上海市光明中学2025-2026学年第一学期学业质量调研高三数学试卷

光明中学2025学年第一学期学业质量调研 高三数学 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】 1．若集合，或，则_________． 2．不等式的解为_________． 3．已知向量，，若，则_________． 4．已知圆锥的底面半径为，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_________． 5．随机变量服从正态分布，若，则_________． 6．已知，且，则_________． 7．已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为_________． 8．已知等比数列是严格减数列，其前项和为，，若，，成等差数列，则_________． 9．已知平面向量，满足，，，若平面向量满足，则的最大值为_________． 10．已知双曲线（，），以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于M、N两点，若，则双曲线的离心率为_________． 11．某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描． 假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地； 假设2：视探照灯为点，且距离地面20米； 假设3：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆． 当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环（）．由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、… 第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为（如下右图）．记，经测量知米，且是公差约为0.1米的等差数列，则至少需要经过_________次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕． 12．空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是_________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】 13．若，，则下列不等式成立的是（ ）． A． B． C． D． 14．已知函数，其中，，其中，则图像如图所示的函数可能是（ ）． A． B． C． D． 15．给出下列4个命题： ①若事件和事件互斥，则； ②数据2，3，6，7，8，10，11，13的第70百分位数为10； ③已知关于的回归方程为，则样本点的离差为-0.7； ④随机变量的分布为，则其数学期望． 其中正确命题的序号为（ ）． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 16．数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”．现有如下两个命题： ①等比数列为“某数列”； ②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得． 则下列选项中正确的是（ ）． A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】 17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分） 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分） 在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，．若为在方向上的投影向量，且满足． （1）求的值； （2）若，，求的周长． 19．（本题满分14分，本题共有3个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分） 如左下图1是由两个三角形组成的图形，其中，，，．将三角形沿折起，使得平面平面，如右下图2．设是的中点，是的中点． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）连接，设平面与平面的交线为直线，判别与的位置关系，并说明理由． 20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分） 已知椭圆：（）的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，，且直线，的斜率之积为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的法向量为，求直线的方程； （3）是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由． 21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分） 函数的表达式为（）． （1）若，直线与曲线相切于点，求直线的方程； （2）函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，，…，，…（，），证明：数列是严格减数列； （3）已知定义在上的奇函数满足， 对任意，当时，都有且． 记，． 当时，是否存在、，使得成立？若存在，求出符合题意的、；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案及评分标准 一、填空题 1.{2,1,2.(0,:3.8,4.22m 5.0.14 6.π 16W15 7.15 8.39.V17+1 25 8π 10.3 11.1512.9 二、选择题 13.D:14.A:15.C:16.C. 三、解答题 17.解1)因为MP=CP=AC=4,0为AC的中点，所以OPL4C 座结OB因为B=BC2AC.g+cC3 所以△1BC为等膜直角三角，形放OBLAC,0B=)4C=2 因为OP+OB=PB,所以OPLOB 因为 P⊥OBOP⊥ACOB∩AC=O 所以POL平面ABC.… (2)方法一：作CH⊥OM,垂足为H. 因为OP⊥平面ABC,所以OP⊥CH, 且OP=2W3 …4分 …7分 所以CH1平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离。…4分 由题意，OC= 24C=2.CM=42 3,∠ACB=45°. 所以OM=25 CH=OC.MC-sinLACB_4 3 OM 5· 4V5 所以点C到平面POM的距离为5· …7分 方法二：设C到平面POM的距离为h, 由(1)知PO即为P到平面COM的距离，且P0⊥OM.…1分 P0-25.在a0M巾，0C=2.W-号ac-+号 3,∠ACB=45°， 则由余弦定壁行O1-2,5 3 .…1分 1 因为e-ow=ncoW,即3 SAPoNh= -3SscouPO 1 h=Saco:PO2xx2 32 -45 故”S△PoM )×25×255. 1 3 4W5 即点C到平面POM的距离为5. …7分 18.解(1)由题意，得CD=bcosC 又2 csinB=V5CD,所以2 csinB=V5 ibcosC, b 由正弦定理sinB sinC,得2 sinCsinB=V5 sinBcosC, 又sinB≠0，所以2sinC=V5cosC …4分 因为C为锐角，所以osC=V-sin'C= 3 …6分 (2)由a=3 ccosB,得 OsB=a 3c, 由余弦定理得c0sB=+c2-b2 a2+c2-b=4 2ac ,所以2ac3c,得a2+3c2=3b2①…3分 由由余弦定理得0C=4+-c2 2ab3,得3a2+3b2-3c2=4V3a②. …5分 联立02.解得a=V5,c=V2,故△4BC的周长为a+b+c=25+2 …8分 19.(1)过B作BH⊥AC于H,连接DH, 因为平 PMC上平面MBC,且平面P1CP平面4BC=AC,又因为BH LAC,所以BH上平面 平面 ,且平面 PAC ∠BDH BD PAC ,所以 为直线与平面所成角.3分 因为AC=2AB,不妨设AB=a,AC=2a, AB AC →B=90° 在△ABC中，sin30°sinB 4分 在Ri△BDH中，BH=Y5。 .DH-,质n∠80H-册-5 DH 7分 2 所以直线BD与平面PAC所成角的大小为3. 8分 (2)因为O是AC的中点，D是AP的中点，所以DOIIPC: 又因为PCC平面PBC,DO不在平面PBC上，所以DO∥平面PBC; 11分 DBO∩_PBC=1,DOIl 又因为平面 平面 ,所以 13分 所以1/PC.14分 20.解：(1由条件知b=1,c=V5 …2分 所以a2=b2+c2=4,于是椭圆T的方程为4 +y2=1 …4分 1 y= x+1 (2)由条件知：直线PA的斜率为2，方程为 2 1 2+1, y= 则由x2 ,得， 4+y2= ,所以·从而 …6分 x2+2x=0 X4=-2 A(-2,0) 1615 B 由于A·kps=1,所以直线PB的方程为y=2x+1,同理可得气17’17 17 所以直线的斜率为 16 …8分 -2- 6 1 17 从而直线的方程为 0名+2.=各号x牛600)，0 y=mx+1, (3)假设存在满足条件的直线，并设直线的方程为 、(),则由 x2 y=mx+1m≠0 +y2=1得 PA 4 8m (4m2+）r+8c=0,所以24=-4m2+1.…12分 8.1 m 8m XB=-- 由于 ,所以直线 的方程为，=上x十：同理可符 41) m2+4 +1 kea'kp8=1 PB m m 1 故直线，的斜率为k=yA一a= +( mxA一 B m XA-XB XA-XB XA-XB 8m 18m m2 m 1 4m2+1mm2+4 =4m2+1m2+4= 4m2+1-m2(m2+4) 8m 8m m +mm[(4m2+-(m2+4)】 4m2+1 m2+4 4m2+1m2+4 m4-1 m2+11 3m(m2-1) 3m3 m 。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 .…15分 k= 1 当△PAB为直角三角形时，只有可能∠PAB=90°，或∠PBA=90°，于是m,或k=-m. 2: 2:也有t② 2. 因啡，有线的为g分 2.解(1)o=1时，8()=sinx,则8()=cosx …1分 k=g =0 从而 2 。。。。。。。。 …3分 y=1 所以直线的方程是 4分 2T-2 (2)由0 ,可知0=L,则h(x)=xsinx-lnr(x>0),…5分 当()=0时sinr=r 。。。。。。。。。。。。。。 …6分 1nx∠0 ①当0<x<1时，Six>0,王<0，此时函数y=A()没有零点；7分 ②当x之1时， Inx 1-Inx 因为x ,可奥y=在L时上产省，在+o)严格成 π7 又y=sinr在L2上严格增，在2，e严格减， 所以x∈，e]时，y=sinr在x=e时有最小值sine, y=lnx lne 1 x在x=e时有最大值ee sine>I sinx= Inx 因为ne>e所以snr=下在L,e上没有交点， 即h(X)=Sinr-lnx在e上没有零点 所以函数y=h(t)的零点满足e<<<<X,<… n>≥ne>>n此> 因为卫=X在e,+o)严格减，所以， inx 又因为 x,,所以数列sin此n}是严格减数列… …10分 (3)因为f(x)=-f(x+2a)=-[-f(x+4a]=f(x+4a) 所以y=f(?)是以4a为周期的周期函数 …11分 因为任盒re[D,2a,当x≠a时，都有f()Kf(a)且a)=l 所以当x=a时.y=f()在[0,2a上有唯一的最大值1， …12分 由o=元得8(x)=sinr,F()=f()+sinr,G(x)=f(x)+cosr …13分 假设存在女、本∈R,使得F()=G()+4成立， 即f()+sin-[f(:)+cos,]=4成立 故，当￥=a+4a(ke乙)时，f()取得最大值1， 1 当 十2m(me乙)时，5in取得最大值1 2 由0+4ha= 4m+1 2+2m,可知0=8新+20时.(6G)+sin)=2 …15分 又因为”=f()是奇函数，所以当x=-0时，f(四在2a,0上有唯一的最小值l 故，当=-a+4na(ke乙)时，f(:)取得最小值l, 当5=1+214e乙)时，c0s取得最小值1 2t+1 由-a+4a=1+21,可知=4ni@时(/（化）+c0s)=-2.17分 若f(G)+sin-[f()+cos]=4成立， 4m+12t+1 则由①②得8k+24n-1,即(4m+1(4n-1)=(21+1)(8k+2) 因为m,n,k,t∈Z,此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立…l8分