精品解析：上海市天山初级中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026学年第一学期九年级数学学科期中考试试卷 （考试时间100分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简各选项的函数解析式，再结合二次函数的定义判断． 【详解】解：A选项为一次函数，不符合； B选项：，二次项系数为，是二次函数； C选项：，为一次函数，不符合； D选项：中是分式，解析式不是整式，不符合． 2. 下列二次函数的图像与轴没有交点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于二次函数（），当时，图像与轴无交点； A选项：，与轴有2个交点； B选项：，与轴有2个交点； C选项：，与轴无交点； D选项：将展开得，，与轴有1个交点． 3. 抛物线的顶点总在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 直线上 D. 直线上 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式可知其顶点坐标为（k，k），再根据横坐标与纵坐标相等即可得出结论． 【详解】∵抛物线的解析式为y=a（x-k）2+k， ∴抛物线的顶点坐标为（k，k）， ∵顶点坐标的横坐标与纵坐标相等， ∴抛物线的顶点坐标总在直线y=x上． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，根据抛物线的顶点式得出其顶点横坐标与纵坐标相等是解答此题的关键． 4. 如图，已知，它们依次交直线，于点、、和点、、，若，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 根据现有条件无法得到，， 故只有B选项中的结论正确，符合题意． 5. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是(　　) A. ∠A＝55°，∠D＝35° B. AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 C. AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D. AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【详解】A．相似：∵∠A=55°，∴∠B=90°﹣55°=35°．∵∠D=35°，∴∠B=∠D．∵∠C=∠F，∴△ABC∽△DEF，不符合题意； B．相似：∵AC=9，BC=12，DF=6，EF=8，∴．∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF，不符合题意； C．有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似，符合题意； D．相似：∵AB=10，BC=6，DE=15，EF=9，∴．∵∠C=∠F，∴△ABC∽△DEF，不符合题意． 故选C 【点睛】本题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例． 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 6. 若，则________． 【答案】6 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 7. 若是二次函数，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】依据二次函数的定义，二次项系数不能为，据此建立不等式求解． 【详解】解：∵函数是二次函数 ∴该函数的二次项系数不能为，即， 解得． 8. 如果抛物线开口朝上，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线开口向上时二次项系数为正，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线开口朝上， ∴二次项系数满足， 解得． 9. 若抛物线的对称轴是直线，则其顶点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的对称轴是直线，得，所以，则抛物线为，从而得出其顶点的坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴ ∴抛物线为， ∴顶点坐标为． 10. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，线段的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合黄金分割点的定义，根据题干给出的的条件，确定为线段的较长分割段，代入黄金分割比例即可计算对应长度． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴是线段上的较长段，满足， ∴． 11. 将抛物线向下平移2个单位再向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先把原抛物线化为顶点式，再根据平移方式确定平移后的表达式． 【详解】解：， ∴向下平移2个单位再向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是 ． 12. 已知点，，都在抛物线上，那么、、的数量关系是______（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴为直线，又，则抛物线开口向下，所以抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，函数值越小，通过比较各点到对称轴的水平距离，即可求出函数值的大小关系． 【详解】解：对于抛物线，由对称轴公式可得对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，函数值越小， 由点的横坐标为，到对称轴的距离为， 点的横坐标为，到对称轴的距离为， 点的横坐标为，到对称轴的距离为， ∵距离大小关系为， ∴函数值的大小关系为． 13. 如图，点、、分别位于的三边上，且，，如果的面积为3，的面积为12，那么四边形的面积是_________． 【答案】12 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，，从而证出，根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出，进而求出；再利用平行证出，求出，最后根据即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 14. 若抛物线与x轴交于A，B两点，其顶点C到x轴距离是8，则线段AB的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】设顶点式，再解方程得，然后把B点和A点的横坐标相减得到AB的长度． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 当y=0时，，解得：， ∴， ∴ 故答案为：4． 【点睛】此题考查了二次函数与x轴交点问题，解题的关键是设出顶点式并解方程表示出A，B两点的坐标． 15. 如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作交于，设 由三角形的周长关系可得：再证明：利用相似三角形的性质求解再证明：可得：再解方程组可得答案． 【详解】解：如图，过作交于， 设 为的中点， 即： 解得：或， 经检验：不合题意，舍去， 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共8题，第16、17、18、19题每题10分，第20、21、22题每题12分，第23题14分，满分90分） 16. 已知线段a、b、c满足，且，求的值． 【答案】12 【解析】 【详解】试题分析:因为已知条件以连等式形式,可设连等式等于一个常数k(k≠0),从而可以把a,b,c用k表示,然后代入到中可列出关于k的方程,从而把k解出,然后再求出a,b,c的值,再将a,b,c的值代入即可求值. 解：（1）设, 则,,, 代入, , 解得, 所以,,, 所以. 17. 将二次函数的解析式用“配方法”化为的形式，并指出该函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【答案】配方后的解析式为，函数图像的开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 【解析】 【详解】解：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵二次项系数为， ∴函数图像的开口向上． 18. 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个不同的交点． （1）求的取值范围； （2）试说明图像与轴的两个交点都在轴的负半轴上． 【答案】（1） （2）证明：设二次函数图像与轴两个交点的横坐标为，，即方程的两个实数根为，， 由根与系数的关系得：，， ∵， ∴，即，故与同号， 由（1）知， ∴ ， ∴ ，即， ∵ 与同号且和为负数， ∴ ，，即图像与轴的两个交点都在轴的负半轴上． 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式解答即可； （2）设二次函数图像与轴两个交点的横坐标为，，由根与系数的关系得：，，根据，可得与同号，由（1）知， ∴ ，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数（为常数）的图像与轴有两个不同的交点， ∴，即， 解得：； 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，，，平分，． （1）当时，求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，易得，再根据相似三角形的性质，计算即可； （2）设，，则，根据相似三角形的性质，易得，从而，再根据角平分线的性质，易得，进而，列出等式，可得，代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ； 【小问2详解】 解：设，，则， ，， ，即， ， 平分， 点到、的距离相等， ， ， ， ， ， ， 则的值为． 20. 我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一，是中国制造的一张“亮丽名片”．某企业测试一款新型电动汽车的电池续航性能，在匀速行驶等理想条件下，测得部分数据如下： 行驶速度（公里/小时） 50 60 70 80 90 实际能耗（千瓦时/百公里） 14.82 14.1 13.86 14.1 14.82 （1）请根据表格中的数据在坐标系中画出相应的点； （2）结合（1）中所描点的分布特征，从反比例函数、一次函数、二次函数中选择最符合实际能耗与行驶速度之间关系的函数，并求出该函数表达式； （3）该款汽车的电池容量为60.48千瓦时，其实际续航里程（公里），当汽车匀速行驶且速度介于60公里/小时到85公里/小时之间（含60与85）时，求实际续航里程的最小值． 【答案】（1） （2） （3）420 【解析】 【分析】（1）根据表格描点即可； （2）根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征，再根据待定系数法解答即可； （3）求出在范围内的最小值即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征， 由表格数据的特点可看出对称轴为，顶点为， ∴设函数表达式为， 将点代入得：， 解得， 验证其余点均满足该式， 函数表达式为：， 最符合的是二次函数，函数表达式为：； 【小问3详解】 解：设实际续航里程为，则根据题意， ∴随的增大而减小， 当最大时，取最小值， 二次函数开口向上，对称轴为直线， 在范围内，随增大而减小，在范围内，随增大而增大； 当时，， 当时，， 在范围内的最大值为14.4， ∴， 故实际续航里程的最小值为420千米． 21. 如图，在四边形中，，过点作交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：如图，， ； 又， ； ， ． （2）证明：， ； ， ， ； ， ， ， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】（1）证明，，得到，即可解决问题． （2）证明，此为解题的关键性结论；结合，得到，进而证明，结合已知条件证明，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 在数学活动课上，小宁数学探究兴趣小组对二次函数的图像进行了深入的探究：若将二次函数图像上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，则将得到一个新的点，他们把这个点定义为点的“和点”． 进一步探究发现： 由二次函数图像上所有的点对应的“和点”构成的图像也是一条抛物线，其表达式为，将此抛物线定义为的“和抛物线”． 请根据上述定义回答下列问题： （1）①点的“和点”坐标为________． ②点的“和点”坐标为，则点的坐标为_________． （2）若抛物线经过点，求此抛物线的“和抛物线”； （3）已知抛物线图像上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为． ①当时，求的取值范围； ②小宁发现，当取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，这两条新抛物线、顶点之间的距离为________． 【答案】（1）①；② （2） （3）①；②1 【解析】 【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可； （2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可； （3）①先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为，并化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可；②根据题意确定原函数的顶点坐标，得出相应的二次函数解析式，确定顶点坐标，再确定的顶点坐标即可得出结果． 【小问1详解】 解：①由题意得，点的“和点”坐标为，即； ②∵点的“和点”坐标为， ∴点Q的横坐标为， ∴点Q的纵坐标为， ∴点Q的坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的“和抛物线”为， ∴抛物线的“和抛物线”为， 【小问3详解】 解：∵点是点的“和点”， ∴，解得，即， 将点代入抛物线得：，则， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的“和抛物线”为， 即 ∵“和抛物线”的顶点坐标为， ∴， ∵， ∵，且， 时，n有最大值，且最大值为1， 由增减性可知，当时，n随c的增大而增大，当时，n随c的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，n的取值范围是； ②原抛物线的解析式为， ∴， ∴ ∴， ∵所有的顶点组成一条新的抛物线，设为， ∴，对应的顶点坐标为； ∵， ∴， ∴ ∵所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为， ∴，对应的顶点坐标为， ∴这两条新抛物线、顶点之间的距离为． 23. 如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设． （1）试用的代数式表示； （2）当点是边的中点时，求的值； （3）当是等腰三角形时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，得，计算可得，从而，，再根据题意，易得，进而，最后利用相似三角形的性质，即可求解； （2）根据中点和勾股定理，易求，，，，再根据，得，易得，从而可得，利用平行，易得，进而，最后代入计算即可； （3）根据线段之间的关系，易得，再根据是等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，可得，求解即可；②当时，根据角之间的关系，转化可得，从而得，进而，求解即可；③当时，作，利用面积相等可求，再利用勾股定理，得，根据“三线合一”得，代入得，求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， 在中，， ，，， ，，即， ， ， ， ， ， ， ，即， ； 【小问2详解】 解：点是边的中点， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：，， ， 当是等腰三角形时，分三种情况， ①当时， ， ， ， 则的长为； ②当时， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 则的长为； ③当时，如图，作交于点， ， ， 在中，， 是等腰三角形，， ， ， ， 则的长为； 综上所述：的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学学科期中考试试卷 （考试时间100分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次函数的图像与轴没有交点的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点总在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 直线上 D. 直线上 4. 如图，已知，它们依次交直线，于点、、和点、、，若，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是(　　) A. ∠A＝55°，∠D＝35° B. AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 C. AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D. AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 6. 若，则________． 7. 若是二次函数，则的取值范围是______． 8. 如果抛物线开口朝上，则的取值范围是___________． 9. 若抛物线的对称轴是直线，则其顶点的坐标是______． 10. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，线段的长度为______． 11. 将抛物线向下平移2个单位再向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是____________． 12. 已知点，，都在抛物线上，那么、、的数量关系是______（用“”连接）． 13. 如图，点、、分别位于的三边上，且，，如果的面积为3，的面积为12，那么四边形的面积是_________． 14. 若抛物线与x轴交于A，B两点，其顶点C到x轴距离是8，则线段AB的长为______． 15. 如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为______． 三、解答题（本大题共8题，第16、17、18、19题每题10分，第20、21、22题每题12分，第23题14分，满分90分） 16. 已知线段a、b、c满足，且，求的值． 17. 将二次函数的解析式用“配方法”化为的形式，并指出该函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 18. 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个不同的交点． （1）求的取值范围； （2）试说明图像与轴的两个交点都在轴的负半轴上． 19. 如图，在中，，，平分，． （1）当时，求的长； （2）求的值． 20. 我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一，是中国制造的一张“亮丽名片”．某企业测试一款新型电动汽车的电池续航性能，在匀速行驶等理想条件下，测得部分数据如下： 行驶速度（公里/小时） 50 60 70 80 90 实际能耗（千瓦时/百公里） 14.82 14.1 13.86 14.1 14.82 （1）请根据表格中的数据在坐标系中画出相应的点； （2）结合（1）中所描点的分布特征，从反比例函数、一次函数、二次函数中选择最符合实际能耗与行驶速度之间关系的函数，并求出该函数表达式； （3）该款汽车的电池容量为60.48千瓦时，其实际续航里程（公里），当汽车匀速行驶且速度介于60公里/小时到85公里/小时之间（含60与85）时，求实际续航里程的最小值． 21. 如图，在四边形中，，过点作交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，求证：． 22. 在数学活动课上，小宁数学探究兴趣小组对二次函数的图像进行了深入的探究：若将二次函数图像上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，则将得到一个新的点，他们把这个点定义为点的“和点”． 进一步探究发现： 由二次函数图像上所有的点对应的“和点”构成的图像也是一条抛物线，其表达式为，将此抛物线定义为的“和抛物线”． 请根据上述定义回答下列问题： （1）①点的“和点”坐标为________． ②点的“和点”坐标为，则点的坐标为_________． （2）若抛物线经过点，求此抛物线的“和抛物线”； （3）已知抛物线图像上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为． ①当时，求的取值范围； ②小宁发现，当取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，这两条新抛物线、顶点之间的距离为________． 23. 如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设． （1）试用的代数式表示； （2）当点是边的中点时，求的值； （3）当是等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $