精品解析：湖南衡阳市成章实验中学2026-2027学年上学期九年级期中数学试卷

2026年下期期中检测九年级数学试题 考试时量为120分钟 总分120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 解得：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，注意正弦，余弦，正切定义记清楚．直接利用正弦函数的定义进行求解即可． 【详解】解：在中： ． 故选：B． 3. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，据此把代入所求式子中计算求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：C． 4. 若a是关于x的方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用方程根的定义得，整体代入计算． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根． ∴． ∴． 5. 如图是“小孔成像”的示意图，燃烧的蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若的长是，则像的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示：、相交于点O， ∵是烛焰的高，是实像的高， ∴， ∴， ∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，， ∴， 解得． 故选：C． 6. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定条件，已知，判断两个三角形是否相似，需满足两角对应相等或两边成比例且夹角相等，据此逐一分析各选项即可． 【详解】解：在和中，， 如果，需满足的条件有：①或是的平分线；②， ∴不能判定和相似的是C， 故选：C． 7. 关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】需结合一元二次方程的定义与根的判别式确定m的取值范围． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴， ∵方程有实数解， ∴，即， 解得， ∴的取值范围是且． 8. 若点是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用黄金分割中较长线段与全线段的比值，结合线段和差求解． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由七月份的辆增加到九月份的辆，设该汽车七月至九月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵七月份销量为辆，月平均增长率为， ∴八月份销量为辆， ∴九月份销量为辆， 又∵九月份销量为辆， ∴所列方程为． 10. 如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可； 【详解】如图，取格点E，连接BE， 由题意得：，，， ∴． 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 将关于x的一元二次方程化成一般式为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ． 12. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】最简同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式，且为同类二次根式， ∴两个二次根式的被开方数相等，可得方程， ， 移项得：， 解得：． 13. 若方程的两个根为，，且，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根之和、两根之积代入题设给出的等量关系求解k，同时验证判别式确保方程存在两个实数根． 【详解】解：∵ 方程的两个根为，， ∴ 根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得， ∵ 当时，方程的判别式， ∴ 方程存在两个实数根，所求k的值符合题意． 14. 如图，点为的重心，为中点，若的面积为，则的面积是____________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用三角形重心的性质得出，再根据三角形中线平分面积的性质，由为中点得出，代入数据计算即可． 【详解】解：点为的重心， ， ， ， 为中点，为的中线， ， ． 15. 如图，点在反比例函数()图象上，轴于点，轴于点，点在轴正半轴上，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由轴，轴且可得四边形为正方形，设，利用表示出，结合的面积求出，根据点坐标特征求． 【详解】解：轴，轴，轴轴， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 设，则，点的坐标为， 轴，点在轴上， ， 在中，， ， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ， ． 16. 如图，在矩形中，，，为延长线上一点，连接交于点．连接．若，则①________；②的长为__________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】过点F作于点K，求出，，得到，设则由求得，则，得到，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点F作于点K， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，， 设则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，， 则． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法解答即可． 【详解】解：， 因式分解得：， 或 ， 解得 ，． 19. 如图，在中，，以为边作，且，过点作．交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，即可求解． （2）根据相似三角形的性质，求出，再利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∵， ∴． 20. 已知：在中，，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于垂足，，． （1）线段的长； （2）的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）由，设，则，由勾股定理得出方程，解方程得出，即可求出； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得出，设，则，由勾股定理得出方程，得出，继而根据勾股定理求出，最后由三角函数定义即可得出答案． 【小问1详解】 解：在中，， ， 设，则， ， 即， 解得：，（不合题意舍去）， ， 点是的中点， ； 【小问2详解】 解：在中，，点是的中点， ， 设，则， ， ， 即， 解得， ∴， ∴， ． 21. 如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点与经过凸透镜中心的光线交于点，其中四边形是矩形，，． （1）将长为6厘米的蜡烛进行移动，使物距厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距厘米，求像的长度． （2）在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜焦距的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得：，再证明，然后运用相似三角形的性质即可解答； （2）通过证明，然后运用相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∵ ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【小问2详解】 解：∵ ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得：． 22. 在如图边长均为的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，已知三个顶点坐标分别为、、． （1）如图，点是点以原点为位似中心的对应点，画出以原点为位似中心的位似图形，其中点、点分别为点、点的对应点； （2）经过（1）的位似变换后，与四边形的面积比为_____________． （3）若点为内部一点，点经过（1）的位似变换后的对应点的坐标为__________． （4）在线段上找一点，使，直接写出点的坐标：_________． 【答案】（1）如图，即为所求作的位似图形，其中、、． （2）． （3）． （4）． 【解析】 【分析】（1）由点与对应点的坐标定出位似比，把、的横、纵坐标都乘位似比得到、，再顺次连接三个对应点； （2）位似图形的面积比等于位似比的平方，用的面积减去的面积得到四边形的面积，再求比； （3）位似中心是原点时，对应点的横、纵坐标都是原来的位似比倍； （4）在射线上取格点，在轴上取格点，连接交于点，由证两个三角形相似得到分点的比；再用待定系数法求直线与的解析式，由两图象交点的坐标得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵，点、都在轴上． ∴位似比为． ∴点的对应点为，点的对应点为． 在网格中描出点、，顺次连接、、即为所求(如图)． 【小问2详解】 解：连接、，并分别延长到点、，再连接(如图)． ∵，点到轴的距离为． ∴． ∵位似比为与位似． ∴． ∵点在上，点在上，． ∴四边形的面积为． ∴与四边形的面积比为． 【小问3详解】 解：∵位似中心为原点，位似比为． ∴位似变换把每个点的横、纵坐标都乘． ∵点的坐标为． ∴对应点的坐标为． 【小问4详解】 解：在射线上取格点，在轴上取格点，连接交于点(如图)． ∵． ∴． ∵． ∴． ∵． ∴． ∴． 设直线的解析式为． 把、代入，得． ∴． ∴直线为． 设直线的解析式为． 把、代入，得． ∴． ∴直线为． ∵点是直线与的交点． ∴． 两边同乘，得． ∴． ∴． 把代入． ∴． ∴． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：、、都是“倒数点”． （1）求直线：上的“倒数点”坐标. （2）若直线：（）上有且只有一个“倒数点”，记作点，求直线的解析式及点的坐标. （3）如果直线：上有两个“倒数点”，记作点，，点为坐标原点，当为锐角时，求k的取值范围． 【答案】（1）坐标为或. （2）直线的解析式为，的坐标为. （3）当为锐角时，k的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）设直线：上的“倒数点”坐标为，代入解出即可得的坐标. （2）设直线：（）上的“倒数点”的坐标为，代入整理得：，再根据直线：（）上有且只有一个“倒数点”即可得，据此列方程解出即可得的坐标，再把的坐标代入解出即可得直线的解析式. （3）设直线：上的“倒数点”为，则：“倒数点”在反比例函数上，即可得，整理得：，再根据直线：上有两个“倒数点”、，即可得，即可解得，为锐角，结合一次函数，反比例函数性质得，综合即可得当为锐角时，求k的取值范围. 【小问1详解】 解：设直线：上的“倒数点”的坐标为，则：，解得：，， ∴的坐标为或. 【小问2详解】 解：设直线：（）上的“倒数点”的坐标为，则：，整理得：， ∵直线：（）上有且只有一个“倒数点”， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴直线的解析式为，的坐标为. 【小问3详解】 解：设直线：上的“倒数点”为，则：“倒数点”在反比例函数上， ∴，整理得：， ∵直线：上有两个“倒数点”、， ∴，解得：， 令时，代入得：， ∴直线：与轴的交点为， 又∵反比例函数的图象在第一、三象限，为锐角，，在直线：上， ∴， ∴， ∴当为锐角时，k的取值范围为. 24. 综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，请你们一起完成下列问题： （1）如图1，正方形的边长为，点为边的中点，联结，将绕点顺时针旋转至，联结交于点，爱思考的小王同学做了这样的辅助线，过点作，交于点，请沿着小王同学的思路思考下去，则的值为__________； （2）如图2，菱形的边长为，，联结，点为边上一点，联结，将绕点顺时针旋转至，联结交于点，若，求的值；(提示：试试小王同学的辅助线作法，可能会有帮助哦！) （3）在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． ①如图3，连接，，求的值． ②若直线，交于点，当时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）先用勾股定理求，由旋转的性质得；再证，得，即，从而求出，再代入求比值； （2）过点作交于，作于，同理()解答即可求解； （3）由旋转的性质得，比值就是；第②问先由判定为等边三角形，得旋转角，再把放进含角的直角三角形中求解． 【小问1详解】 解：四边形是边长为的正方形． ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图，过点作交于，作于， ∵四边形是边长为的菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 ①解：矩形绕点顺时针旋转得到矩形． ∴， ∴， ∴， ∴． ②解：当时，． ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形，． 设直线交的延长线于点，直线与交于点， ∵， ∴， ∴． 设，过点作，交的延长线于点(如图)． ∵，点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下期期中检测九年级数学试题 考试时量为120分钟 总分120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 若a是关于x的方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是“小孔成像”的示意图，燃烧的蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若的长是，则像的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 若点是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由七月份的辆增加到九月份的辆，设该汽车七月至九月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 将关于x的一元二次方程化成一般式为___________． 12. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，则_________． 13. 若方程的两个根为，，且，则k的值为________． 14. 如图，点为的重心，为中点，若的面积为，则的面积是____________． 15. 如图，点在反比例函数()图象上，轴于点，轴于点，点在轴正半轴上，若，，，则______． 16. 如图，在矩形中，，，为延长线上一点，连接交于点．连接．若，则①________；②的长为__________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，在中，，以为边作，且，过点作．交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 已知：在中，，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于垂足，，． （1）线段的长； （2）的值． 21. 如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点与经过凸透镜中心的光线交于点，其中四边形是矩形，，． （1）将长为6厘米的蜡烛进行移动，使物距厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距厘米，求像的长度． （2）在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜焦距的长． 22. 在如图边长均为的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，已知三个顶点坐标分别为、、． （1）如图，点是点以原点为位似中心的对应点，画出以原点为位似中心的位似图形，其中点、点分别为点、点的对应点； （2）经过（1）的位似变换后，与四边形的面积比为_____________． （3）若点为内部一点，点经过（1）的位似变换后的对应点的坐标为__________． （4）在线段上找一点，使，直接写出点的坐标：_________． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：、、都是“倒数点”． （1）求直线：上的“倒数点”坐标. （2）若直线：（）上有且只有一个“倒数点”，记作点，求直线的解析式及点的坐标. （3）如果直线：上有两个“倒数点”，记作点，，点为坐标原点，当为锐角时，求k的取值范围． 24. 综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，请你们一起完成下列问题： （1）如图1，正方形的边长为，点为边的中点，联结，将绕点顺时针旋转至，联结交于点，爱思考的小王同学做了这样的辅助线，过点作，交于点，请沿着小王同学的思路思考下去，则的值为__________； （2）如图2，菱形的边长为，，联结，点为边上一点，联结，将绕点顺时针旋转至，联结交于点，若，求的值；(提示：试试小王同学的辅助线作法，可能会有帮助哦！) （3）在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． ①如图3，连接，，求的值． ②若直线，交于点，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $