精品解析：江西南昌市南昌县莲塘第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中作业检测数学试卷

2026-2027学年度上学期高二11月期中作业检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法运算以及共轭复数的概念分析求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 2. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知焦点在轴上，且，所以， 所以，所以椭圆的焦点坐标是. 3. 设，已知直线：，：，若“”，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若“”，则，注意验证直线是否重合. 【详解】若“”，则，解得或， 当时，直线：即，：即，此时直线与重合； 当时，直线：，：，此时. 4. 已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，若，则α的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜率的范围得到，然后结合正切函数的图象及直线倾斜角的取值范围即可求出直线l的倾斜角α的取值范围. 【详解】因为，且，所以. 故选：A. 5. 已知球内部有一个正四棱锥，且顶点都位于球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用正四棱锥几何对称性确定外接球球心位置，借助勾股定理建立方程求解外接球半径，再代入球的表面积公式完成计算. 【详解】如图，作正四棱锥，连结，，交于点，连结， 则平面，因为，，所以， 则，， 根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高的延长线上，连接， 球的半径，则. 在内，由可得，解得， 故正四棱锥外接球的表面积为. 6. 如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，，得，， 又因为，所以 ， 所以，即． 7. 若方程有实数解，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为直线与半圆有交点，通过数形结合的方式可确定的取值范围. 【详解】由得：， 由得：， 则原方程有实根等价于直线与半圆有交点， 当直线与相切时，，解得：； 当直线过点时，； 结合图象可知：当时，直线与半圆有交点， 即当时，方程有实数解. 8. 已知圆，为圆的一条弦，且，若圆上存在点，使得直线，与圆相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算弦的弦心距，推导到的距离，结合两圆位置关系求的取值范围. 【详解】 圆，圆心为，半径为1， ，取的中点，， 弦心距， ，与圆相切，所以，， ，， 所以，， 所以点轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 要使圆上存在满足条件的点，即圆与点的轨迹圆有公共点， ， ， 解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算逐一判断即可. 【详解】对于A，由，可知，， 故，正确； 对于B，由，可知，，, 所以，错误； 对于C，若，且，则，即，正确； 对于D，若且，则设，那么， ，正确. 10. 下列结论正确的有（ ） A. 是直线方程为的一个方向向量 B. 若点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 直线与相交于点，则过点、的直线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系可判断A选项；求出直线、的斜率，数形结合可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，分析可知当与直线垂直时，点到直线的距离最大，结合斜率关系可判断C选项；利用点与直线的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线方程为的斜率为， 故向量为直线的一个方向向量，故A错误； 对于B选项，如下图所示： 直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知，直线的斜率的取值范围是，故B正确； 对于C选项，将直线的方程变形为， 由直线的点斜式方程可知，直线是过定点，且斜率为的直线， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，且最大值为， 因为直线的斜率为，此时，故C正确； 对于D选项，因为直线与相交于点，所以， 所以点、的坐标满足方程， 由于过两点、的直线有且只有一条，故过点、的直线方程为，故D正确. 11. 已知直线：与圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆截得弦长的最小值为 C. 若是圆上的点，则的最大值为 D. 当时，圆上有且仅有个点到直线的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查直线过定点、直线与圆相交的弦长最值、圆上点的线性表达式最值、圆上点到直线距离为定值的点的个数问题， 结合直线与圆的位置关系逐一分析选项即可. 【详解】选项A：将直线的方程整理为，对任意，当，时等式恒成立，故直线过定点，A正确. 选项B：由题知，圆圆心为，半径，定点到圆心的距离为， 直线与圆相交时弦长为，其中为圆心到直线的距离， 当直线与垂直时，最大，弦长最小，此时. 故最小弦长为，不是，B错误. 选项C：如图所示； 设，令，，其中为直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时取得最值，此时圆心到直线的距离为，， ，最大值为，C正确. 选项D：如图所示； 当时，直线方程为，圆心到直线的距离，，， 故仅靠近圆心的平行于且距离为的直线与圆相交的个交点满足到直线距离为1，不是4个，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 直线与直线之间的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式求解. 【详解】直线，直线， 因为，，，所以， 所以两直线间距离为：. 13. 已知圆与圆有且仅有两条公切线，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心和半径，再根据两圆位置关系与公切线条数的关系，列出关于的不等式，进而求出的范围. 【详解】圆可化为， 所以圆的圆心坐标为，半径. 圆的圆心坐标为，半径， 两圆的圆心距， 因为两圆有且仅有两条公切线，所以两圆的位置关系是相交， 所以， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 14. 已知直线与交于两点， （1）时，______； （2）若在圆上或其内部存在一点，使得，则的取值范围为______． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】（1）利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合圆中半径、半弦长、弦心距的关系即可求解； （2）利用圆的性质及点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系及绝对值不等式的解法即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以圆的圆心坐标为，半径为. 圆心到直线的距离为 . 所以弦长 （2）由，得圆的圆心坐标为,半径为. 由在圆上或其内部存在一点，使得，需使得以为弦的圆心角， 所以圆心到直线的距离为, 即，解得，即或. 且直线与交于两点， 所以，解得 故实数的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线过点． （1）已知的一个顶点为，边上的高所在的直线方程为．求所在直线的方程． （2）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，若，求直线的方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线的垂直关系可设直线的方程为，将代入即可求得直线的方程； （2）分直线在两坐标轴上的截距为和不为两种情况，设出直线方程，将代入得到直线方程. 【小问1详解】 因为，高所在的直线方程为， 所以设直线的方程为， 将代入，得，解得， 故直线的方程为． 【小问2详解】 当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线的方程为，， 将代入得，，解得， 故直线的方程为，即； 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入得，解得， 故直线的方程为，即， 所以直线的方程为或． 16. 在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）取的中点，连接，， 由是的中点，得，而，则， 又，于是四边形是平行四边形，则， 在中，，，有， 而平面，，则平面， 因为平面，得， 而，，平面， 因此平面，又，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定及性质，及线面垂直的性质判定推理即得. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知平面，而，则直线，，两两垂直， 如图，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 于是，，，，， 则，，， 设是平面的一个法向量， 则，故可取， 设与平面的夹角为， 因此， 所以与平面所成角的正弦值是． 17. 四棱锥中的底面是菱形，，，且的中点为，平面平面，，点在棱上，且满足． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 由已知，O为AD的中点，∴， 又∵平面平面ABCD，且平面平面，平面PAD， ∴平面ABCD， 连接AC，交BO于N，连接MN， ∵底面ABCD是菱形，∴AOBC， ∴，，∴， 又，∴ ，∴MNPA， 又平面BMO，平面BMO， ∴PA平面BMO． （2） 【解析】 【分析】（1）推导出，从而平面ABCD，连接AC，交BO于N，连接MN，则AOBC，推导出MNPA，由此能证明PA平面BMO； （2）连结BD，以O为坐标原点，以OA、OB、OP分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BO﹣M的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连结BD，∵底面是菱形，， ∴是正三角形，∴ 由（1）知平面ABCD，∴，， 以O为坐标原点，以OA、OB、OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面BMO的法向量， ∴，由（1）知MNPA，∴， ∴，取，得， 平面BOP的法向量， 设二面角的平面角为， 则， ∴二面角的余弦值为． 18. 已知圆的半径为，圆心在第一象限，若圆与轴相切，与轴交于、两点，且．直线． （1）求圆的标准方程； （2）过直线上的点作圆的切线，切点为，求切线长最小值； （3）、为圆上两动点，且，求中点到直线的距离的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为：，其中，根据勾股定理求出的值，即可得出所求圆的标准方程； （2）分析可知，于是得出，要最小，则最小即可，要使最小，则时，最小，则的最小值为圆心到直线的距离，结合勾股定理求解即可； （3）分析可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，求出点到直线的距离的值，即可得出点到直线的距离的最小值为，即为所求. 【小问1详解】 由题意可设圆的标准方程为：，其中， 则圆心到轴的距离为，半径为， 由于圆截轴所得的弦长，故，结合，故， 因此圆的方程为． 【小问2详解】 由于圆心，圆心到直线的距离为， 因此直线与圆相离， 由圆的几何性质可知，由勾股定理可得， 要最小，则最小即可，要使最小，则时，最小， 此时，故． 【小问3详解】 过点作，垂足为点，如下图所示： 由于，且，是的中点， 故， 因此点在以为圆心，半径为的圆上， 由于点到直线的距离为， 因此到直线的距离的最小值为． 19. 人脸识别技术是一种基于生物特征识别的技术，通过摄像头捕捉人脸图象，提取面部特征，并与预先存储的人脸特征库进行比对，从而实现身份识别．该技术涉及图象处理、模式识别、机器学习等多个领域，主要应用距离测试样本之间的相似度．常用的测量距离的方式如下：设，定义欧几里得距离，曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，分别求和，并比较这三种距离的大小． （2）若， ，求的取值范围． （3）已知是直线上的两个动点，是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， ； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据定义求出，， ，从而得到结论． （2）根据定义求出，设，通过计算将问题转化为半圆与直线：有公共点时的取值范围，利用数形结合及直线与圆相切得到的取值范围，从而得到所求. （3）求出．设，求出，分别按照和讨论求解. 【小问1详解】 因为，所以，． =， ， ， 所以． 【小问2详解】 由已知得，， 所以， 设，则有， 所以问题转化为半圆与直线：有公共点时的取值范围， 即半圆与直线：有公共点时的取值范围， 由转化为， 得圆心坐标为，半径为，如图， 当直线经过点时，； 当直线与半圆相切时，由，得=2，解得， 又与半圆相切时需，解得，所以． 综上，． 因此， 所以． 【小问3详解】 ． 设，则． 若，则，符合题意； 若，则， 根据分段函数的性质可知， ， 且恒成立， 当且仅当时取等号．综上所述，满足条件的直线的方程为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期高二11月期中作业检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，已知直线：，：，若“”，则（ ） A. B. C. 或 D. 4. 已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，若，则α的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知球内部有一个正四棱锥，且顶点都位于球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4 7. 若方程有实数解，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，为圆的一条弦，且，若圆上存在点，使得直线，与圆相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 10. 下列结论正确的有（ ） A. 是直线方程为的一个方向向量 B. 若点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 直线与相交于点，则过点、的直线方程为 11. 已知直线：与圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆截得弦长的最小值为 C. 若是圆上的点，则的最大值为 D. 当时，圆上有且仅有个点到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 直线与直线之间的距离为_____． 13. 已知圆与圆有且仅有两条公切线，则的取值范围是_____________． 14. 已知直线与交于两点， （1）时，______； （2）若在圆上或其内部存在一点，使得，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线过点． （1）已知的一个顶点为，边上的高所在的直线方程为．求所在直线的方程． （2）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，若，求直线的方程； 16. 在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 17. 四棱锥中的底面是菱形，，，且的中点为，平面平面，，点在棱上，且满足． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知圆的半径为，圆心在第一象限，若圆与轴相切，与轴交于、两点，且．直线． （1）求圆的标准方程； （2）过直线上的点作圆的切线，切点为，求切线长最小值； （3）、为圆上两动点，且，求中点到直线的距离的最小值． 19. 人脸识别技术是一种基于生物特征识别的技术，通过摄像头捕捉人脸图象，提取面部特征，并与预先存储的人脸特征库进行比对，从而实现身份识别．该技术涉及图象处理、模式识别、机器学习等多个领域，主要应用距离测试样本之间的相似度．常用的测量距离的方式如下：设，定义欧几里得距离，曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，分别求和，并比较这三种距离的大小． （2）若， ，求的取值范围． （3）已知是直线上的两个动点，是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $