精品解析：上海市金山区2026-2027学年九年级数学第一学期期中考试卷

2026学年第一学期期中学情诊断 九年级数学试卷 本卷满分150分 考试时间100分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（120分） 一、单选题（共20分） 1. 如果、满足，那么下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将比例式转化为等积式即可． 【详解】解：∵，∴， 故B答案正确． 2. 对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A. 各个内角的大小始终保持不变 B. 各条边的长度始终保持不变 C. 三角形的面积始终保持不变 D. 三角形的周长始终保持不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是根据相似三角形的性质来判断．根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例的性质来判断． 【详解】解：一个三角形进行放缩运动，各个内角的大小始终保持不变，故A符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，故B选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，面积也进行变化，故C选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，周长也进行变化，故D选项不符合题意， 故选：A． 3. 已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像的性质，根据抛物线关于轴对称的性质，由于点和点的纵坐标相同，因此它们的横坐标互为相反数，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为轴，且点和的纵坐标均为， 点和点关于轴对称， ， 故选：B． 4. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴A、添加，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； B、添加，得到，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； C、添加，根据“两组边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； D、添加，不能判定与相似，选项符合题意． 5. 方程的根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【详解】解：将方程移项得，则方程的根可看作函数和图象交点的横坐标． 二、填空题（共44分） 6. 已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】若线段a，b，c，d满足，称线段a，b，c，d为成比例的线段，根据定义计算判断即可． 本题考查了成比例线段，熟练掌握定义，准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，其中，，， ∴； ∴； 解得， 故答案为：． 7. 若点C是线段的黄金分割点，，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，然后把的长代入计算即可，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫作把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．特别要注意线段的黄金分割点有两个． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， 故答案为：． 8. 如图，直线，如果，，那么的长是______． 【答案】16 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ． 9. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，那么点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似变换的性质，以原点为位似中心，若位似比为，则对应点的坐标等于原坐标乘以或． 【详解】解： 与关于点位似，且位似比为 ， ∴点的坐标是点的坐标乘以 ， ∵ ， ∴点的横坐标为 ， ∴点的纵坐标为，  ∴点的坐标是． 11. 广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为___________米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，由题意可知水珠落地时高度，代入二次函数解析式并求解，即可获得答案． 【详解】解：对于函数，令，得， 整理可得， 解得， 对应喷头位置，可知水珠落地时水平距离为6米． 故答案为：6． 12. 如图，在中，，，垂足为点，如果，，那么的长是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 13. 如图，已知在中，点在边上，点在边上，平行于且将分成面积相等的两部分，那么与的相似比为______． 【答案】## 【解析】 【详解】解：∵平行于且将分成面积相等的两部分， ∴，且， ∵相似三角形的面积之比等于相似比的平方， ∴相似比为． 14. 中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明与相似，列出两个相似三角形的边长比例等式，即可求出正方形边长，也就是的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴原等式为，解得， ∴正方形边长为， 即的长度为． 15. 在矩形中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交于点．如果，，那么____________． 【答案】12 【解析】 【详解】解：在矩形中，， 将沿直线翻折，得到， ，， 在中，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 16. 对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称为此函数的“扩点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“扩点”．二次函数的“扩点”是____________． 【答案】 和 【解析】 【分析】根据“扩点”的定义，将点的坐标满足的函数关系代入二次函数解析式，通过解一元二次方程得到对应点坐标． 【详解】解：设二次函数的“扩点”对应的自变量为， 根据“扩点”定义，当时，函数值， 将该关系代入二次函数的解析式，可得： ， 移项整理得， 因式分解得， 解得或， 当时，，对应点为， 当时，，对应点为， 所以二次函数的“扩点”为和． 三、解答题（共56分） 17. 已知线段，满足． （1）求的值； （2）若且线段为、的比例中项，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 原式． 【小问2详解】 解：， ， ， ，， 线段为、的比例中项， ， ． 18. 如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，已知，． （1）求的长； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解即可； （2）过作分别交于，因为，则可证四边形，为平行四边形，且，利用相似及平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作分别交于， ∵， ∴四边形，为平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 19. 在画二次函数的图像时，列表如下： x … -3 -2 -1 0 1 … y … 0 m n -3 0 … （1）直接写出、的值：_________；_________；_________； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的大致图像，并描述图像的变化趋势． （3）结合图像填空： ①关于x的一元二次方程的解是__________； ②不等式的解集为_______________． 【答案】（1）2，， （2） 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 （3）①② 【解析】 【分析】（1）由对称性求出，由抛物线与轴坐标求出，则解析式可求，再将代入解析式求出； （2）描点连线画出图像并写出增减性； （3）①在图像上找到纵坐标为的点，其横坐标即为所求；②二次函数图像不在轴以上的部分所对应的横坐标即为所求． 【小问1详解】 解：由表格知抛物线过， ∴对称轴， ∴， ∵抛物线过， ∴， 则抛物线解析式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知：如图，在四边形中，，点是上一点，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， 将代入得∶； （2）证明∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）由已知可证四边形是平行四边形，，则，将代入求证； （2）由已知证明，则，代换，可得，则题目可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 【问题背景】 现在很多年轻人喜欢养宠物，一家自助洗宠小店，主人可以自己带宠物到店洗澡．店主研究单日经营数据，分析收入和到店洗宠的宠物数量之间的关系，核算运营成本，研究收支平衡和最大净收益问题． 【研究条件】 条件1：该自助洗宠店单日收入（单位：元）与当日到店洗澡的宠物数量（单位：只）之间成正比例关系，数据如表： 1 2 3 4 5 35 70 105 140 175 条件2：该洗宠店的单日运营成本（单位：元）与到店洗宠宠物数量（单位：只）之间满足： 【模型构建】 根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据表格数据，求与的函数表达式（不用写的取值范围），并计算当时，该自助洗宠店的单日收入为多少元？ （2）当单日收入等于单日运营成本时，洗宠店达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 （3）由于新增了宠物吹毛设备，单次洗宠物收费调整，洗宠店单日收入与到店宠物数量的关系调整为（），单日运营成本与到店宠物数量关系保持不变．若，求单日利润（单位：元）的最大值以及此时对应的宠物数量（单位：只）．（单日利润单日收入单日运营成本） 【答案】（1） 与的函数表达式为；当时，单日收入为元 （2） 收支平衡时的值为或 （3） 单日利润的最大值为元，此时对应的宠物数量为只或只 【解析】 【分析】（1）设正比例函数解析式，代入表格对应值求系数，再代入计算收入． （2）根据收支平衡的等量关系列方程，求解一元二次方程得符合实际的值． （3）根据利润公式列出二次函数解析式，结合二次函数性质及为正整数的实际意义求最大值． 【小问1详解】 解： 设与的函数表达式为. 将，代入，得． ， 当时，（元）． 答：与的函数表达式为，当时单日收入为560元． 【小问2详解】 解：由题意得， 即． 解得，， 为正整数，均符合题意． 答：收支平衡时的值为15或20． 【小问3详解】 解：由题意得， 当时，， ． ， 函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为． 为正整数， 当或时，取得最大值． 将代入得（元）． 将代入得（元）． 答：单日利润的最大值为378元，此时对应的宠物数量为32只或33只． 第Ⅱ卷（30分） 22. 材料一：课本47页告诉我们一个基本结论——平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例．数学兴趣小组成员样样同学结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图将线段几等分”的方法． 材料二：数学兴趣小组成员萌萌同学利用由边长为1的小正方形构成的网格图形（每个小正方形的顶点称为格点），在线段两个端点都在格点上的条件下，也找到了将线段几等分的方法． 【问题解决】 （1）请用圆规和无刻度的直尺作图（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论） 如图，在线段上求作一点，使得． （2）请仅用无刻度的直尺作图（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． 如图，在线段上求作一点，使得． （3）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点是线段的一点，且，请求出点的坐标． （4）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点是线段的一点，且，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点D即为所求； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）过作一条与不重合的射线，在上依次截取，连接，过D作，则，则根据平行线等分线段定理可知，即，故点即为所求； （2）如图，，连接，，与交点即为；由方格特点可知，，即； （3）过B作轴于点N，过点A作于点M，过点P作轴于点L交于点Q，则，根据，可得，即可求解； （4）过B作轴于点N，过点A作于点M，过点P作轴于点L交于点Q，则，根据，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过B作轴于点N，过点A作于点M，过点P作轴于点L交于点Q，则， ∵和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点P的坐标为； 【小问4详解】 解：如图，过B作轴于点N，过点A作于点M，过点P作轴于点L交于点Q，则， ∵和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 23. 已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 y −5.6 −3.1 −1.5 0.9 1.8 那么方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得对称轴，再根据表格数据得出较小的根的范围，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵当时，；当时，， ∴方程的较小根的范围是． ∵二次函数图象与轴的两个交点关于对称轴对称， ∴两个根的和为， ∴较大根的范围是， 即． 24. 已知二次函数（b、c为常数）的图像与y轴交于点，与直线交于和点E． （1）求二次函数的表达式和E点的坐标； （2）若点在抛物线的对称轴上，且是以为直角边的直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将抛物线在直线上方的图像沿翻折，得到“心形线”，它就是由法国数学家笛卡尔于世纪提出的“笛卡尔爱心曲线”．点是上方的抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接，交于点．在点的运动过程中，求线段的最大值； （4）当（）时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）二次函数的表达式为；点坐标为 （2）存在，点的坐标为或 （3）线段的最大值为 （4）m的取值范围为 【解析】 【分析】（1）将、代入二次函数解析式，列方程组求出,，回代即可得到二次函数表达式；联立抛物线与直线解析式，解方程，把求得的横坐标代入直线解析式，即可求出点坐标； （2）先求出抛物线对称轴，找到直线与轴交点，按直角顶点分别在、分两类讨论，构造垂直于轴的垂线，利用等腰直角三角形边角关系得到线段长，求出长度，进而得到点坐标； （3）设，作轴交于点，表示出；由直线与坐标轴围成等腰直角三角形，得到，结合翻折对称性质、，判定为等腰直角三角形，推出，整理成关于的二次函数，根据函数性质求出的最大值； （4）把抛物线化成顶点式，确定开口方向和最大值，算出对应的函数值为，令，求出对称点横坐标，分析取值内二次函数最大值与最小值的差保持不变的条件，结合得到的取值范围． 【小问1详解】 解：将、代入二次函数，得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为， 联立二次函数与直线，得 ， 解得（对应点）和， 将代入，得， ∴点坐标为； 【小问2详解】 解：存在， 由（1）得二次函数的表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，得，解得， ∴直线与轴交于点，且在抛物线的对称轴上， 设直线与轴交点为，则，， 是以为直角边的直角三角形，分两种情况讨论： ①当点为直角顶点时，， 如图，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵抛物线对称轴垂直轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②当点为直角顶点时，， 如图，过点作轴于点， ∵， ∴，， 同①可得、都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，设直线交轴于点，交轴于点，过点作轴，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 对于直线，令，则，令，则，解得， ∴、， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵点、关于直线对称， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∵，该二次函数开口向下，满足， ∴当时，取得最大值； 【小问4详解】 解：二次函数， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，， 当时，， 要使二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，最大值为，最小值必须固定为， 令，则， 解得，， 当时，在取值内，最小值是，最大值是处的函数值，随增大而增大，差值不是定值； 当时，在取值内二次函数最大值都是，最小值都是，差为，是定值； 综上，m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中学情诊断 九年级数学试卷 本卷满分150分 考试时间100分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（120分） 一、单选题（共20分） 1. 如果、满足，那么下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A. 各个内角的大小始终保持不变 B. 各条边的长度始终保持不变 C. 三角形的面积始终保持不变 D. 三角形的周长始终保持不变 3. 已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（ ） A. 2 B. C. 8 D. 4. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 二、填空题（共44分） 6. 已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______． 7. 若点C是线段的黄金分割点，，，则的长为______． 8. 如图，直线，如果，，那么的长是______． 9. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，那么点的坐标为______． 11. 广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为___________米． 12. 如图，在中，，，垂足为点，如果，，那么的长是______． 13. 如图，已知在中，点在边上，点在边上，平行于且将分成面积相等的两部分，那么与的相似比为______． 14. 中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 15. 在矩形中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交于点．如果，，那么____________． 16. 对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称为此函数的“扩点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“扩点”．二次函数的“扩点”是____________． 三、解答题（共56分） 17. 已知线段，满足． （1）求的值； （2）若且线段为、的比例中项，求线段的长． 18. 如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，已知，． （1）求的长； （2）当，时，求的长． 19. 在画二次函数的图像时，列表如下： x … -3 -2 -1 0 1 … y … 0 m n -3 0 … （1）直接写出、的值：_________；_________；_________； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的大致图像，并描述图像的变化趋势． （3）结合图像填空： ①关于x的一元二次方程的解是__________； ②不等式的解集为_______________． 20. 已知：如图，在四边形中，，点是上一点，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 21. 【问题背景】 现在很多年轻人喜欢养宠物，一家自助洗宠小店，主人可以自己带宠物到店洗澡．店主研究单日经营数据，分析收入和到店洗宠的宠物数量之间的关系，核算运营成本，研究收支平衡和最大净收益问题． 【研究条件】 条件1：该自助洗宠店单日收入（单位：元）与当日到店洗澡的宠物数量（单位：只）之间成正比例关系，数据如表： 1 2 3 4 5 35 70 105 140 175 条件2：该洗宠店的单日运营成本（单位：元）与到店洗宠宠物数量（单位：只）之间满足： 【模型构建】 根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据表格数据，求与的函数表达式（不用写的取值范围），并计算当时，该自助洗宠店的单日收入为多少元？ （2）当单日收入等于单日运营成本时，洗宠店达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 （3）由于新增了宠物吹毛设备，单次洗宠物收费调整，洗宠店单日收入与到店宠物数量的关系调整为（），单日运营成本与到店宠物数量关系保持不变．若，求单日利润（单位：元）的最大值以及此时对应的宠物数量（单位：只）．（单日利润单日收入单日运营成本） 第Ⅱ卷（30分） 22. 材料一：课本47页告诉我们一个基本结论——平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例．数学兴趣小组成员样样同学结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图将线段几等分”的方法． 材料二：数学兴趣小组成员萌萌同学利用由边长为1的小正方形构成的网格图形（每个小正方形的顶点称为格点），在线段两个端点都在格点上的条件下，也找到了将线段几等分的方法． 【问题解决】 （1）请用圆规和无刻度的直尺作图（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论） 如图，在线段上求作一点，使得． （2）请仅用无刻度的直尺作图（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． 如图，在线段上求作一点，使得． （3）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点是线段的一点，且，请求出点的坐标． （4）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点是线段的一点，且，请直接写出点的坐标． 23. 已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 y −5.6 −3.1 −1.5 0.9 1.8 那么方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 24. 已知二次函数（b、c为常数）的图像与y轴交于点，与直线交于和点E． （1）求二次函数的表达式和E点的坐标； （2）若点在抛物线的对称轴上，且是以为直角边的直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将抛物线在直线上方的图像沿翻折，得到“心形线”，它就是由法国数学家笛卡尔于世纪提出的“笛卡尔爱心曲线”．点是上方的抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接，交于点．在点的运动过程中，求线段的最大值； （4）当（）时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $