精品解析：江西南昌外国语学校2026-2027学年九年级上学期期中质量检测数学试卷

2026-2027学年上学期九年级期中质量检测试卷（数学学科） 说明：1． 本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2． 本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 2026年是中国工农红军长征胜利90周年，下列四幅图案是同学们创作的纪念长征的主题徽标，其中图案部分为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 3. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 4. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 5. 为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，二次函数的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（ ） A. ②③⑤ B. ①③ C. ②③ D. ①④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是________． 8. 将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是________． 9. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 10. 定义新运算，对于任意实数m、n满足．若，当时，则x的值是______． 11. 如图，点是反比例函数（）的图像上的一动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数（，）的图像交于点、点，连接，．若四边形的面积为6，则______． 12. 在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 15. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点中心对称的； （2）请画出绕点逆时针旋转后的； （3）求的面积． 16. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 17. 如图，为的内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，以点为角的顶点，作一个与互余的角； （2）在图2中，以点为角的顶点，作一个与相等的角． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，平行四边形放置在平面直角坐标系中，已知点，，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）将平行四边形向上平移得到平行四边形，使点在反比例函数的图象上，与反比例函数图象交于点．连接，求的长及点的坐标． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点B，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的函数表达式及点B的坐标： （2）如图，点P为线段上的一个动点（点P不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段长度的最大值． 20. 如图，是的直径，是的中点，交于点，过点作，交于点，交于点，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 22. 已知抛物线与x轴交于，B两点，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式． （2）若点，均在抛物线上，且，求t的值． （3）线段两端点的坐标为，，若抛物线向上平移个单位长度时，与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 六、解答题（本大题12分） 23. 综合与实践 【概念定义】如图1，在中，将边绕点顺时针旋转得到线段，将边绕点逆时针旋转得到线段．连接，我们称为 的“垂旋三角形”．连接 的中点 与点 的线段 叫做 的“垂旋中线”． 【特例感知】 （1）如图2，当为等边三角形，且边长时： ① 判断 的形状； ② 直接写出此时“垂旋中线” 的长． （2）如图3，当为一个直角三角形，且，，时，线段的长为                         ，与的数量关系为                         ． 【猜想论证】 （3）推广到任意三角形：如图1，当 为任意三角形时，猜想线段 与 的数量关系和位置关系，并给予证明． 【拓展应用】 （4）如图4，在四边形中，，，，，，在四边形内部是否存在点，使是的“垂旋三角形”？若存在，给予证明，并求的“垂旋中线”长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期九年级期中质量检测试卷（数学学科） 说明：1． 本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2． 本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 2026年是中国工农红军长征胜利90周年，下列四幅图案是同学们创作的纪念长征的主题徽标，其中图案部分为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可，中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形． 【详解】解：A、红五星绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； B、三军会师徽绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； C、草鞋纹绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； D、双向行军徽绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，符合题意． 2. 如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理得到，在中利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴在中，， ∴． 3. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、把代入，得，故图象不经过点，A错误； B、反比例函数中，，故图象位于第二、四象限，B错误； C、反比例函数中，，故当时，随的增大而增大，C错误； D、当时，图象位于第二象限，； ∵，在第二象限内随的增大而增大， ∴当时，取最大值，， ∴，D正确． 4. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出与的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求 ． 【详解】解：连接，， 根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上， 分别作出与的垂直平分线，与的垂直平分线的交点为B， 故旋转中心是点B． 5. 为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形确定圆的半径与正方形边长的关系，利用“绿植面积圆面积正方形面积”列出方程即可． 【详解】解：设正方形水池的边长为米， 水池的每条边到圆周的距离均为米，且正方形中心到边的距离为边长的一半， 圆的半径． 绿植部分的面积为平方米， 圆面积正方形面积， 即． 6. 如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，二次函数的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（ ） A. ②③⑤ B. ①③ C. ②③ D. ①④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故①正确， ∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②错误， ∵， ∴，故③正确， ∵时，， ∴，故④错误， ∵，且对称轴为直线， ∴抛物线与横轴另一个交点坐标为， 通过图象可得，当时，，故⑤错误， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数。 根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答． 【详解】根据关于原点对称的点的坐标的特点， ∴点关于原点过对称的点的坐标是． 故答案为： 8. 将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：抛物线向左平移个单位，自变量加上： ； 再向上平移个单位，常数项加上： ． 所以平移后抛物线表达式为． 9. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及直径所对的圆周角等于，根据圆内接四边形的性质可得出，再根据直径所对的圆周角等于可得出，再利用角的和差关系可得出答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：15． 10. 定义新运算，对于任意实数m、n满足．若，当时，则x的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据新运算定义将原式转化为一元二次方程，求解后结合的条件得到的值． 【详解】解：根据新运算， 将代入得， 解得或， ∵， ∴． 11. 如图，点是反比例函数（）的图像上的一动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数（，）的图像交于点、点，连接，．若四边形的面积为6，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握值的几何意义是解题的关键．延长分别交轴，轴于点，易得四边形的面积，即可得解答案． 【详解】解：延长分别交轴，轴于点，如下图， ∵轴，轴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，即为直角三角形， ∵点A在反比例函数的图像上，点B、点C在反比例函数（，）上， ∴，， ∴四边形的面积， ∴． 故答案为：2． 12. 在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，分三种情形讨论①当时，②当时，③当时，分别利用全等三角形的性质计算即可．解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：在中，∵，，点O是的中点， ∴， ∴，，， ①如图，当时， 在和中，， ∴， ∴， ∴． ②如图，当时， 同理可证 ∴， ∴． ③如图中，当时， 同理可证， ∴， ∴， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）该一元二次方程不易因式分解，确定，先算出判别式，再代入求根公式计算得到方程的两个根． （2）先移项把移到左边，提取公因式进行因式分解，转化为两个一次因式乘积等于 0 的形式，求出方程的两个根为 1 和 3． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：移项，得 因式分解，得 ， 或 ． 14. 如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“等角减去同角仍相等”得到，再根据判定，从而证明结果； （2）利用等量代换将转化为，从而解出答案． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， 在和中，， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（1）知， 15. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点中心对称的； （2）请画出绕点逆时针旋转后的； （3）求的面积． 【答案】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）将的三个顶点，，关于原点对称得到，，，连接这三个点即可得到； （2）将的顶点，绕点逆时针旋转后得到，，，连接这三个点即可得到； （3）在网格中，作出包含的正方形，如图所示，用正方形的面积减掉周边三个直角三角形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示： 的面积为． 16. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求出k的值． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵该方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ， ， ， ∴， 解得， ， ． 17. 如图，为的内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，以点为角的顶点，作一个与互余的角； （2）在图2中，以点为角的顶点，作一个与相等的角． 【答案】（1） 如图1，即为所求． （2） 如图2，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （1）连接，并延长交于点，再连接，则即为所求；理由：根据圆周角定理可得，则，由此即可得； （2）连接，并延长交于点，再连接，则即为所求．理由：根据圆周角定理可得，根据圆周角定理可得，则，由此即可得． 【小问1详解】 理由：由圆周角定理得：， ∴， ∴是与互余的角． 【小问2详解】 理由：由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴是与相等的角． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，平行四边形放置在平面直角坐标系中，已知点，，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）将平行四边形向上平移得到平行四边形，使点在反比例函数的图象上，与反比例函数图象交于点．连接，求的长及点的坐标． 【答案】（1） （2），点M的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等算出C点坐标，再将C点坐标代入反比例函数中求得k即可； （2）向上平移，B点和F点横坐标相等得到F点横坐标，根据F点在双曲线上算出F点纵坐标，对比B点和F点纵坐标得到长度；M点的纵坐标可由向上平移到得出，将点M纵坐标代入反比例函数解析式得M点横坐标，即可． 【小问1详解】 解：点， ， 四边形是平行四边形， ， 点C坐标为， 点C在反比例函数的图象上， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：向上平移得到， 点F的横坐标与点B的横坐标相等，都是， 点F在反比例函数的图象上， 点F的坐标为， ， ， 点M的纵坐标， 点M在反比例函数的图象上， 点M的横坐标为， 点M的坐标为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点B，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的函数表达式及点B的坐标： （2）如图，点P为线段上的一个动点（点P不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段长度的最大值． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为；点B的坐标为 （2）当时，最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象及性质，最值问题等． （1）将点代入中即可求出抛物线解析式，再令即可求出点B的坐标； （2）待定系数法求出直线的表达式为，设点，则，继而表示出线段表达式，利用二次函数最值即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， 解得：， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则， ∴， ∴当时，最大，最大值为． 20. 如图，是的直径，是的中点，交于点，过点作，交于点，交于点，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）证明即可证明，即可解答； （2）连接，设，则，，，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）可知， 设，则， ，， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 的半径． ， ， ， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；任务2：下调后每个手办的售价为50元；任务3：不能 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，根据题意得到，进而问题可求解． 任务3：假设平均每天能获利2100元，设此时下调后每个手办的售价为元，列出方程求解即可． 【详解】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又 ∵要尽量减少库存， ， 答：下调后每个手办的售价为50元． 任务3：设下调后每个手办的售价为元， 则， 整理得：， ， 故平均每天不能获利2100元． 22. 已知抛物线与x轴交于，B两点，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式． （2）若点，均在抛物线上，且，求t的值． （3）线段两端点的坐标为，，若抛物线向上平移个单位长度时，与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用待定系数法求解即可； （2）把，代入解析式，分别用t表示m，n代入求解即可； （3）用顶点式表示平移后的解析式为，讨论抛物线顶点在线段上时求h，讨论抛物线分别过点或时求出h的取值范围即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于， 解得 ． 【小问2详解】 解：根据题意，得，， ， 或， 解得或． 【小问3详解】 解：由已知． 则抛物线向上平移h个单位长度后的表达式为： ， 平移后的抛物线的顶点坐标为． ①当抛物线的顶点落在线段上时，，解得； ②当抛物线经过点时，， 解得， ③当抛物线经过时，， 解得， 时，满足题意． 综上所述，h的取值范围是或． 六、解答题（本大题12分） 23. 综合与实践 【概念定义】如图1，在中，将边绕点顺时针旋转得到线段，将边绕点逆时针旋转得到线段．连接，我们称为 的“垂旋三角形”．连接 的中点 与点 的线段 叫做 的“垂旋中线”． 【特例感知】 （1）如图2，当为等边三角形，且边长时： ① 判断 的形状； ② 直接写出此时“垂旋中线” 的长． （2）如图3，当为一个直角三角形，且，，时，线段的长为                         ，与的数量关系为                         ． 【猜想论证】 （3）推广到任意三角形：如图1，当 为任意三角形时，猜想线段 与 的数量关系和位置关系，并给予证明． 【拓展应用】 （4）如图4，在四边形中，，，，，，在四边形内部是否存在点，使是的“垂旋三角形”？若存在，给予证明，并求的“垂旋中线”长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①是等腰三角形；② （2）， （3），，证明如下： 分别过点D、E作，与的交点为H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）存在，证明如下： 假设存在一点，使是的“垂旋三角形”， 根据“垂旋三角形”的定义可在四边形内部找一点，使得 ，，连接并延长，交于点，如图所示： ∴都是等腰直角三角形， ∴， ，， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴，（与所作图形中的值一致）， ∴存在四边形内部一点，使是的“垂旋三角形”， 由（3）可知：， ∴的“垂旋中线”长为． 【解析】 【分析】（1）①由题意易得 ，然后问题可求解；②根据①及等腰三角形的性质可进行求解； （2）由题意易得 ，然后根据勾股定理可得，进而问题可求解； （3）分别过点D、E作，与的交点为H，由题意易得，，则有，，然后可得，进而问题可求证； （4）假设存在一点，使是的“垂旋三角形”，根据“垂旋三角形”的定义可在四边形内部找一点，使得 ，，连接并延长，交于点，然后可得， ，， ，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：①∵为等边三角形，且边长， ∴ ， ∵ ， ∴是等腰三角形，且 ； ②∵是等腰三角形，且 ， ∴ ， ∵点是的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可知：， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $