精品解析：山东淄博市淄川区2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试卷

初三数学试题 （时间120分 满分150分） 2026.10 亲爱的同学们： 这份试题将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，老师会一直投给你信任的目光．请你认真审题，看清要求，仔细答题．祝你考出好成绩，为初三学年第一学期的期中数学学习画上圆满的句号！特别提醒：本次考试不允许使用计算器． 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）． 1. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是关键．根据提公因式法和十字相乘法因式分解各项，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2. 乐乐前两次数学考试的平均成绩是93分，第三次考试成绩是99分，她这三次考试的平均成绩是（ ） A. 93分 B. 94分 C. 95分 D. 96分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数的意义及求法，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 乐乐这三次测试的平均成绩，是用前2次的分数和加后一次的分数和，再除以测试次数3． 【详解】解：由题意得， （分） 故选：C． 3. 下列多项式，可以用公式法分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：，不符合平方差及完全平方公式结构，不能用公式法分解； B、C、D为三项式，对照完全平方公式判断： B选项：中，与的中间项应为，不符合要求； C选项：中，与的中间项应为，不符合要求； D选项：，符合完全平方公式，可以分解． 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对已知等式去分母变形，整理出与所求分式分子相关的表达式，代入求值． 【详解】解：∵，两边同乘，得，移项得， ∴． 5. 下列统计量或统计图，不能反映一组数据离散程度的是（ ） A. 离差平方和 B. 加权平均数 C. 方差 D. 箱线图 【答案】B 【解析】 【详解】解：离差平方和数值越大，数据波动越大，可反映离散程度， 方差是衡量数据离散程度的统计量， 箱线图可展示数据的分布范围与波动情况，能反映离散程度， 加权平均数反映数据的集中趋势，不能反映离散程度． 6. 把6个数据20，22，24，28，29，33分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算两组数据的平均数和组内离差平方和，相加得到总组内离差平方和． 【详解】解：第一组数据的平均数为，第一组的离差平方和为， 第二组数据的平均数为，第二组的离差平方和为， 总组内离差平方和为． 7. 若分式中的x和y都扩大为原来的4倍后，分式的值不变，则A可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：x和y都扩大为原来的4倍后，分母变为，即分母扩大为原来的4倍， ∵分式的值不变， ∴分子A需扩大为原来的4倍， 将x，y替换为，代入选项A，得，符合要求， 其余选项均不满足该条件． 8. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 9. 如图是根据八年级（1）班某次考试的五科成绩绘制的箱线图，观察统计图可知，成绩的中位数最低的科目是（ ） A. 语文 B. 数学 C. 英语 D. 历史 【答案】C 【解析】 【详解】解：由箱线图可知，成绩的中位数最低的科目是英语． 10. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B. 甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C. 乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D. 乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，平均数与方差的意义，解答本题的关键是掌握平均数与方差的意义． 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案． 【详解】解：根据折线统计图可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定；又根据折线统计图可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高； 故选：D． 11. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式分解因式、整体代入法求代数式的值，先利用平方差公式对所求代数式进行因式分解，可得：原式，再将分解后的式子与已知条件建立联系，代入计算即可得出结果. 【详解】解： ， ，， 原式 ． 故选：B． 12. 如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．被墨水污染部分的文字为（ ） 某校为魔方社团采购某种魔方，第一次用1500元买了若干个，第二次用1000元在同一商家购买了同款的魔方，求第一次购买了多少个魔方？ A. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程中分母及分式的实际意义，确定第二次购买数量及单价与第一次的关系即可． 【详解】解：设第一次购买了个魔方， 方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又∵所列方程为， ∴第一次购买魔方的单价比第二次高元，即第二次购买魔方的单价比第一次低元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠元，结果比上次少买了个． 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 13. 对于式子“”和“x”来说，除了一个是分式，另一个是整式这个不同点外，请你再列举一个不同点_______． 【答案】 有意义的条件是，而作为整式，可以取任意实数（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】从代数式的取值范围、特殊值下的存在性与取值表现角度对比，排除已给出的分式与整式的分类差异，即可找到二者的不同点. 【详解】解：∵分式有意义的要求是分母不能为0， ∴对于，只有当时，式子才有意义， ∵整式不存在分母为0的限制， ∴对于整式，可以取任意实数. 14. 若多项式取得最小值，则x的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将给定多项式变形利用完全平方公式分解因式，结合平方数的非负性确定多项式取最小值的条件，求解对应x的值． 【详解】解： ∵，当且仅当时，取得最小值， ∴ 令， 解得． 15. 已知一组数据为1，5，7，3，13，11，9，15，则这组数据的四分位数_______，_______，_______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】将数据从小到大排序，根据分位数计算规则，通过计算各分位对应的位置，结合位置特征确定对应分位数值． 【详解】解：首先将给定数据从小到大排列为，可知数据总个数， 方法一：计算分位数对应位置：，为整数，因此为排序后第2项与第3项数据的算术平均值，即， 计算分位数对应位置：，为整数，因此为排序后第4项与第5项数据的算术平均值，即， 计算分位数对应位置：，为整数，因此为排序后第6项与第7项数据的算术平均值，即； 方法二：中位数为， 上四分位数为后半部分的中位数，即为， 下四分位数为前半部分的中位数，即为． 16. 已知分式方程■有解．小亮在解该方程时，抄错等号右边的数值．但他记得等号右边的数不是就是0，则“■”表示的数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简方程左侧的分式，再分别代入两个候选的右侧数值，根据分式方程有解的判定规则，排除无解的情况，即可得到正确结果． 【详解】解：∵， ∴， 1.若■为，则方程为， 两边同乘（），得， 整理得，即，等式不成立，该方程无有效解，不符合原方程有解的条件； 2.若■为，则方程为， ∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0 ∴令分子，解得， 检验：当时，分母，是方程的有效解，符合原方程有解的条件； ∴■表示的数是． 17. 一项工程，甲单独做完成，乙单独做完成，甲、乙两人一起完成这项工程的一半需要_______． 【答案】 【解析】 【分析】将总工作量设为单位1，先分别求出甲、乙的工作效率，再计算两人合作的总工作效率，最后用总工程一半的工作量除以合作总效率，即可得到两人合作完成一半工程所需的时间． 【详解】解：把这项工程的总工作量看作单位1，需要完成的目标工作量为总工程的一半，即， ∵甲单独做完成， ∴甲的工作效率为每小时完成， ∵乙单独做完成， ∴乙的工作效率为每小时完成， ∵甲乙合作的总工作效率为， ∴完成一半工程所需的时间为． 18. 若一个数的各位数字之积加上各位数字之和，恰好等于这个数，我们称这个数为“巧数”，则在所有两位数中，最大的巧数是_______． 【答案】 99 【解析】 【分析】设两位数的十位、个位数字，根据巧数定义列方程化简，得到巧数的数字特征，再结合两位数的取值范围寻找最大值. 【详解】解：设两位数的十位数字为，个位数字为，其中为1到9的整数，为0到9的整数，则该两位数可表示为， 由题意，， ∴ ∵是十位数字， ∴等式两边同时除以，得； 即所有个位数字为9的两位数都是巧数， 要找最大的两位巧数，需让十位数字取最大的9，此时个位为9，对应数为99. 19. 已知是正整数，关于的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有正整数的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，解题关键是熟练掌握分式方程解的定义和解分式方程的一般步骤．先解关于的分式方程，再根据分式方程有非负整数解，列出关于的方程，解方程求出，然后根据是正整数，求出满足条件的所有正整数的值，再求出它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 分式方程有非负整数解， 且， 且， 是正整数， 或3， 满足条件的所有正整数的和为：， 故答案为：8． 20. 某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，可求得提速前列车的平均速度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了列代数式，分式方程的实际应用，正确找出等量关系是解题关键．直接利用总出路程除以速度时间，进而得出等式求出答案． 【详解】解：设提速前列车的平均速度为，根据题意可得： ， 解得：． 故答案为：． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）． 21. 分解因式或解方程 （1）分解因式： ①； ②． （2）解方程： ①； ②． 【答案】（1）①；② （2）①；②无解 【解析】 【小问1详解】 解：①原式； ②原式 ； 【小问2详解】 解：① 解得：， 经检验：当时，， ∴原方程的解为； ② 解得：， 经检验：当时，， ∴原方程无解． 22. 某鞋厂为了了解初中学生的鞋码情况，对某中学八年级一班的20名男生所穿鞋码进行了调查，结果如图． （1）写出男生鞋码数据的平均数、众数； （2）在平均数和众数中，鞋厂最感兴趣的是哪一个？为什么？ 【答案】（1）平均数为；众数为40 （2）鞋厂最感兴趣的是众数；因为鞋厂最感兴趣的是使用的人数，所以鞋厂最感兴趣的是众数 【解析】 【分析】（1）根据平均数、众数的定义求解分析．40出现的次数最多为众数； （2）鞋厂最感兴趣的是使用的人数，即众数． 【小问1详解】 解：平均数； 观察图表可知：有7人的鞋号为40，人数最多，即众数是40； 【小问2详解】 略 23. 化简及求值： （1）； （2），其中，． 【答案】（1） （2）化简结果为，代入求值结果为 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； ∵，， ∴原式． 24. 【阅读材料】将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法． 分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成两数和（差）的平方式，若可以，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组．例如： ； ． （1）【应用知识】因式分解： ①； ②． （2）【拓展应用】已知某三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）①；② （2）该三角形是等边三角形，理由如下： ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵a，b，c是三角形的三边长， ∴该三角形是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据分组分解求解①②即可； （2）先对等式进行因式分解，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：①原式 ； ②原式 ； 【小问2详解】 略 25. 【数据收集】某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如图1所示的统计图． （1）【数据分析】小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数，得环， 环，可以看出， （填“A”或“B”）的平均成绩略高；通过计算方差，得， ，可以看出， （填“A”或“B”）的射击水平发挥更稳定． （2）【数据分析】小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析： 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 表中①处应填 ，②处应填 ，③处应填 ；可以发现选手A射击成绩的中位数 （填“”“”或“”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动 （填“大”或“小”）． （3）【作出决策】请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1），B，，B （2），，，，大 （3）选择B选手参加青少年射击比赛， 理由如下：因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的公式计算即可得出结果； （2）根据四分位数的定义计算即可得出结果； （3）根据方差分析即可得出结果． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴B的平均成绩略高， ， ∵， ∴B的射击水平发挥更稳定； 【小问2详解】 解：方法一：选手A的数据从小到大排列为，，，，，，，， 下四分位数为前四个数的中位数，即， 中位数； 选手B的数据从小到大排列为，，，，，，，， 上四分位数为后四个数的中位数，即； 方法二：选手A的数据从小到大排列为，，，，，，，， ∵， ∴第一四分位数为第个数和第个数的平均值，即， 中位数； 选手B的数据从小到大排列为，，，，，，，， ∵， ∴第三四分位数为第个数和第个数的平均值，即； 综上所述，表中①处应填，②处应填，③处应填；可以发现选手A射击成绩的中位数选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大； 【小问3详解】 略． 26. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【答案】（1）A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元 （2）共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少． 【解析】 【分析】（1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解 【小问1详解】 解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得： , 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元； 【小问2详解】 解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得： ，解得， ∵须为非负整数， ∴可取，，， ∴共有三种方案： 方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）， ∵ ∴方案三总费用最少． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试题 （时间120分 满分150分） 2026.10 亲爱的同学们： 这份试题将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，老师会一直投给你信任的目光．请你认真审题，看清要求，仔细答题．祝你考出好成绩，为初三学年第一学期的期中数学学习画上圆满的句号！特别提醒：本次考试不允许使用计算器． 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）． 1. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 乐乐前两次数学考试的平均成绩是93分，第三次考试成绩是99分，她这三次考试的平均成绩是（ ） A. 93分 B. 94分 C. 95分 D. 96分 3. 下列多项式，可以用公式法分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列统计量或统计图，不能反映一组数据离散程度的是（ ） A. 离差平方和 B. 加权平均数 C. 方差 D. 箱线图 6. 把6个数据20，22，24，28，29，33分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 7. 若分式中的x和y都扩大为原来的4倍后，分式的值不变，则A可能是（ ） A. B. C. D. 8. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是根据八年级（1）班某次考试的五科成绩绘制的箱线图，观察统计图可知，成绩的中位数最低的科目是（ ） A. 语文 B. 数学 C. 英语 D. 历史 10. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B. 甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C. 乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D. 乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 11. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．被墨水污染部分的文字为（ ） 某校为魔方社团采购某种魔方，第一次用1500元买了若干个，第二次用1000元在同一商家购买了同款的魔方，求第一次购买了多少个魔方？ A. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 13. 对于式子“”和“x”来说，除了一个是分式，另一个是整式这个不同点外，请你再列举一个不同点_______． 14. 若多项式取得最小值，则x的值为_______． 15. 已知一组数据为1，5，7，3，13，11，9，15，则这组数据的四分位数_______，_______，_______． 16. 已知分式方程■有解．小亮在解该方程时，抄错等号右边的数值．但他记得等号右边的数不是就是0，则“■”表示的数是_______． 17. 一项工程，甲单独做完成，乙单独做完成，甲、乙两人一起完成这项工程的一半需要_______． 18. 若一个数的各位数字之积加上各位数字之和，恰好等于这个数，我们称这个数为“巧数”，则在所有两位数中，最大的巧数是_______． 19. 已知是正整数，关于的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有正整数的和为________． 20. 某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，可求得提速前列车的平均速度为_________． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）． 21. 分解因式或解方程 （1）分解因式： ①； ②． （2）解方程： ①； ②． 22. 某鞋厂为了了解初中学生的鞋码情况，对某中学八年级一班的20名男生所穿鞋码进行了调查，结果如图． （1）写出男生鞋码数据的平均数、众数； （2）在平均数和众数中，鞋厂最感兴趣的是哪一个？为什么？ 23. 化简及求值： （1）； （2），其中，． 24. 【阅读材料】将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法． 分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成两数和（差）的平方式，若可以，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组．例如： ； ． （1）【应用知识】因式分解： ①； ②． （2）【拓展应用】已知某三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 25. 【数据收集】某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如图1所示的统计图． （1）【数据分析】小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数，得环， 环，可以看出， （填“A”或“B”）的平均成绩略高；通过计算方差，得， ，可以看出， （填“A”或“B”）的射击水平发挥更稳定． （2）【数据分析】小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析： 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 表中①处应填 ，②处应填 ，③处应填 ；可以发现选手A射击成绩的中位数 （填“”“”或“”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动 （填“大”或“小”）． （3）【作出决策】请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 26. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $