精品解析：山东省烟台市招远市2026-2027学年第一学期期中考试八年级数学试题

2026—2027学年度第一学期期中考试 初三数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 2. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一组数据的第一四分位数为15，第三四分位数为35，下列说法正确的是（ ） A. 最大值为40 B. 中位数在15到35之间 C. 最小值为10 D. 以上说法都不对 4. 已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（ ） A. 2ab B. －2ab C. 3b2 D. －5b2 5. 方程中的各分子、分母都化为整数后的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙二人五次数学考试成绩如下：甲：135，134，132，138，136；乙：134，135，135，135，136．则甲、乙两人成绩比较稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙稳定性相同 D. 不能确定 7. 关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 2 8. 根据我们学习解决数学问题的经验，我们计算一个几何图形，有时可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式，例如：利用图1可以得到数学等式，那么利用图2可以得到数学等式是（ ） A. B. C. D. 9. 粗心的小明在放学回家后发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是他跑步到学校取了练习册，再步行回家（取练习册时间忽略不计）．已知跑步速度为x米/分，步行速度为y米/分．则他往返一趟的平均速度是（ ） A. 米/分 B. 米/分 C. 米/分 D. 米/分 10. 数学家们在研究，，这三个数的倒数时发现：，因此就将具有这样性质的三个数称为“调和数”，例如，，也是一组调和数．现有一组调和数：，，（），则x的值为（ ） A. 10 B. 14 C. 28 D. 14或28 二．填空题（本大题共6个小题，每个3分，共18分） 11. 若，则的值为______． 12. 多项式和的公因式是________． 13. 在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如图所示，则该班学生成绩的四分位数是______分． 14. 5名同学十一月份参加某次满分为100分的数学测验，成绩如下：90，90，x，x，80．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数x的值为________． 15. 请根据拼图写出一个多项式的因式分解________． 16. 有一道题：甲队修路150m与乙队修路100m所用天数相同，若，求甲队每天修路多少米?根据图中的解题过程，被遮住的条件应是_____ 三．解答题（本大题共9个小题，共72分，请在答题卡指定区域内做题） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 在进行的化简求值时，小宇把错看成，最后求值结果正确，请你通过化简求值解释这一现象． 20. 某校的“数据实践小组”为了比较甲地和乙地2026年2月份的日均气温，收集了两地该月每天的平均气温，制作了如图所示的统计图（不完整），其中甲地每天平均气温依次如下：（单位：℃） 0，1，1，2，2，2，2，3，4，5，5，5，5，5，5，6，7，8，9，10，10，11，12，13，15，18，19，20 根据以上信息回答下列问题： （1）①甲地2月日均气温的中位数为________℃，众数为________℃； ②乙地2月份日均气温最低温度为_______℃，上四分位数为________℃； （2）请在表示甲地“2月每天平均气温”的箱线图中画出该地中位数所对应的横线； （3）结合箱线图，请从数据的集中趋势或离散程度分析这个月甲、乙两地气温的特点． 21. 在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，王老师在黑板上写了一道题目：因式分解．下面是小明同学因式分解的过程，请认真阅读并解决问题 解：原式………………第①步 …………………………………第②步 ………………………第③步 ………………………………第④步 （1）以上解题过程中，从第①步到第②步是利用________公式进行变形的； （2）请你用含a，b的式子写出从第②步到第③步变形运用的公式________； （3）类比小明的解题方法，因式分解． 22. 某城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把长度640千米的普通公路升级成了比原来长度多80千米的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了，行驶时间缩短了2小时，求公路升级以后汽车的平均速度． 23. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列三组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有___________（只填序号）； （2）若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”求分式的值． 24. 【阅读材料】利用我们学过的完全平方公式及不等式知识解决代数式的一些问题．观察下列式子： ①， ∵， ∴， ∴代数式有最小值； ②， ∵， ∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： 【直接应用】 （1）代数式的最小值为________； 代数式的最大值为________； （2）求代数式的最小值； 【迁移拓展】 （3）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，若，求四边形面积的最大值． 25. 某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完；商场又以54000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了300元，售价每台也上调了300元． （1）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？ （2）商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中考试 初三数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要消去分子的负号且保证分式值不变，可对分子分母同乘变形． 【详解】解：． 2. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从因式分解的定义出发，判断结果是否为整式的积且等式成立． 【详解】解：A选项，右边含分式，不是整式的积，不符合要求； B选项，，与左边不相等，等式不成立； C选项，右边为和的形式，不是整式的积，不符合要求； D选项，，是将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解定义． 