直线与圆、圆锥曲线综合测试题(一)训练-2027届高三数学一轮复习

直线与圆、圆锥曲线综合测试题(一)答案及解析 1.A 因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点(，)，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选A． 2.B 因直线过定点，而恰为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知的周长为．故选B． 3．D 设，因为，且，所以.又因为，，所以，解得，因此.故选D. 4.B 由方程,得抛物线的焦点,准线方程为；易知点在抛物线的内部,过作于,设直线交于,又过作于.由题意及抛物线定义,知周长为 (当与重合,即三点共线时取等号).故周长的最小值为.故选B. 5.A 依题意知,双曲线的两渐近线方程为,设过的直线分别交渐近线和于,由于是直角三角形,则,由渐近线的斜率知,则；因,得,进而得.故选A. 6.B 由轴可得,所以,又,所以,所以,代入椭圆的方程得,即,所以椭圆的离心率为.故选B. 7.C 设动圆的半径为,则；已知圆圆心,半径为,且点在圆的外部.由于圆与圆相切,分情况讨论如下:①当两圆外切时,则有 ,即；②当两圆内切时,则有,即 .综合①②得,由双曲线的定义知:动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线,且,则,得其方程为.故选C. 8.A 设,由中点坐标公式得.将的坐标分别代入的方程中得,.两式相减化简得,又因四点共线,则,即 ①.又,且,得代入①式,解得,从而得,则椭圆的方程为.故选A. 9.BC 设椭圆的右焦点为,由椭圆定义与几何性质可知,周长 ,当且仅当直线过右焦点时取等号；易知,即当时,，知C正确.将,代入中,解得,此时，知B正确.故选BC. 10．ABD 由题知圆O的圆心为，半径．不妨取点，则，故，从而，所以可以是等边三角形，知A正确；设点，则，以为直径的圆的方程为，又圆，两式作差可得直线的方程为， 又，代入可得，令解得故直线过定点，知B正确；四边形的面积为，故当最 小时，四边形的面积最小，又的最小值为圆心到直线的距离,且,因此四边形面积的最小值为，知C错误；，在四边形中，，所以， 又，所以， 则，故的取值范围为，知D正确．故选ABD. 11.ACD 依题意,这里,解得，则，则椭圆的方程为，知选项A对，B错误.如图,设椭圆的右焦点为.由于,则.由椭圆的定义知,即,则需求的最值,连接并延长与反向延长分别交椭圆于与.由平面几何知识得,即.则当点与点重合时,得,知选项C对；当点与点重合时,得；于是得，知选项D对.故选ACD. 12． 因为两圆有四条公切线，故两圆相离， 而可化为，故此圆的圆心为，半径为，可化为，故此圆的圆心为，半径为，所以，故. 13． 直线变形得，则直线恒过，变形得，是单位圆的上半部分，当半圆与直线相切时，， 解得（舍）或，设，，则， 由直线和半圆的图象可以知，当时，直线与半圆没有公共点；当时，直线与半圆切于一点； 当时，直线与半圆有两个交点；当时，直线与半圆有一个交点；当时，直线与半圆没有公共点；所以当直线与半圆有两个交点时，. 14. 设双曲线的右焦点为,则.依题意得,即；又由双曲线定义知,则 ,当且仅当三点共线时取等号,所以,又因为,从而得,即,则,；故得双曲线的方程为. 15.解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2． 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0；由已知得＝2，解得k＝；此时l的方程为3x－4y－10＝0．综上得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0． (2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图． 由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2；由直线方程的点斜式，得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0．所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝． (3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为3的直线． 16.解:(1)依题意得,即；将点坐标代入椭圆方程中得,解得,故椭圆的方程为. (2)依题意,设,又设直线方程为,将上式代入椭圆方程中,整理得,显然有；由韦达定理得.又,于是 ,即为定值. 17.解:(1)依题意,设,,则, ；又由,得,化简得 ①.由于直线与轴不可能垂直,设的方程为,将它代入抛物线的方程中,整理得，由韦达定理得 ②.由①②得,即的方程为,所以直线经过定点. 另解:(1)依题意,设,,则, ；又由,得,化简得.由于直线与轴不可能垂直,则的斜率,则直线方程为 ,且,化简得,所以直线经过定点. (2)如图,由(1)易知线段的中点坐标为,直线的斜率为,注意,则线段中垂线的斜率为,因此线段中垂线的方程为 ,即 ①.同理线段中垂线方程为 ②.由①②两式解得,,从而知直线与的中垂线的交点满足,消去参数得.故点的轨迹方程为. 18．(1);(2)，;(3)存在，. 解：（1）法一：设点坐标为，因为点坐标为，点为线段的中点，所以，又因为点在圆上，代入圆的方程得,化简得，故点的轨迹方程为. 法二：设圆心与点连线的中点为点，如图，作出符合题意的图形，因为点为的中点，为的中点，所以，因为，所以，则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆，故轨迹方程为． （2）当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去；如图，作出符合题意的图形，当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2，可得，解得，此时直线方程为，联立可得，解得，，所以点和点坐标为，，故直线的方程为，. （3）存在，点坐标为，证明如下，不妨设点坐标为，交点，点坐标为，；当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，联立方程组，解得，，则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意，当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知，;又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数：可得，即，将直线方程代入，化简得到代入韦达定理结果得，化简得，即，解得，综上所述，点坐标为，得证． 19.解析(1)法1：如图,依题意直线与轴的交点即为抛物线的焦点,易知,得抛物线方程为,其准线方程为.,，将代入方程中,整理得,由韦达定理得,.由抛物线定义得,同理,则. 法2:设直线的倾斜角为,得,且直线过点,则直线的参数方程为(为参数),代入中,整理得: ,由参数的几何意义知. (2)假设存在实数满足条件.设,,将代入方程中,可得,则.设,因轴,得,则,即.依题意知,即,且,化简得,代入得,且,解得.故存在实数满足题意. 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与圆、圆锥曲线综合测试题(一) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为(　　) A．x－y＋1＝0　 B．x＋y＋1＝0 C．x－y－1＝0　 D．x＋y－1＝0 2.已知点,椭圆与直线交于点,则的周长为( ) A. B. C. D. 3.已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4.已知抛物线的焦点为,点,为抛物线上一点,且不在直线上,则周长的最小值为 ( ) A. B. C. D. 5.已知双曲线,为坐标原点,是的左焦点,过点的直线与的两条渐近线分别交于；若是直角三角形,则 ( ) A. B. C. D. 6.已知椭圆的右焦点为，设，直线与椭圆在第四象限交于点，点在轴上的射影为，若，则椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D. 7.有一动圆过定点,且与已知圆相切,则动圆圆心的轨迹方程是 ( ) A. B. C. D. 8.已知椭圆的离心率为,过其左焦点的直线交于两点,若弦的中点为,则椭圆的方程是 ( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点,当的周长最大时，则下列结论正确的是 ( ) A.实数 B.的面积等于 C.实数 D.的面积等于 10.过直线上任意一点P作圆的两条切线,切点分别为,则( ) A．可以是等边三角形 B．直线过定点 C．四边形面积的最小值是 D．的取值范围为 11.已知椭圆的离心率为，且在椭圆内有一点,为的左焦点,是上的一动点,设的最大值和最小值分别为和,则下列结论正确的是( ) A.的方程是 B.的方程是 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若圆与圆有四条公切线,则实数的取值范围为_______. 13．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 14.已知双曲线()的离心率为,左焦点为,点(为半焦距).若是双曲线的右支上的动点,且的最小值为,则双曲线的方程为　　 ． 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 16.已知分别是椭圆的左、右顶点,过点任作一条斜率不为直线交椭圆于两点,若椭圆长轴长为,且过点.(1)求椭圆的方程；(2)记直线的斜率分别为,则是否为定值,若是,求出该定值.若不是,请说明理由. 17.已知是抛物线的顶点,是上的两个动点,且 .(1)试判断直线是否经过某一个定点？若是,求出这个定点的坐标；若不是,说明理由；(2)设点是的外接圆圆心,求点的轨迹方程. 18.已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程；(2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长；(3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19.已知抛物线:的焦点为,直线交抛物线于两点,是线段的中点,过作轴的垂线交抛物线于点.(1)若直线过焦点,求的值；(2)是否存在实数,使是以为直角顶点的直角三角形?若存在,求出的值,若不存在,说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $