精品解析：广东省广州市广东实验中学越秀学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

广东实验中学越秀学校2024—2025学年（上）期中考试题高一年级数学 第一部分选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，由图知道阴影部分表示中把中去掉后剩下元素组成的集合，写出结果即可. 【详解】，由图知道阴影部分表示中把中去掉后剩下元素组成的集合. 即图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 2. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数有意义，则满足，解得， 即函数的定义域为， 又由函数有意义，则满足，解得或 即函数的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意； 对于C中，由函数 与的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以C符合题意； 对于D中，由函数，所以两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D不符合题意. 故选：C. 3. 已知函数，若，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数的图象，利用函数图象的对称变换可得出函数的图象. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 因为，则将函数的图象关于轴对称，可得出函数的图象，如下图所示： 故选：C. 4. 若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 的值域为 C. 方程的实根为 D. 在上为增函数 【答案】A 【解析】 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为的定义域为关于原点对称， 且，所以为偶函数，故A正确； 对于B：因为，所以，所以，所以的值域为，故B错误； 对于B：令，所以，解得， 所以方程的实根为，故C错误； 对于D：因为，所以在上为减函数，故D错误. 故选：A. 5. 命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原命题的否定为真命题，由二次不等式恒成立的条件，求实数的取值范围. 【详解】由题意，原命题的否定“，”为真命题， 令，则当时，， 故，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：D 6. 已知，，则a、b、c的大小关系为（　　） A. a＜b＜c B. c＜a＜b C. b＜a＜c D. c＜b＜a 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答. 【详解】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即， 又函数 在上单调递增，且，于是得，即， 所以a、b、c的大小关系为． 故选：C 7. 下面命题正确的是（ ） A. 已知，则“”是“”的充要条件 B. 命题“若，使得”的否定是“” C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 已知，则“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分不必要条件的定义判断A；利用存在量词命题的否定判断B；利用必要不充分条件的定义判断C；利用既不充分也不必要定义判断D. 【详解】对于A，当时，或，故能推出，但不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，错误； 对于B，由存在量词命题的否定为全称量词命题知： 命题“若，使得”的否定是“”，错误； 对于C，已知，当时，满足，但是不满足， 反之，当时，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件，正确. 对于D，由得或，故推不出， 但是当时，一定成立，即能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，错误； 故选：C 8. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解. 【详解】当时，则， 且，所以， 若函数的值域为，可知当时，则的值域包含， 若，则在内单调递减， 可得，不合题意； 若，则在内单调递增， 可得，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】首先根据奇偶函数的定义判断奇偶性；然后再根据函数单调性的定义来判断函数在区间上的单调性即可. 【详解】对于A选项，函数，其定义域为R，， 所以是偶函数； 函数对称轴为，所以在区间上单调递增，故A正确； 对于B选项，函数，其定义域为，，， 所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数，其定义域为， 所以是奇函数，不是偶函数，故C错误； 对于D选项，函数，其定义域为，， 所以是偶函数， 当时，在区间上单调递增，故D正确. 故选：AD. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】已知关于x的不等式的解集为，则，用a表示出b、c，然后结合一元二次不等式的解法判断B选项，判断C，将化简为即可利用基本不等式进行求解判断D. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，4是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，，，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 故选：AB 11. 已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（ ） A. B. 任意给定， C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据条件确定函数的单调性及对称性，根据单调性来比较大小确定AC；利用单调性及对称性解不等式确定D；根据单调性求出最值确定B. 【详解】任意给定，都有，则函数关于对称， 又任意，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取最大值，B正确； ，C错误； ，所以，A正确； 若，则，解得，D正确， 故选：ABD. 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：＋ ＝_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式、分数指数幂运算、零指数幂运算得出结果. 【详解】＋ ＝ 故答案为： 13. 若函数的定义域是，则函数的定义域是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得出不等式组，即可求得函数的定义域，得到答案. 【详解】由函数的定义域为，则函数有意义，则满足， 解得，即函数的定义域为. 故答案为：. 14. 已知函数，若关于的方程恰有四个不同实数解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作出函数，然后通过数形结合求出答案. 【详解】由于函数，作出其图象如图所示： 由得： 则，方程有一个解； 则有三个解，得∶. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集，，集合，. （1）当时，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先解分式不等式求出集合，再根据并集、补集、交集的定义计算可得； （2）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 解：由，等价于，解得， 所以， 当时， 所以，或， 所以； 【小问2详解】 解：因为“”是“”的充分不必要条件， 所以， 显然，故， 所以，解得，即实数的取值范围为. 16. 已知函数，且其定义域为． （1）判定函数的奇偶性； （2）利用单调性的定义证明：在上单调递减； （3）解不等式． 【答案】（1）奇函数 （2）证明：任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）检验与的关系即可判断; （2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断; （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式. 【小问1详解】 为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 17. 已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数在上的解析式，并作出函数的大致简图； （作图要求，①列表描点；②先用铅笔作出图象，再用黑色签字笔将图象描黑）； （2）并根据图象写出函数单调区间（不用证明）； （3）若不等式在上有解，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）函数的单调递减区间为、，增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质求出函数在上的解析式，综合可得出函数在上的解析式，通过描点、连线，可得出函数的图象； （2）观察图象，可得出函数的单调递增区间和递减区间； （3）求出函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【小问1详解】 解：因为函数为上的奇函数，则， 当时，， 因此，， 列表如下： 作出函数的图象如下图所示： 【小问2详解】 解：由图可知，函数的单调递减区间为、，增区间为. 【小问3详解】 解：当时，由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 且，，即当时，， 由题意可知，存在，使得，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 18. 中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. （1）已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； （2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 【答案】（1） （2）产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元 【解析】 【分析】（1）由分段代入计算即可得. （2）借助一次函数、二次函数的性质与基本不等式计算每段的利润最大值即可得. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当时，， 所以的函数解析式为. 【小问2详解】 当时，， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当，即时取等号，则， 而，所以当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元. 19. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． （1）已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）是增长函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解； （3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【小问1详解】 的定义域为，，，， 即，所以为区间上的增长函数； 【小问2详解】 依题意，，恒成立， 即在上恒成立， 整理得在上恒成立， 因为，所以关于的一次函数是增函数， 所以当时，， 所以，解得， 所以正整数的最小值为； 【小问3详解】 由题意可得：当时，， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，则， 故， 当时，，， 故为上的增长函数， 所以符合题意； 当时，则可得函数大致图象如图： 易知图象与轴交点为，， 而，， 因为在区间上单调递减，则，不能同在区间上， 所以， 又因为当时，，当时，， 若时，令，则，故，不合题意； 所以，解得且， 若且，则有： 当时，则成立； 当时，则， 可得，，即成立； 当时，则，即成立； 故当且时，符合题意， 综上所述：当时，对均有成立， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决； （2）分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东实验中学越秀学校2024—2025学年（上）期中考试题高一年级数学 第一部分选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 已知函数，若，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 4. 若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 的值域为 C. 方程的实根为 D. 在上为增函数 5. 命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6. 已知，，则a、b、c的大小关系为（　　） A. a＜b＜c B. c＜a＜b C. b＜a＜c D. c＜b＜a 7. 下面命题正确的是（ ） A. 已知，则“”是“”的充要条件 B. 命题“若，使得”的否定是“” C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 已知，则“”是“”的既不充分也不必要条件 8. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 11. 已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（ ） A. B. 任意给定， C. D. 若，则 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：＋ ＝_____________． 13. 若函数的定义域是，则函数的定义域是_____． 14. 已知函数，若关于的方程恰有四个不同实数解，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集，，集合，. （1）当时，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数，且其定义域为． （1）判定函数的奇偶性； （2）利用单调性的定义证明：在上单调递减； （3）解不等式． 17. 已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数在上的解析式，并作出函数的大致简图； （作图要求，①列表描点；②先用铅笔作出图象，再用黑色签字笔将图象描黑）； （2）并根据图象写出函数单调区间（不用证明）； （3）若不等式在上有解，求的取值范围． 18. 中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. （1）已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； （2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 19. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． （1）已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $