精品解析：湖南娄底市第三中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026年下期初三数学第二次集中练习试题卷 （考试时间：120分钟， 分值：120分） 一、选择题： 本题共10小题， 每小题3分， 共30分． 1. 下列倡导环保的图案中， 是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意． 2. 黄金是自然界中延展性最好的金属，最薄的金箔厚度为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3. 下列式子中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式、积的乘方及幂的乘方判断即可． 【详解】解：A选项，故A选项错误，不符合题意； B选项，故B选项错误，不符合题意； C选项，故C选项错误，不符合题意； D选项，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式运算的综合，涉及了完全平方公式、积的乘方以及幂的乘方，灵活的应用相应的公式进行计算是解题的关键． 4. 如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的对应边成比例求出缩小后的宽，再利用矩形面积公式计算即可． 【详解】设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， 解得， ∴缩小后的宽是， ∴缩小后的矩形的面积为． 5. 下列是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为且二次项系数不为，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故不满足题意； 选项B：中，未说明，若则不是一元二次方程，故不满足题意； 选项D：中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故不满足题意； 选项C：中，是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数，满足一元二次方程的所有条件，故满足题意． 6. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 7. 如图， 四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形面积之比是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵四边形与四边形位似， ∴四边形与四边形相似， ∵， ∴四边形与四边形相似比为， ∴四边形与四边形面积之比是． 8. 用公式法解方程时，得，则“”处应填（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 9. 如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定条件，逐一进行判断即可. 【详解】解：在和中，， 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故①正确； 当时，，故②不正确； 当时，根据两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，可以得到，故③正确； 当，即时，无法得到，故④不正确； 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故⑤正确； 故能满足的条件有3个. 10. 如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形边长为，则，根据中点的定义得出，利用勾股定理求出，可得，根据正方形的性质得出，可得，进而证明，根据相似三角形的性质求出，，根据正切的定义即可得出答案． 【详解】解：设正方形边长为，则， 是边的中点， ． 在中，， 是的中点， ， 四边形为正方形， ∴ ， ， ， ， ，即， ，， ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：___． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若有意义，则应满足______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查比例的性质，根据已知比例关系，将所求分式拆分为两个分式的和，然后代入已知值进行计算． 【详解】因为 ，且已知 ， 所以 故答案为 ． 14. 若是关于x的方程的一个根，则的值是___． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据方程根的定义，将代入原方程可得到的整体取值，通过整体代入法计算目标代数式的值，无需单独求解的具体值． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴将代入方程，得， 移项整理得， 将代入待求式， 可得． 15. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则___． 【答案】 【解析】 【分析】将原一元二次方程通过移项、配方转化为的形式，确定、的取值后计算的结果． 【详解】解：， 移项得， 方程两边同时加上，得， 即， ∵该式与的形式完全对应， ∴，， ∴． 16. 黄金分割比这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉．古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联．如图，在中，，点在线段上，过点分别作于点于点，得到矩形，若矩形的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用勾股定理求得，证明，求得，设，利用，列式计算即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由矩形得， ∴， ∴， 设， 则，， ∴矩形的周长为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．其中：每题6分，题每题8分，题每题10分，题每题12分． 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）利用配方法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：由， 得， 配方得，， 直接开平方得，， 或， ，． 【小问2详解】 解：由， 得， ， 或， 解得，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，代入求值的结果为 【解析】 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 19. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为 人； （2）补全条形统计图： （3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ； （4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数． 【答案】（1）100 （2） 补全统计图如下： （3）36 （4）300人 【解析】 【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，求扇形统计图圆心角等，理解题意，结合统计图得出相关信息是解题关键． （1）根据参与1项家务劳动的人数及比例即可得出结果； （2）先求出参加3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可； （3）用360度乘以4项及以上所占的比例即可； （4）用总人数乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：人， 故答案为：100； 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 故答案为：36； 【小问4详解】 人． 20. 当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝． （1）求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； （2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 【答案】（1）每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； （2）该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准数量关系，正确列出二元一次方程组，一元一次不等式是解题的关键． （1）设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意： ， 解得：， 答：每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； 【小问2详解】 解：设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x的最小值取13， 答：该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人． 21. 如图，在中，连接，分别以点，为圆心，大于的相同长度为半径作弧，两弧交于点，，连接分别交、、于点、、，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若为中点，，，求的面积． 【答案】（1）证明：由作图可知，垂直平分， ，， 为平行四边形， ， ， ，， ， ， ， 为平行四边形， ， 是菱形． （2）48 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质和角角边证明，推出，再利用对边平行且相等的四边形是平行四边形和对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明四边形是菱形． （2）利用菱形的性质和斜边上的中线等于斜边的一半去证明为直角三角形，利用正弦即可求出边长，从而结合勾股定理求出长，即可求出的面积，最后推出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知四边形为菱形， ， 为中点， ， 为直角三角形， ， ， ， ， 在中， ， 为平行四边形， ． 22. 为测量某风景区山腰上一山洞的高度，某数学小组设计了两个测量方案． 活动课题 测量某风景区山腰上的一山洞的高度 测量方案 方案一 方案二 背景示意图 及抽象图 测量过程与 测量数据 在点处测得该山洞顶部点的仰角为，测得上山斜坡的长度为米，上山斜坡的坡度．已知点，，，都在同一平面上． 用无人机在与该山洞底部水平距离米的空中点位置，测得点的俯角为，测得该山洞顶部的仰角为10°． 点，，，在同一平面上． 参考数据 ，，． ，，． 说明 线段代表上山斜坡，线段代表该山洞，直线表示水平线，． 请选择其中一种方案计算：求该山洞的高度．（结果精确到整数） 【答案】131 【解析】 【分析】方案一：延长交水平线于，根据坡度设未知数，结合米用勾股定理求出，再利用的正切算出，用得到山洞高度． 方案二：过作，证矩形得到，分别用、的正切求出和，相加得到山洞高度． 【详解】解：方案一：延长交于点． ∵ 斜坡的坡度． ∴ ． 设米，则米． ∵ 是直角三角形． ∴ ． ，即 ∴ （负值舍去）． ∴ 米，米． ∵ ，． ∴ ． 米． ∴ ． 米． 答：该山洞的高度约为131米． 方案二：过点作于点． ∵ ∴ 四边形是矩形． ∴ 米，． ∵ 在处测得点的俯角为． ∴ ． ∴ ． 米． ∵ 在处测得点的仰角为． ∴ ． ∴ ． ， 米． ∴ ． 米． 答：该山洞的高度约为131米． 23. 已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点A、C的坐标分别为，，． （1）线段　　　，点B的坐标为　　　； （2）求过点A、B的直线的函数解析式； （3）在x轴上找一点D，连接，使得与相似，并求点D的坐标； 【答案】（1）4； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据正切的定义求出，得到点的坐标； （2）用待定系数法求解即可； （3）根据，得到，代入计算求出，得到点的坐标；再考虑另一种情况当点与点重合时，解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， 即， 解得：， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：如图，作交轴于点， 则， 又， ， ， 即， 在中，， ， 则， ∴点的坐标为； 当点与点重合时，与相似，此时相似比为1， 综上，点的坐标为或． 24. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】（1） （2）证明：过点作于点，过点作于点，且交于点． ∵四边形是矩形， ， ． 同理，， ， ∵， ∴， ∵， ． ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，由相似比即可求解； （2）构造出两个相似三角形，利用相似比及矩形对边相等的性质证明； （3）作平行线构造相似三角形，结合勾股定理解出线段长度，再由相似比即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作，延长交于点． 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴ 又， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下期初三数学第二次集中练习试题卷 （考试时间：120分钟， 分值：120分） 一、选择题： 本题共10小题， 每小题3分， 共30分． 1. 下列倡导环保的图案中， 是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 黄金是自然界中延展性最好的金属，最薄的金箔厚度为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 下列是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 6. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形面积之比是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 用公式法解方程时，得，则“”处应填（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：___． 12. 若有意义，则应满足______． 13. 若，则的值为__________． 14. 若是关于x的方程的一个根，则的值是___． 15. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则___． 16. 黄金分割比这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉．古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联．如图，在中，，点在线段上，过点分别作于点于点，得到矩形，若矩形的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则的长为___________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．其中：每题6分，题每题8分，题每题10分，题每题12分． 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为 人； （2）补全条形统计图： （3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ； （4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数． 20. 当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝． （1）求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； （2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 21. 如图，在中，连接，分别以点，为圆心，大于的相同长度为半径作弧，两弧交于点，，连接分别交、、于点、、，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若为中点，，，求的面积． 22. 为测量某风景区山腰上一山洞的高度，某数学小组设计了两个测量方案． 活动课题 测量某风景区山腰上的一山洞的高度 测量方案 方案一 方案二 背景示意图 及抽象图 测量过程与 测量数据 在点处测得该山洞顶部点的仰角为，测得上山斜坡的长度为米，上山斜坡的坡度．已知点，，，都在同一平面上． 用无人机在与该山洞底部水平距离米的空中点位置，测得点的俯角为，测得该山洞顶部的仰角为10°． 点，，，在同一平面上． 参考数据 ，，． ，，． 说明 线段代表上山斜坡，线段代表该山洞，直线表示水平线，． 请选择其中一种方案计算：求该山洞的高度．（结果精确到整数） 23. 已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点A、C的坐标分别为，，． （1）线段　　　，点B的坐标为　　　； （2）求过点A、B的直线的函数解析式； （3）在x轴上找一点D，连接，使得与相似，并求点D的坐标； 24. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $