精品解析：江西南昌市第一中学2026-2027学年度高二上学期期中考试数学试卷

南昌一中2026-2027学年度高中数学期中考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 圆C的圆心坐标和半径分别是（ ） A. ，4 B. ，4 C. ，2 D. ，2 2. 已知椭圆的长轴长为短轴长的3倍，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，两直线，若，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（） A. 2 B. C. D. 3 7. 已知抛物线上有三个不同的点直线的斜率分别为.若满足：.且的重心在直线上.则（ ） A. B. C. D. 8. 人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知直线，则下列判断正确的是（ ） A. 在轴上的截距为3 B. 若，则 C. 若，则 D. 若相交于一点，则 10. 已知点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为A，，则（ ） A. 圆心到的距离为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 直线过定点 11. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为 C. 不存在点Q，使得 D. 的最小值为 三、填空题 12. 两圆与的公切线有______条． 13. 已知定点A(－3,0)，B(3,0)，动点P在抛物线y2＝2x上移动，则的最小值等于_________. 14. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率是________ . 四、解答题 15. 已知两点，，直线为线段的中垂线，直线过点，且与直线平行. （1）求与的一般方程； （2）求，与轴围成的三角形的面积. 16. 已知椭圆的离心率为，是上一点． （1）求的方程； （2）已知斜率为1的直线与交于，两点； （ⅰ）若，求的方程； （ⅱ）令、的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值． 17. 已知双曲线以为焦点，且过点 （1）求双曲线与其渐近线的方程 （2）若斜率为1的直线与双曲线相交于两点，且（为坐标原点），求直线的方程 18. 在平面直角坐标系中，已知直线：，圆： （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）若，直线与圆相交于两点，求的面积； （3）若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值. 19. 已知抛物线C：经过点是抛物线C上异于点A的动点，且 （1）求直线AB的斜率(用表示)； （2）设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线的斜率之和为1. ①求证：直线l恒过定点Q； ②若向量，且，求的面积S的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌一中2026-2027学年度高中数学期中考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 圆C的圆心坐标和半径分别是（ ） A. ，4 B. ，4 C. ，2 D. ，2 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的标准方程可得圆心和半径. 【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径是2. 故选：C. 2. 已知椭圆的长轴长为短轴长的3倍，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的性质求解即可. 【详解】，椭圆的长轴长，短轴长，由题意可知，，解得. 故选:A 3. 已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程的特征得到，解得即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得或， 故的取值范围为. 故选：B. 4. 已知，两直线，若，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的位置关系列方程得关系，再根据基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】两直线， 若，则，可得， 因为，所以， 当且仅当，即等号成立，则的最小值为. 故选：C. 5. 我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得点关于轴的对称点的坐标与圆的圆心坐标，由两点式可求反射光线所在直线方程. 【详解】由，可得圆心， 由反射定律可知，点关于轴的对称点在反射光线上， 又反射光线恰好平分圆：的圆周，所以反射光线过， 由直线的两点式方程可得反射光线所在直线方程为，即. 故选：A. 6. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的一条渐近线与直线平行，得到，再结合离心率的定义，即可求解． 【详解】由题意，双曲线渐近线方程为， 因为一条渐近线与直线平行，可得， 则，即双曲线的离心率为． 故选：C． 7. 已知抛物线上有三个不同的点直线的斜率分别为.若满足：.且的重心在直线上.则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，可表示出，得到；利用重心纵坐标可得，进而得到，利用点差法结论可得所求斜率. 【详解】设，，， 则，同理可得：， ， 重心纵坐标为，，即， 与联立得：，. 故选：. 【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到三角形重心的坐标表示、点差法的应用，考查学生的运算和求解能力. 8. 人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，勾股定理求m，应用和角余弦公式求的大小. 【详解】由得：，，． 设，则． 所以，解得（舍去）， 所以，， ， 所以． 故选：D． 二、多选题 9. 已知直线，则下列判断正确的是（ ） A. 在轴上的截距为3 B. 若，则 C. 若，则 D. 若相交于一点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】通过直线截距定义分析A；依据平行、垂直的斜率关系分析B、C；求解两直线交点并代入第三条直线分析D. 【详解】选项A：令中，得，故在x轴上的截距为，A错误. 选项B：斜率为，斜率为，若，则，解得，B正确. 选项C：若，则，解得，C正确. 选项D：由解得， 所以与的交点为，代入得，解得，D错误. 故选：BC 10. 已知点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为A，，则（ ） A. 圆心到的距离为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 直线过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用点到直线的距离公式计算即得；对于B，利用切线性质求得，结合图形判断当时最小，代入即得的最小值；对于C，利用面积相等，求出，利用上述结论即得其最小值；对于D，利用圆的切线性质，判断以为直径的圆经过点，求出该圆的方程，与圆相减，即得直线的方程，整理成关于的方程，联立方程组即可求得直线经过的定点. 【详解】对于A，由，可知圆心为， 则点到直线的距离，故A正确； 对于B，如图，由圆的切线性质，可得， 又，则，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为，故B正确； 对于C，由圆的切线性质易得，， 所以， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为，故C错误； 对于D，设，则线段的中点坐标为， 又， 则以为直径的圆的方程为， 整理得：， 将其与圆相减，可得， 整理得， 由，解得，即直线过定点，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为 C. 不存在点Q，使得 D. 的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】由题设，可得，， 对于A,由离心率公式可判断； 对于B，由即可判断； 对于C，由，即，即可判断； 对于D，由椭圆的定义有，然后利用基本不等式求解即可判断. 【详解】由题设，，则，又在椭圆内部，则，即， 对A：，故选项A错误； 对B：当时，有，则，故选项B错误； 对C：由，即，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点， 所以椭圆上不存在点Q使得，故选项C正确； 对D：由椭圆的定义有， 所以，当且仅当时等号成立， 当时，,由于，则能取到，满足条件； 当时，,由于，则不能取到，此时, 综上选项D正确. 故选：CD. 三、填空题 12. 两圆与的公切线有______条． 【答案】3 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系，即可求出公切线的条数. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1， 圆的圆心坐标为，半径为4， 则两圆的圆心距为， 两圆外切，两圆公切线的条数为3条. 故答案为：3 13. 已知定点A(－3,0)，B(3,0)，动点P在抛物线y2＝2x上移动，则的最小值等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】设，将点坐标代入题目所给向量数量积的条件，利用抛物线方程进行化简，最后用二次函数的知识求得最小值. 【详解】设，则，因为，所以，故当时，取得最小值为-. 【点睛】本小题主要考查点在曲线上，点的坐标满足曲线方程，考查向量数量积的运算，还考查了二次函数求最值的方法，属于中档题.在解题过程中，需要大胆的代入向量的数量积运算，向量数量积的运算有两种形式，一个是用模和夹角来表示，另一个是用坐标来表示. 14. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率是________ . 【答案】## 【解析】 【分析】根据所给条件可得是的中点，利用中位线的性质可求出，再由双曲线定义求出，由直角三角中勾股定理建立方程可得离线率. 【详解】设右焦点为， ， 是的中点，是的中点， 且, 由双曲线定义可知， ，， ， 即 ， 故答案为：. 四、解答题 15. 已知两点，，直线为线段的中垂线，直线过点，且与直线平行. （1）求与的一般方程； （2）求，与轴围成的三角形的面积. 【答案】（1）的一般方程为，的一般方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，线段的中点坐标，即可求出中垂线方程，利用平行关系求得的斜率，代入点斜式方程，化为一般式方程即可； （2）先求，与轴的交点，然后结合图形求得三角形的底和高，即可求解. 【小问1详解】 由题知，直线的斜率，线段的中点坐标为， 则的斜率，直线过点， 故的一般方程为，即； 的斜率，直线过点， 故的一般方程为，即； 【小问2详解】 如图： 令求得，与轴的交点分别为，， 联立，解得，即与的交点坐标为， 则，与轴围成的三角形为，其面积为. 16. 已知椭圆的离心率为，是上一点． （1）求的方程； （2）已知斜率为1的直线与交于，两点； （ⅰ）若，求的方程； （ⅱ）令、的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）或； （ⅱ）设的中点为，由中点坐标公式，得， ， 因此直线的斜率， 已知直线的斜率，故斜率之积为， 因此直线与直线的斜率之积为定值，得证. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆右顶点坐标得长半轴，结合离心率求出，再由算出，写出椭圆方程； （2）(i) 设出直线方程并代入椭圆方程消掉，再借助韦达定理和弦长公式列方程求出参数，验证即可得到直线方程；（2）(ii) 利用韦达定理求出中点坐标，算出斜率，再和直线的斜率相乘，验证结果是常数. 【小问1详解】 已知椭圆，点在椭圆上，因此，即， 由离心率，代入得， 根据椭圆关系，得， 因此椭圆的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设直线的方程为，设，， 将代入椭圆方程，整理得， 由直线与椭圆有两个交点，判别式，解得， 由韦达定理得， 由， 化简得， 均满足，因此直线的方程为或； （ⅱ）略 17. 已知双曲线以为焦点，且过点 （1）求双曲线与其渐近线的方程 （2）若斜率为1的直线与双曲线相交于两点，且（为坐标原点），求直线的方程 【答案】（1）双曲线C的方程为； 渐近线方程为．（2）l方程为． 【解析】 【分析】（1）设出双曲线C方程，利用已知条件求出c，a，解得b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程； （2）设直线l的方程为y＝x+t，将其代入方程，通过△＞0，求出t的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过x1x2+y1y2＝0，求解t即可得到直线方程． 【详解】（1）设双曲线C的方程为，半焦距为c， 则c＝2，，a＝1， 所以b2＝c2﹣a2＝3， 故双曲线C的方程为．　　　　　　　　　 双曲线C的渐近线方程为．　　　　　　　 （2）设直线l的方程为y＝x+t，将其代入方程， 可得2x2﹣2tx﹣t2﹣3＝0（*） △＝4t2+8（t2+3）＝12t2+24＞0，若设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1，x2是方程（*）的两个根，所以， 又由，可知x1x2+y1y2＝0， 即x1x2+（x1+t）（x2+t）＝0，可得， 故﹣（t2+3）+t2+t2＝0，解得， 所以直线l方程为． 【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查计算能力． 18. 在平面直角坐标系中，已知直线：，圆： （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）若，直线与圆相交于两点，求的面积； （3）若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由圆的方程确定圆心的坐标和圆的半径，求到直线的距离，根据条件直线与圆相切，列方程求； （2）求圆心到直线的距离，再由弦长公式求，利用三角形面积公式求结论； （3）设，，由可得，联立与圆方程可得，，由可得，化简并求解方程可得结论. 【小问1详解】 圆的方程 可化为， 所以圆的圆心的坐标为 ，半径， 因为直线与圆相切， 圆心到直线的距离， 所以，解得， 【小问2详解】 由（1）圆的圆心的坐标为 半径， 若，则直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以， 所以的面积， 【小问3详解】 设，， 因为， 所以，故， 由，消得， 方程的判别式， 由已知是方程的根， 所以，， 因为，由可得，结合， 可得，故，， 所以， 所以. 19. 已知抛物线C：经过点是抛物线C上异于点A的动点，且 （1）求直线AB的斜率(用表示)； （2）设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线的斜率之和为1. ①求证：直线l恒过定点Q； ②若向量，且，求的面积S的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，即可得解； （2）①设直线方程为，将其与抛物线方程联立，设，由斜率之和为，结合韦达定理可证明结论； ②由于轴，则，进而化简求最值. 【小问1详解】 根据题意，将点代入抛物线方程， 得，所以抛物线C：， 则，由于，则， 所以； 【小问2详解】 ①设，直线的方程为， 所以， 联立，消去并化简得：， 所以，， 所以， 即， 所以，所以， 所以直线的方程为，即 所以直线过定点，该点坐标为； ②由，，可得轴，且， 联立与，并令，得， 则，且由得， 由，即， 得， 由于得，且， 则的面积 ， 而 ， 由于，得，而即， 即，所以，且，则且， 由于在单调递减，在单调递增， 所以，当，当， 当， 故面积S的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $