∵ ，∴ ，．又 ． 14． ∵ ， 是斜边 的中点，∴ （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），即 、、、 都在以 为圆心、6 为半径的圆上．∵ 圆内接四边形 的对角互补，∴ ．同弧 上的圆心角等于圆周角的 2 倍，∴ ．∴ ． 15． 分两类讨论：① 顶角为锐角（高在三角形内部）：设腰 上的高 与腰 的夹角为 ，在 Rt 中 ，∴ 底角 ；② 顶角为钝角（高在三角形外部）：顶角 ，∴ 底角 ．综上，底角度数为 或 ． 16． 作 关于直线 的对称点 ，关于直线 的对称点 ，连接 ，分别交 、 于 、，此时 的周长最小（）．∵ ，∴ 在射线 的延长线上；同理 在射线 的延长线上，∴ ，∴ ．由对称性 ，∴ ；同理 ．∴ ，∴ ． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 68 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5分） 证明：在 和 中， （公共边），（已知），（已知）， ∴ （SSS）， ∴ （全等三角形对应角相等）， 即 ，∴ （等角对等边）． 18．（6分） （1）∵ ，∴ ， ∴ ，． （2）∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ． 19．（6分） （1）∵ 的平方根是 ，∴ ，∴ ； ∵ 的立方根为 2，∴ ，∴ ； ∵ ，∴ ，∴ ． （2），其算术平方根为 ； 的小数部分为 ； ∴ 所求的差为 ． 20．（5分） 连接 ． 在 Rt 中，，，， 由勾股定理得 ，． 在 中，，，， ∵ ， ∴ （勾股定理的逆定理）， ． ∴ ． 21．（8分） （1）作法：在数轴上取表示 3 的点 ，过点 作数轴的垂线 ，并在 上截取 ； 连接 ，则 ； 以 为圆心、 为半径画弧，交数轴正半轴于点 ，则点 表示的数为 ． （2）作法： ① 作线段 的垂直平分线，得 的一半；在射线 上截取 ； ② 作 的平分线 ；过点 作射线 的垂线，交 于点 ； ③ 以 为圆心、 为半径作 ；连接 并延长，交 于点 ； ④ 过点 作直线 ，分别交射线 、 于点 、． 则 就是所求作的三角形． 文字说明：设 与射线 相切于 ．∵ 在 的平分线上，，，∴ ，且 ；又直线 切 于点 ． 连接 、，由 HL 得 RtRt，∴ ；同理 ． ∴ 的周长 ． 22．（8分） 证明：（1）∵ ，∴ ，即 ， ∴ ． ∵ ，∴ （勾股定理）， ∴ ，即 ． （2），， ∴ ， ∴ 以 、、 为边的三角形中，两边之和的平方等于第三边的平方，由勾股定理的逆定理知它是直角三角形，其中 为斜边． 23．（6分） （1）证明：∵ ，，∴ ． 在 Rt 和 Rt 中，（斜边），（直角边）， ∴ RtRt（HL），∴ ． 又 ，， ∴ RtRt（HL），∴ ， ∴ 平分 ． （2）由（1）RtRt 得 ． ∵ 在线段 上， 在射线 上且 在 、 之间， ∴ ，， ∴ ，∴ ． 24．（6分） （1）． （2）解：作 ，交 的延长线于点 ． ∵ ，∴ ， ∴ 是等腰直角三角形，∴ ． 在 Rt 中，，∴ （直角三角形中 30° 角所对的直角边等于斜边的一半），且 ． ∵ ，，∴ 是等边三角形，∴ ，． ∴ ，即 是等腰三角形；又 ， ∴ ． ∵ ，∴ ． 25．（10分） （1）∵ ，∴ ；∵ ，∴ ；又 ， ∴ ， ∴ ， 又 ，，∴ （SAS）． 故填：． （2）∵ 等边 、，∴ ，，， ∴ ，，∴ ， ∴ （SAS），∴ ． 设 与 交于点 ．在 中， 是其外角， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，∴ （对顶角）． 故填 ． （3），且 ．理由如下： ∵ ，， ∴ ；又 ，， ∴ （SAS），∴ ，． 设 与 交于点 ，则 是 的外角，． 在 中（ 为 、 的交点）， ， ∴ ． （4）∵ ，，∴ 是等边三角形，∴ ，， ∴ ， ∴ 在 Rt 中，，即 ． 作 ，交 的延长线于 ，则 ， ∴ ，（含 30° 角的直角三角形三边之比为 ）， ∴ ． ∵ ，∴ ，当且仅当 时取等号， ∴ ，∴ 的最大值为 ． 故填 ． 26．（8分） （1）∵ ， 为斜边 的中点，∴ （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴ 、 都是等腰三角形，即直线 分割出了等腰三角形， 故直线 是 的等腰分割线，填“是”． ①∵ ，∴ ；∵ ，，∴ ， ∴ ． ②设 ．在 Rt 中，，； ．在 Rt 中，， ∴ ，解得 ， ∴ ． （3）由勾股定理 ．设 ，直线 分割出的两个三角形为 与 ，只要其中一个是等腰三角形即可，分类讨论： ① 中 ，得 ； ② 中 ：点 在 的垂直平分线上；∵ ， 斜边中点到三顶点等距，此时 恰为 的中点，； ③ 中 ：以 为圆心、8 为半径的圆与直线 的交点为 （舍）及 延长线上的点（舍），0 个； ④ 中 ，得 ； ⑤ 中 ：以 为圆心、6 为半径的圆与直线 交于 （舍）和另一点（），1 个； ⑥ 中 ：交点仍为 中点，与②重合． ∴ 这样的点 共有 4 个（、、、），填 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期期中考试数学模拟练习 （时间：80 分钟　满分：100 分） 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．关于“”，下面说法不正确的是（　　） A．13 的平方根是 B．它是一个无理数 C．若 ，则整数 为 3 D．它可以表示面积为 13 的正方形的边长 2．满足下列条件， 不是直角三角形的是（　　） A．，， B．， C． D． 3．如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．在 ，，，，，，，，（每两个 2 之间依次多一个 1）中，无理数有（　　）个． A．　　B．　　C．　　D． 5．如图，在 3×3 的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的 为格点三角形，在图中与 成轴对称的格点三角形可以画出（　　）个． A．　　B．　　C．　　D． 6．如图， 中，，，，点 是 的中点，将 沿 翻折得到 ，连结 ，则线段 的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 7． 的相反数是                      ． 8．用四舍五入法将 65478 精确到千位所得的近似值是                      （用科学记数法表示）． 9．若等腰三角形的腰长为 6cm，周长为 16cm，则该等腰三角形的底边长为                      cm． 10．如图，一只蚂蚁从长、宽都是 6cm，高是 16cm 的长方体纸箱的 点沿纸箱爬到 点，那么它所爬行的最短路线的长为                      cm． 11．已知一个正数的两个平方根分别为 与 ，则这个正数是                      ． 12．比较大小：                      ．（在横线上填“”或“”） 13．如图，在 中，，， 是边 上的中线，，则 的面积是                      ． 14．如图，四边形 中，，，连接 、， 是 的中点，连接 、．若 ，则 的面积为                      ． 15．若等腰三角形一条腰上的高与另一腰的夹角为 ，则这个等腰三角形的底角度数是                      ． 16．如图，四边形 中，，，在 、 上分别找一点 、，使 周长最小，则 的度数为                      ． 17．（5分）如图，，．求证：． 18．（6分）求下列各式中的 ： （1）； （2）． 19．（6分）已知 的平方根是 ， 的立方根为 2， 的整数部分为 ． （1）求 、、 的值； （2）求 的算术平方根与 的小数部分的差． 20．（5分）如图，在四边形 中，，，，，．求四边形 的面积． 21．（8分）尺规作图： （1） 请用尺规作图法，在如图所示的数轴上作出 所对应的点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图，已知 和线段 ，分别在 和 上确定点 、，使得 的周长等于 ．（要求：尺规作图，保留痕迹，并且写出必要的文字说明．） 22．（8分）如图，在 Rt 中，， 于 ，设 ，，，． 求证：（1）； （2）以 ，， 为边的三角形是直角三角形． 23．（6分）如图，、 两点分别在射线 、 上，点 在 的内部，且 ，，，垂足分别为 、，且 ． （1）求证： 平分 ； （2）若 ，，则 的长是                      ． 24．（6分）我们在解答几何问题时，对问题中的条件要产生联想，再进行推理．比如，从 、、、 的角，你会联想到什么？从线段的中点你会联想到什么？从直角三角形你会联想到什么？……下面，请你展开联想，解答一道题． 在 中，，，点 是线段 的中点． （1）直觉猜测                       ；（2）求 的度数． 25．（10分）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形． （1）如图 1， 与 都是等腰三角形，，，且 ，则有                                            ； （2）如图 2，已知 ，以 、 为边分别向外作等边 和等边 ，并连接 、，则                       ； （3）如图 3，在两个等腰直角三角形 和 中，，，，连接 、 交于点 ，判断 和 的关系，并说明理由； （4）如图 4，四边形 中，，，．若 ，则 的最大值是                      ． 26．（8分）定义：用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．如图，Rt 中，． （1）如图 1，若 为 的中点，则直线                        的等腰分割线．（填“是”或“不是”） （2）如图 2，已知 的一条等腰分割线 交边 于点 ，且 ， ①若 ，则 的度数是                      ； ②若 ，，求 的长； （2） 如图 3，若 ，，点 是边 上的一点，如果直线 是 的等腰分割线，这样的点 共有                      个． 1 学科网（北京）股份有限公司 $