3. 如果一组数据的第一四分位数为15，第三四分位数为35，下列说法正确的是（ ） A. 最大值为40 B. 中位数在15到35之间 C. 最小值为10 D. 以上说法都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了四分位数的性质，掌握四分位数的顺序关系​，中位数位于第一和第三四分位数之间，而最大最小值无法仅由四分位数确定是解题的关键． 根据四分位数的性质，中位数必然位于第一和第三四分位数之间，因此选项B正确；而选项A和C无法从给定的四分位数直接推断最大或最小值，故不正确． 【详解】解：，且中位数为第二四分位数， ，即，因此中位数在15到35之间； A、最大值可能大于35； C、最小值可能小于15； 故A和C均不一定成立． 故选：B． 4. 已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（ ） A. 2ab B. －2ab C. 3b2 D. －5b2 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式， 则单项式M可以是−5b2． 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 5. 方程中的各分子、分母都化为整数后的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ． 6. 甲、乙二人五次数学考试成绩如下：甲：135，134，132，138，136；乙：134，135，135，135，136．则甲、乙两人成绩比较稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙稳定性相同 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】成绩稳定性由方差决定，需计算甲、乙成绩的方差并比较大小即可． 【详解】解：甲的平均成绩为：， 甲的方差为： ； 乙的平均成绩为：， 乙的方差为： ， ∵， ∴乙的成绩比较稳定． 7. 关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由分式方程有增根可得增根为，将其代入去分母后的整式方程即可求出的值． 【详解】解：原方程可变形为：， 去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴， 解得：， 将代入， 得， 解得：． 8. 根据我们学习解决数学问题的经验，我们计算一个几何图形，有时可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式，例如：利用图1可以得到数学等式，那么利用图2可以得到数学等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最大的正方形面积等于其边长的平方，又等于三个较小的正方形面积与六个长方形的面积之和，据此分别表示出大正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：图2中，最大的正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积又等于三个较小的正方形面积与六个长方形的面积之和， 故大正方形的面积为， ∴． 9. 粗心的小明在放学回家后发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是他跑步到学校取了练习册，再步行回家（取练习册时间忽略不计）．已知跑步速度为x米/分，步行速度为y米/分．则他往返一趟的平均速度是（ ） A. 米/分 B. 米/分 C. 米/分 D. 米/分 【答案】D 【解析】 【分析】设家到学校的路程为米，根据跑步速度和步行速度表示出往返总用时，然后根据速度计算公式，求出他往返一趟的平均速度即可． 【详解】解：设家到学校的路程为米， ∵跑步速度为米/分，步行速度为米/分， ∴跑步到学校用时为分，步行回家用时为分， ∴往返总用时为：分， ∵往返总路程为米， ∴他往返一趟的平均速度为： 米/分． 10. 数学家们在研究，，这三个数的倒数时发现：，因此就将具有这样性质的三个数称为“调和数”，例如，，也是一组调和数．现有一组调和数：，，（），则x的值为（ ） A. 10 B. 14 C. 28 D. 14或28 【答案】C 【解析】 【分析】根据调和数的定义列分式方程，求解后检验即可； 【详解】解：， ， 根据调和数定义得， 去分母得， 解得， 经检验是原分式方程的解． 二．填空题（本大题共6个小题，每个3分，共18分） 11. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】， ， ． 12. 多项式和的公因式是________． 【答案】a 【解析】 【分析】将两个多项式分别通过提取公因式完成因式分解，对比分解结果找出公共的整式因式即可． 【详解】解：∵， ， 多项式和的公因式是． 13. 在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如图所示，则该班学生成绩的四分位数是______分． 【答案】 【解析】 【详解】解：由箱线图可得，该班学生成绩的四分位数是68分 ． 14. 5名同学十一月份参加某次满分为100分的数学测验，成绩如下：90，90，x，x，80．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数x的值为________． 【答案】70或95 【解析】 【分析】根据x的取值范围分三类确定数据的中位数，结合平均数与中位数相等的条件列方程求解，注意成绩为不超过100的整数． 【详解】解：5个数据的中位数为从小到大排序后的第3个数据，根据x的取值范围分三种情况讨论：①当时，将数据从小到大排序为，此时中位数为80， 根据题意列方程：， 解得：，符合且为不超过100的整数，符合题意； ②当时，将数据从小到大排序为，此时中位数为， 根据题意列方程：， 解得，不是整数，舍去； ③当时，将数据从小到大排序为，此时中位数为90， 根据题意列方程：， 解得，符合且为不超过100的整数，符合题意； 综上，整数x的值为70或95． 15. 请根据拼图写出一个多项式的因式分解________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等积法，写出一个多项式的因式分解即可. 【详解】解：由图可知，. 16. 有一道题：甲队修路150m与乙队修路100m所用天数相同，若，求甲队每天修路多少米?根据图中的解题过程，被遮住的条件应是_____ 【答案】乙队每天修路比甲队2倍少30m 【解析】 【分析】根据图中的方程，可以写出被遮住的条件，本题得以解决． 【详解】解：由图表可得方程：， 故被遮住的条件是乙队每天修路比甲队2倍少30m． 故答案为：乙队每天修路比甲队2倍少30m． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，写出被遮住的条件． 三．解答题（本大题共9个小题，共72分，请在答题卡指定区域内做题） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【小问1详解】 解：， 方程两边都乘得：， 解这个方程得：， 检验：当时，原方程中分式和的分母的值不为0， ∴原方程的解为：． 【小问2详解】 解：， 整理得：， 方程两边都乘得：， 解这个方程得：， 检验：当时，原方程中分式和的分母的值为0， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 19. 在进行的化简求值时，小宇把错看成，最后求值结果正确，请你通过化简求值解释这一现象． 【答案】 原式． 当且时，原式的值与的取值无关， ∴小宇把错看成，最后求值结果正确． 【解析】 【详解】略 20. 某校的“数据实践小组”为了比较甲地和乙地2026年2月份的日均气温，收集了两地该月每天的平均气温，制作了如图所示的统计图（不完整），其中甲地每天平均气温依次如下：（单位：℃） 0，1，1，2，2，2，2，3，4，5，5，5，5，5，5，6，7，8，9，10，10，11，12，13，15，18，19，20 根据以上信息回答下列问题： （1）①甲地2月日均气温的中位数为________℃，众数为________℃； ②乙地2月份日均气温最低温度为_______℃，上四分位数为________℃； （2）请在表示甲地“2月每天平均气温”的箱线图中画出该地中位数所对应的横线； （3）结合箱线图，请从数据的集中趋势或离散程度分析这个月甲、乙两地气温的特点． 【答案】（1）①5；5；②5， （2）在甲地“2月每天平均气温”的箱线图中画出该地中位数所对应的横线如图所示： （3）由箱线图可知，甲地2月每天的平均气温比乙地波动大．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）①根据中位数及众数的定义进行求解即可； ②根据乙地的箱线图进行求解即可； （2）根据题意作图即可； （3）根据箱线图进行求解即可． 【小问1详解】 解：①由题可知：甲地2月日均气温的中位数为第14个数据和第15个数据的平均数，即为（℃）；其中5出现的次数最多，所以众数是℃； ②根据箱线图可知：乙地2月份日均气温最低温度为℃，上四分位数为℃； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，王老师在黑板上写了一道题目：因式分解．下面是小明同学因式分解的过程，请认真阅读并解决问题 解：原式………………第①步 …………………………………第②步 ………………………第③步 ………………………………第④步 （1）以上解题过程中，从第①步到第②步是利用________公式进行变形的； （2）请你用含a，b的式子写出从第②步到第③步变形运用的公式________； （3）类比小明的解题方法，因式分解． 【答案】（1）完全平方 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 22. 某城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把长度640千米的普通公路升级成了比原来长度多80千米的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了，行驶时间缩短了2小时，求公路升级以后汽车的平均速度． 【答案】公路升级以后汽车的平均速度为 【解析】 【详解】解：设公路升级以前汽车的平均速度为x千米/小时，则公路升级以后汽车的平均速度为千米/小时， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴； 答：公路升级以后汽车的平均速度为． 23. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列三组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有___________（只填序号）； （2）若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”求分式的值． 【答案】（1）②③ （2）或 【解析】 【分析】（1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断； （2）根据分式与属于“友好分式组”，得，求出①，②，分别把①②代入分式求出结果即可． 【小问1详解】 解：①， ②， ③， ∴属于“友好分式组”的有②③， 故答案为：②③； 【小问2详解】 解：∵ ， ∵分式与属于“友好分式组”， ∴， ∴或， ∴或， 把代入得； 把代入得， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． 24. 【阅读材料】利用我们学过的完全平方公式及不等式知识解决代数式的一些问题．观察下列式子： ①， ∵， ∴， ∴代数式有最小值； ②， ∵， ∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： 【直接应用】 （1）代数式的最小值为________； 代数式的最大值为________； （2）求代数式的最小值； 【迁移拓展】 （3）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）；10 （2）代数式的最小值为5 （3）四边形面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）利用完全平方公式分解因式得到，据此求解即可； （3）根据，可得，根据，得出，代入得出，据此可得答案． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； ， ∵， ∴， ∴代数式的最大值为10； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为5； 【小问3详解】 解：由题意可得： ， ∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 25. 某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完；商场又以54000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了300元，售价每台也上调了300元． （1）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？ （2）商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？ 【答案】（1）商场第一次购入的空调每台进价是2400元 （2）最多可将5台空调打折出售 【解析】 【分析】（1）设商场第一次购入的空调每台进价是x元，根据题目条件“商场又以54000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了300元”列出分式方程解答即可； （2）设将y台空调打折出售，根据题目条件“在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售”列出不等式并解答即可． 【小问1详解】 解：设商场第一次购入的空调每台进价是x元，则第二次购入的空调每台进价是元， 由题意得：， 解得：． 经检验可知：是原分式方程的解，且符合题意． 答：商场第一次购入的空调每台进价是2400元． 【小问2详解】 解：第二次购入的空调的进价为：元， 售价为：元， 数量为：台， 第一次购入的空调的数量为：台． 设商场第二次购入的空调打折销售了y台，则未打折销售的是台， 由题意得： ， 解得： ∵取整数， ∴的最大整数值为5， 答：最多可将5台空调打折出售． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $