精品解析：甘肃省白银市靖远县部分校2026-2027学年高一上学期11月期中数学试题

高一数学 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 定义符号函数sgnx，则函数f（x）=x2sgnx的图象大致是（　　） A. B. C. D. 5. 在中，“内角是锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是全称量词命题的是（ ） A. ， B. 等腰三角形有两个内角相等 C. 在40到50之间至少有3个质数 D. 存在一个四边形，它的每个内角都为直角 10. 已知函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 11. 若函数的定义域为R，且对任意恒成立，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 的值域为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最小值为_____________． 13. 已知集合，，若，则的取值范围是___________． 14. 如图，欲在一块等腰三角形空地中建一个内接矩形绿色带（阴影部分），已知，，现在的目标是要使得绿色带面积最大，且绿色带的造价为200元/，则完成目标需投入的绿色带造价约为_________万元（结果精确到0.01，）． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，或. （1）求，； （2）若集合，且，求的取值范围. 16. （1）若，，且，证明：． （2）已知函数，求的定义域与值域． 17. 已知是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）根据定义证明在上单调递增； （3）求不等式的解集． 18. （1）若关于的不等式的负整数解恰有两个，且，证明：． （2）已知，求关于的不等式的解集． 19. 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （1）当时，求在上的最大值； （2）若，当时，，求； （3）若在上是增函数，，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得． 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为,,所以. 对于A,因为,所以. 对于B,因为且,所以. 对于C,因为,所以,从而. 对于D,因为,且,所以;又因为,所以. 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，需将存在量词改为全称量词，并否定结论. 于是否定为：. 4. 定义符号函数sgnx，则函数f（x）=x2sgnx的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义可得函数f（x）=x2sgnx=，根据函数的单调即可判断 【详解】函数f（x）=x2sgnx=，由二次函数的图象性质可知：B正确. 故选B． 【点睛】本题考查了新定义和函数图象的识别，属于基础题． 5. 在中，“内角是锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】充分性：当，，时，满足为锐角，但，故充分性不成立. 必要性：若，根据等边对等角性质可得，由三角形内角和为，得，即，因此，即， 可推出内角一定是锐角，故必要性成立. 综上所述，“内角是锐角”是“”的必要不充分条件. 6. 已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质确定及在上的单调性和的值，分、、三种情况转化不等式，结合单调性即可求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且， 又在上单调递增，所以在上也单调递增， 且，对不等式分情况讨论： 当时，，满足不等式； 当时，等价于，由在上单调递增，，得； 当时，等价于，由在上单调递增，，得； 综上，不等式的解集为. 7. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，所以. 因此，得，所以的定义域为. 8. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性，结合反比例函数的单调性列式求出范围. 【详解】因为,所以的定义域为. 令.因为在上单调递减,所以在上单调递增等价于在上单调递减. 由知,当时,增大时减小,所以在上单调递减. 要使在上单调递减,只需区间落在减区间内,即,解得. 当时,在上单调递减,在上单调递增,端点可以取到,所以的取值范围是. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是全称量词命题的是（ ） A. ， B. 等腰三角形有两个内角相等 C. 在40到50之间至少有3个质数 D. 存在一个四边形，它的每个内角都为直角 【答案】AB 【解析】 【详解】选项A：命题使用全称量词符号，表示对任意属于自然数集的， 都满足的关系，符合全称量词命题的定义； 选项B：该命题是对等腰三角形这一类对象的共性判断， 完整表述为“所有的等腰三角形都有两个内角相等”，省略了全称量词“所有的”， 属于省略形式的全称量词命题； 选项C：命题中含有存在量词“至少有”，核心是判断40到50的范围内存在不少于3个质数， 属于存在量词命题，不属于全称量词命题； 选项D：命题明确含有存在量词“存在一个”， 核心是判断存在满足“每个内角都为直角”的四边形，属于存在量词命题，不属于全称量词命题. 10. 已知函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，从图象看，函数定义域挖掉的点不仅仅只有，从而A错误； 对于B，由图象知其定义域为，值域为，符合题意，从而B正确； 对于C，由图可知，从而定义域为，值域为，符合题意，从而C正确； 对于D，由图，当时，对应有两个值，故该图不是一个函数的图象，从而D错误. 11. 若函数的定义域为R，且对任意恒成立，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】采用赋值法求解，通过对赋予特殊值先计算特殊点的函数值，排除错误选项，再推导得到的解析式，进一步验证函数的奇偶性、值域，判断剩余选项是否正确. 【详解】令，得，得或． 令，得，则，所以，A错误． 令，得，所以，B正确． 令，得，则，所以是偶函数， 的值域为，C，D均正确． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：已知， 则， 根据基本不等式可得： ， 当且仅当时等号成立， 此时， 因为， 所以，即， 则的最小值为． 13. 已知集合，，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为, 当时,,即,此时，符合题意. 当时,,即， 由得,解得,所以. 所以的取值范围是. 14. 如图，欲在一块等腰三角形空地中建一个内接矩形绿色带（阴影部分），已知，，现在的目标是要使得绿色带面积最大，且绿色带的造价为200元/，则完成目标需投入的绿色带造价约为_________万元（结果精确到0.01，）． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出三角形的高，再利用相似三角形性质建立矩形面积关于边长的函数关系，求出最大面积后计算总造价. 【详解】如图，作于，由，得为 中点，故 ， 在 中，用勾股定理得， 设矩形的高 （单位：m），则 ， 由 得 ，两个三角形对应高之比为 ，于是， 故， 所以矩形面积为 ， 因 ，开口向下，当 时面积取得最大值为， 所以总造价（元）（万元） 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，或. （1）求，； （2）若集合，且，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用交集与并集的概念计算即可； （2）利用交集的概念建立不等式组计算即可. 【小问1详解】 由题意，或， 可知， 【小问2详解】 由知， 所以当时有，解之得. 16. （1）若，，且，证明：． （2）已知函数，求的定义域与值域． 【答案】（1）因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． （2）， 【解析】 【分析】 （1）利用 “1 的代换” 将条件与待证式结合，展开后用基本不等式求最小值，验证等号成立条件即可完成证明； （2）先根据根号非负、分母不为 0 确定定义域，进而求解函数值域. 【详解】（1）略 （2）由， 得且， 所以的定义域为． 因为， ， 且，得，则． 又， 所以的值域为． 17. 已知是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）根据定义证明在上单调递增； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）； （2）证明：任取， 则. 因为，所以，，，. 所以，即， 所以在上单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，，利用，代入函数表达式求解即可； （2）任取，计算，判断正负即可证明； （3）根据函数的奇偶性和单调性，得到在上单调递增，将不等式转化为，利用单调性即可求解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以. 当时，， 则. 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为奇函数在上单调递增，且在两侧表达式取值一致， 所以在上单调递增. 由，得. 所以，解得. 所以不等式的解集为. 18. （1）若关于的不等式的负整数解恰有两个，且，证明：． （2）已知，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）由，解得：， 因为，所以， 因为关于的不等式的负整数解恰有两个， 则负整数解为：，所以，解得； （2）当或时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求解即可； （2）分五种情况讨论不等式即可求解. 【详解】（1）略 （2）由可得， 令，解得：，， 当，即时，不等式为，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为或； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为. 综上所述，当或时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． （1）当时，求在上的最大值； （2）若，当时，，求； （3）若在上是增函数，，且，证明：． 【答案】（1） （2） （3）因为在上是增函数，所以在上单调递增，则． 要证，只需证． 由在上是增函数，得， 因为，所以． 因为，所以， 则，所以．故，证毕． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质即可求解； （2）先根据题意得到，进而在上分段求解不等式即可； （3）先根据题意得到的取值范围，再利用条件将原不等式转化为证明即可得证． 【小问1详解】 当时，是开口向上，且对称轴为的二次函数， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以在上的最大值为． 【小问2详解】 若，则，， 则． 当时，因为，且，所以，则， 当时，由，解得， 综上，． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $