8.9 圆锥曲线的综合问题（一）专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题8.9　 圆锥曲线的综合问题（一）【纠错档案】

1.（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，．

（1）若点是上的动点，求的最小值；

（2）设为坐标原点，直线，的斜率分别为，，

（i）若，求直线的方程；

（ii）求的取值范围．

2.（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）已知点，是圆与椭圆的公共点，且点，和椭圆的一个焦点相连构成一个等腰直角三角形.

（1）求的值和椭圆的方程；

（2）过点的直线分别交圆和椭圆于，两点.是上一点，直线斜率为，直线斜率为，，求面积的最大值.

3.（2026·云南·三模）在平面直角坐标系中，，以为圆心作半径为4的圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径交于点.

（1）当在圆上运动时，求点的轨迹方程；

（2）过的直线交曲线交于两点，点关于轴的对称点为.

（i）直线与轴的交点为，求点的坐标；

（ii）求的取值范围.

4.（25-26高二下·广西南宁·期中）已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D．

（1）求C的标准方程；

（2）证明：直线恒过定点．

5.（25-26高二下·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标．

序号	错误类型	错因诊断
1	忽略“方程有实根”的隐含条件	设直线与圆锥曲线联立，利用韦达定理表示出某个量（如弦长、中点坐标、面积），然后对这个量求范围，但忘了联立方程必须满足判别式大于0
2	最值取到时“等号能否成立”未验证	用基本不等式求出最值时，但未验证等号是否能在几何条件下同时成立
3	换元时忽略参数本身的“固有范围”	参数换元时，参数之间不是独立的，忽略需要注意两者之间的关系，往往会放大真实范围
4	验证定点时，漏掉了“特殊情况”	特殊情况（斜率不存在、两点重合、参数取边界值）往往不满足通式，但恰好是题目要求的“定点”的一部分，如果遗漏，整题扣分
5	未根据题意取舍定点	求出定点坐标后，未根据题意取舍，出现增根

纠正一  忽略“方程有实根”的隐含条件

【错因解读】设直线与圆锥曲线联立，利用韦达定理表示出某个量（如弦长、中点坐标、面积），然后对这个量求范围，但忘了联立方程必须满足判别式大于0．

【典例1】（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，．

（1）若点是上的动点，求的最小值；

（2）设为坐标原点，直线，的斜率分别为，，

（i）若，求直线的方程；

（ii）求的取值范围．

【解析导引】（1）（设点的坐标）设，则，

（消元结合二次函数求最值）所以，

即当时，.

（2）如图：

设与联立，有，

（利用判别式求取值范围）由，得，

设，，则，，

得，

（利用韦达定理化简）则，

（i）当时，，直线的方程为；

（ii）因为直线，存在斜率，所以，

故，

所以，

即的取值范围．

【补救措施】

联立后先写 ，解出参数（如 或 ）的初步范围，再在这个范围内讨论目标函数的取值范围，顺序不可颠倒．

【再练一个】（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）

1．已知点是圆上的动点，点在轴上的射影为，点满足，记动点的轨迹为．

(1)求的方程；