精品解析：河南省周口市项城市新华学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期自我评价[2]（S）九年级数学 注意事项； 1．本试卷共6页，六个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 函数y=﹣的图象在（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 2. 在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（ ） A. 测量两条对角线是否分别平分两组内角 B. 测量四个内角是否相等 C. 测量两条对角线是否互相垂直且平分 D. 测量四条边是否相等 3. 已知甲、乙两地图的比例尺分别为和，如果甲图上、两地的距离与乙图上、两地的距离恰好一样长，那么、两地的实际距离与、两地的实际距离之比为（ ） A. 5:2 B. 2:5 C. 1:4 D. 4:1 4. 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 6. 如图，是一个由若干个小正方体组成的几何体的三视图.则该几何体最多可由多少个小正方体组合而成?( ) A. 11个 B. 14个 C. 13个 D. 12个 7. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，以点为位似中心把四边形放大得到四边形，过点的反比例函数表达式为，则四边形和四边形的位似比为（ ） A. B. C. D. 8. 根据关于的二次函数，可列表如下： 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 方程的正数解满足（ ） A. 解的整数部分是0，十分位是5 B. 解的整数部分是0，十分位是8 C. 解的整数部分是1，十分位是1 D. 解的整数部分是1，十分位是2 9. 若a*b＝a﹣2ab+2，则方程2*x＝0的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 10. 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点点M不与B，C重合，，CN与AB交于点N，连接OM，ON，下列五个结论：≌；≌；∽；；若，则的最小值是，其中正确结论的个数是　　 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 12. 质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示： 抽检产品数n 100 150 200 250 300 500 1000 合格产品数m 89 134 179 226 271 451 904 合格率 0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904 在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）_____________． 13. 已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(3，－1)，则当1＜y＜3时，自变量x的取值范围是__________． 14. 如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是______m． 15. 如图，在正方形中，动点、分别从、两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点，由于点、的移动，使得点也随之运动．若，则线段的最小值是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 用适当的方法解方程 （1） （2） 17. 如图，在由边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在正方形网格内画出的位似图形（其中点的对应点为），且与的相似比为； （2）在（）的条件下，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，请画出线段． 18. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，其中点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标． （2）当时，请直接写出的取值范围． （3）过点作轴于点，连接．求的面积． 19. 如图1所示，点把线段分成与，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比． （1）根据上述定义求黄金比； （2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，得到图3， ①作线段AB的垂直平分线，得线段AB的中点； ②过点作垂线； ③以点为圆心，以为半径作圆交于； ④连接、，以为圆心，以为半径作圆交于； ⑤以点为圆心，以为半径作圆交于．证明按以上步骤作出的点就是线段的黄金分割点． 20. 近年来，扬州市委组织部借助网红直播基地，积极探索党建引领乡村振兴的新模式．某电商在抖音上对种植成本为20元/千克的“阳光玫瑰”葡萄进行直播销售，如果按每千克40元销售，每天可卖出200千克．通过市场调查发现，如果“阳光玫瑰”售价每千克降低1元，日销售量将增加20千克． （1）若每千克售价为36元，每天可卖出______千克． （2）若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”售价可降低多少元？ （3）小明的线下水果店也销售同款葡萄，标价为每千克50元．为提高市场竞争力，促进线下销售小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 21. 在四边形中，，对角线交于点O，点O是中点，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作，交延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形（除外）． 22. 甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转． （1）请用树状图或列表法列出所有可能的结果； （2）若指针所指的两个数字都是方程x2﹣5x+6=0的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程x2﹣5x+6=0的解时，则乙获胜，问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明． 23. 若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”． （1）知识理解： 如图①，与互为“旋转位似图形”． ①若，，，则 ； ②若，，，则 ； （2）知识运用： 如图②，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”； （3）拓展提高： 如图③，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，，且与互为“旋转位似图形”．若，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期自我评价[2]（S）九年级数学 注意事项； 1．本试卷共6页，六个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 函数y=﹣的图象在（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】反比例函数y=（k≠0）的图象k>0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k<0时图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大. 【详解】解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣， ∴函数y=﹣的图象在第二、四象限. 故选B. 【点睛】本题考查了反比例函数y=（k≠0）的图象的性质. 2. 在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（ ） A. 测量两条对角线是否分别平分两组内角 B. 测量四个内角是否相等 C. 测量两条对角线是否互相垂直且平分 D. 测量四条边是否相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理分别进行判定即可得到答案． 【详解】解：A、两条对角线是否分别平分两组内角可以判定四边形是不是菱形，故不符合题意； B、四个内角是否相等不能判定四边形是不是菱形，故符合题意； C、两条对角线是否互相垂直且平分可以判定四边形是不是菱形，故不符合题意； D、四条边是否相等可以判定四边形是不是菱形，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理：①邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形的四边形是菱形．熟记菱形的判定定理是解题的关键． 3. 已知甲、乙两地图的比例尺分别为和，如果甲图上、两地的距离与乙图上、两地的距离恰好一样长，那么、两地的实际距离与、两地的实际距离之比为（ ） A. 5:2 B. 2:5 C. 1:4 D. 4:1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列比例式分别求出A、B和C、D两地的实际距离，再求得A、B两地的实际距离与C、D两地的实际距离之比的值． 【详解】解：把图上距离看作单位1，设A. B和C. D两地的实际距离分别为x和y，则： 1:5000=1:x， 解得x=5000， 1:20000=1:y， 解得y=20000， ∴x:y=5000:20000=1:4． 故选C． 【点睛】解答此题的关键是把图上的距离看做单位1，根据比例尺分别表示出实际距离，进一步求得比值． 4. 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过列表法列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：列表得： 右 （直，右） （左，右） （右，右） 左 （直，左） （左，左） （右，左） 直 （直，直） （左，直） （右，直） 直 左 右 ∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种， ∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是 故选C． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，解题的关键在于能熟练掌握列表法或树状图法求解概率． 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件： （1）二次项系数不为零； （2）在有不相等的实数根时，必须满足． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， ∴m的取值范围是且， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程判别式的知识，此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得． 6. 如图，是一个由若干个小正方体组成的几何体的三视图.则该几何体最多可由多少个小正方体组合而成?( ) A. 11个 B. 14个 C. 13个 D. 12个 【答案】A 【解析】 【分析】根据画三视图的方法，得到各行构成几何体的小正方体的个数，相加即可． 【详解】综合三视图， 第一行：第1列没有，第2列没有，第3列有1个； 第二行：第1列有2个，第2列有2个，第3列有1个； 第三行：第1列3个，第2列有2个，第3列没有； 一共有：1＋2＋2＋1＋3＋2＝11个， 故选A． 【点睛】此题考查了几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体结构特征． 7. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，以点为位似中心把四边形放大得到四边形，过点的反比例函数表达式为，则四边形和四边形的位似比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，位数图形的性质，相似多边形的性质，掌握反比例函数与几何图形面积的计算，相似多边形的性质是解题的关键． 根据题意，四边形，是矩形，，，由相似多边形的性质“面积比等于相似比的平方”即可求解． 【详解】解：∵过点作轴于点，轴于点， ∴四边形是矩形， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵以点为位似中心把四边形放大得到四边形，点在反比例函数的图象上， ∴四边形也是矩形，， ∴相似比为，   故选：A ． 8. 根据关于的二次函数，可列表如下： 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 方程的正数解满足（ ） A. 解的整数部分是0，十分位是5 B. 解的整数部分是0，十分位是8 C. 解的整数部分是1，十分位是1 D. 解的整数部分是1，十分位是2 【答案】C 【解析】 【分析】观察表格得：一元二次方程的解位于与之间，故其正数解的整数部分是，十分位是即可求解． 【详解】解：观察表格得：一元二次方程的解位于与之间（不包括与）， 方程的正数解满足解的整数部分是，十分位是 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根据表格得到方程的解位于1.1与1.2之间是解题的关键． 9. 若a*b＝a﹣2ab+2，则方程2*x＝0的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中的新定义将方程化简，然后利用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴方程化简得 ， ∵∆＝＝4-4＝0， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义计算，一元二次方程根的判别式判断根的情况，根据新定义列出一元二次方程是解题的关键． 10. 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点点M不与B，C重合，，CN与AB交于点N，连接OM，ON，下列五个结论：≌；≌；∽；；若，则的最小值是，其中正确结论的个数是　　 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质,可判定△CNB≌△DMC, △OCM≌△OBN, △CON≌△DOM, △OMN∽△OAD,根据全等三角形的性质以及勾股定理可进行求解. 【详解】因为正方形ABCD中,CD=BC, ∠BCD=90°, 所以∠BCN+∠DCN=90°, 因为CN⊥DM, 所以∠CDM+∠DCN=90°, 所以∠BCN=∠CDM, 又因为∠CBN=∠DCM=90°, 所以△CNB≌△DMC,故①正确, 根据△CNB≌△DMC,可得CM=BN, 又因为∠OCM=∠OBN=45°,OC=OB, 所以△OCM≌△OBN, 所以OM=ON, ∠COM=∠BON, 所以∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN,即∠DOM=∠CON, 又因为DO=CO, 所以△OCN≌△DOM,故②正确, 因为∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°, 所以∠MON=90°,即△MON是等腰直角三角形, 又因为△AOD是等腰直角三角形, 所以△OMN∽△OAD,故③正确, 因为AB=BC,CM=BN, 所以BM=AN, 又因为Rt△BMN中,BM2+BN2=MN2, 所以AN2+CM2=MN2,故④正确, △OCM≌△OBN, 所以四边形BMON的面积=△BOC的面积=1,即四边形BMON的面积是定值1, 当△MNB的面积最大时, △MNO的面积最小, 设BN=x=CM,则BM=2-x, 所以△MNB的面积=, 当x=1时, △MNB的面积有最大值 此时△OMN的面积最小值是,故⑤正确, 故选D. 【点睛】本题主要考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,解决本题的关键是要能够综合运用几何图形的性质结合等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,解决问题. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先移项，再分解因式，即可得解． 【详解】解：， 移项，得：， 分解因式，得：， 或， 解得：，， 故答案为：，． 12. 质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示： 抽检产品数n 100 150 200 250 300 500 1000 合格产品数m 89 134 179 226 271 451 904 合格率 0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904 在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）_____________． 【答案】0.9 【解析】 【分析】根据表中给出的合格率数据即可得出该产品的合格概率． 【详解】解：根据题意得：该产品的合格率大约为0.9， ∴恰好是合格产品的概率约是0.9． 故答案为：0.9 【点睛】本题考查利用频率估计概率的知识，训练了从统计表中获取信息的能力及统计中用样本估计总体的思想． 13. 已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(3，－1)，则当1＜y＜3时，自变量x的取值范围是__________． 【答案】－3＜x＜－1 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质即可确定自变量的取值范围. 【详解】已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过（3，﹣1），所以k=3×（﹣1）=﹣3，即反比例函数的解析式为y=．由k=﹣3＜0可知该反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大．当y=1时，x=﹣3；当y=3时，x=﹣1．所以1＜y＜3时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1． 【点睛】反比例函数的性质.：k＞0时，y随x的增大而减小；k＜0时y随x的增大而增大. 14. 如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴路灯的高度是, 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，动点、分别从、两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点，由于点、的移动，使得点也随之运动．若，则线段的最小值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据已知得，然后证明，得出，然后证明，取中点，则为定值，根据两点之间线段最短得当、、三点共线时，最小，然后根据勾股定理求解．此题考查了正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，确定点到中点的距离是解此题的关键． 【详解】解：动点，分别从，两点同时出发，以相同的速度在边，上移动， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取中点，连接，如图， 则， 根据两点之间线段最短，得、、三点共线时线段的值最小， 在中，根据勾股定理得， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 用适当的方法解方程 （1） （2） 【答案】（１）；（２） 【解析】 【分析】（1）使用十字相乘法进行因式分解解方程； （2）使用提公因式法进行因式分解解方程； 【详解】解：（1） ∴ ∴ （2） ∴ ∴ 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，解题的关键是会选择合适的解法解方程． 17. 如图，在由边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在正方形网格内画出的位似图形（其中点的对应点为），且与的相似比为； （2）在（）的条件下，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，请画出线段． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求： 【解析】 【分析】（）根据位似图形的性质，延长至使得，延长至使得，连接即可； （）根据旋转作图即可； 本题考查了作图位似变换和旋转变换，熟练掌握画位似图形和旋转的一般步骤是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，其中点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标． （2）当时，请直接写出的取值范围． （3）过点作轴于点，连接．求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数图像上点的坐标特征，解题的关键是数形结合． （1）利用待定系数法可求出反比例函数的表达式，根据对称性可求出点的坐标； （2）根据图像即可求解； （3）根据题意可求出点的坐标，进而求出的值，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入， 得：， 反比例函数的表达式为， 、关于原点对称， ； 【小问2详解】 根据图像可知，当时， 的取值范围为：或； 【小问3详解】 根据题意得：， ， ． 19. 如图1所示，点把线段分成与，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比． （1）根据上述定义求黄金比； （2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，得到图3， ①作线段AB的垂直平分线，得线段AB的中点； ②过点作垂线； ③以点为圆心，以为半径作圆交于； ④连接、，以为圆心，以为半径作圆交于； ⑤以点为圆心，以为半径作圆交于．证明按以上步骤作出的点就是线段的黄金分割点． 【答案】（1） （2） 证明：设，由作法可知，， 在中，， ， ， 点是线段的黄金分割点． 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点、一元二次方程的应用、勾股定理、尺规作图，理解题意是解题的关键． （1）设，，则，根据列出方程，求出关于的表达式，再根据黄金比的定义即可求解； （2）设，由作法可知，根据勾股定理求出，利用线段的和差得到，再根据黄金分割点的定义即可证明． 【小问1详解】 解：设，，则． 由，得， ， 即， 解得，（不合题意，舍去）． 所以，黄金比． 【小问2详解】 略 20. 近年来，扬州市委组织部借助网红直播基地，积极探索党建引领乡村振兴的新模式．某电商在抖音上对种植成本为20元/千克的“阳光玫瑰”葡萄进行直播销售，如果按每千克40元销售，每天可卖出200千克．通过市场调查发现，如果“阳光玫瑰”售价每千克降低1元，日销售量将增加20千克． （1）若每千克售价为36元，每天可卖出______千克． （2）若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”售价可降低多少元？ （3）小明的线下水果店也销售同款葡萄，标价为每千克50元．为提高市场竞争力，促进线下销售小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】（1） （2）每千克“阳光玫瑰”售价可降低10元 （3）至少需打六折销售 【解析】 【分析】（1）根据“阳光玫瑰”售价每千克降低1元，日销售量将增加20千克，列出算式进行计算即可求解． （2）设每千克“阳光玫瑰”售价降低元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，利用总利润每千克的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）设该商品需要打折销售，利用售价标价折扣率，结合销售价格不超过（1）中的售价，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：若每千克售价为36元，每天可卖出千克， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每千克“阳光玫瑰”售价降低元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”售价可降低10元． 【小问3详解】 设该商品需要打折销售， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为6． 答：该商品至少需打六折销售． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键列出一元二次方程和不等式． 21. 在四边形中，，对角线交于点O，点O是中点，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作，交延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形（除外）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点O是中点， ∴， 在和中， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2），，， 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，由角平分线的定义及平行线的性质可得，由等角对等边得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴图中所有与面积相等的三角形有，，，． 【点睛】本题考查了菱形的判定，主要利用了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及平行四边形和菱形的判定，全等三角形的判定和性质． 22. 甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转． （1）请用树状图或列表法列出所有可能的结果； （2）若指针所指的两个数字都是方程x2﹣5x+6=0的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程x2﹣5x+6=0的解时，则乙获胜，问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明． 【答案】 （1）列表如下：（画树状图略） （2）乙获胜的概率大 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）首先求得方程x2-4x+3=0的解，由概率公式即可求得甲获胜与乙获胜的概率，继而求得他们两人谁获胜的概率大． 【详解】解：（1）略 （2）因为，方程x2-5x+6=0的解是：x1=2，x2=3， 所以，从上表中可看出，指针所指的两个数字有12种等可能的结果， 其中两个数字都是方程x2-5x+6=0的解有2次，两个数字都不是方程x2-5x+6=0的解有10次， 所以，P（甲胜）=，P（乙胜）= 所以，此游戏乙获胜的概率更大． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 23. 若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”． （1）知识理解： 如图①，与互为“旋转位似图形”． ①若，，，则 ； ②若，，，则 ； （2）知识运用： 如图②，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”； （3）拓展提高： 如图③，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，，且与互为“旋转位似图形”．若，，求． 【答案】（1）①27°；② （2） 证明：，， ， ，即， 又， ， ， 又，， ， ， ， 绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形， 和互为“旋转位似图形” （3） 【解析】 【分析】（1）①依据和互为“旋转位似图形”，可得，依据相似三角形的对应角相等，即可得到； ②依据，可得，根据，，，即可得出； （2）依据，即可得到，进而得到，再根据，，即可得到，进而得出和互为“旋转位似图形”； （3）利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 ①和互为“旋转位似图形”， ， ， 又，， ； ②， ， ，，， ， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 点为的中点， ， 由题意得：， ， ， ， ， 由勾股定理可得， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理的综合运用．在解答时添加辅助线等腰直角三角形，利用相似形的对应边成比例是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $