精品解析：上海市南洋模范中学2026-2027学年第一学期高二年级期中考试数学试题

2026学年第一学期南模中学高二年级期中考试 数学学科 （考试时间：120分 钟满分：150分） 一、填空题 1. 已知球的体积为，则该球的半径为___________. 2. 小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角；④两个非零向量的夹角．则上述各种“角”的取值范围是的有______（请填写序号） 3. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则该圆台的母线长为___________． 4. 下列命题中正确的个数为__________个． ①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于、、，则、、三点共线； ②若三条直线、、互相平行且分别交直线于、、三点，则这四条直线共面； ③若直线、异面，、异面，则、异面； ④若，，则． 5. 等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为，则由长方体的四个顶点构成的等腰四面体的体积为_______. 6. 在四面体中，，则该四面体体积的最大值为________． 7. 如图，正方体，则下列四个命题： ①点P在直线上运动，三棱锥的体积不变； ②点P在直线上运动，直线与平面所成角的大小不变； ③点P在直线上运动，二面角的大小不变； ④点P是平面上到点D和，距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的一条直线．其中真命题是________（请在横线上填上正确命题的序号） 8. 如图，四面体中，，，，，，分别是，的中点，则__________． 9. 如图，是正方形所在平面外一点，且，，，，若是的中点，则点到平面的距离为______． 10. 在棱长为6的正方体中，，，过的平面将该正方体分成体积为、的两个部分，则的最大值是______． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体O，O与均相切，则该9部分的体积和的范围是________． 12. 如图两个同心球，球心均为点，其中大球与小球的表面积之比为3∶1，线段与是夹在两个球体之间的内弦，其中、两点在小球上，、两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部．当四面体的体积达到最大值时，此时异面直线与的所成角为，则______． 二、单选题 13. 直线平面，直线，则与不可能（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 14. 将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线与是异面直线的是（ ）． A. B. C. D. 15. 如图，在棱长为的正方体中，是它的一条体对角线．将底面对角线BD绕直线旋转一周，则BD所扫过区域的面积为（ ） A. B. 2π C. D. 3π 16. 某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，．若，则该多面体的体积为（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 三、解答题 17. 如图所示，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是弧的中点． （1）求该圆柱的表面积； （2）求异面直线与所成角的正切值． 18. 如图，在直三棱柱中，，．，分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，是边的中点，是边的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 20. 如图所示，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，，，，． （1）若平面平面，求证：； （2）求四面体外接球的半径； （3）过的中点作平面与棱，，分别交于点，，，记，，，探究是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由． 21. 如图1，一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱形容器中盛有水， ，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点．现在固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同． （1）如图2，当底面水平放置时，水面高为多少? （2）当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少? （3）试分析容器围绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期南模中学高二年级期中考试 数学学科 （考试时间：120分 钟满分：150分） 一、填空题 1. 已知球的体积为，则该球的半径为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用球的体积公式即可求得. 【详解】设该球的半径为r，则，解得：r=3. 故答案为：3. 2. 小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角；④两个非零向量的夹角．则上述各种“角”的取值范围是的有______（请填写序号） 【答案】③④ 【解析】 【分析】根据异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，两个非零向量的夹角的概念即可判断. 【详解】异面直线所成的角的范围为，①错误； 直线与平面所成的角的范围为，②错误； 二面角的范围为，③正确； 两个非零向量的夹角为，④正确. 故答案为：③④ 3. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则该圆台的母线长为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为，，高为 则其母线长为. 4. 下列命题中正确的个数为__________个． ①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于、、，则、、三点共线； ②若三条直线、、互相平行且分别交直线于、、三点，则这四条直线共面； ③若直线、异面，、异面，则、异面； ④若，，则． 【答案】 3 【解析】 【分析】依据平面的基本公理、空间平行公理逐一判断各命题的正误，统计正确命题的个数. 【详解】对于①，记所在平面为，因为，故且，即， 同理，，根据平面基本公理2，设，因此，即三点共线，命题①正确； 对于②，根据平面基本公理的推论，由于，故与确定一个平面，记为， 因为，，所以，，根据公理1，且，故， 同理与确定一个平面，记为，，此时且， 根据公理的推论，两条相交直线确定唯一平面，因此与为同一平面， 故，即、、、四条直线共面，命题②正确； 对于③，取正方体，令直线为，直线为，直线为， 如图所示，此时与为异面直线，与为异面直线， 但与互相平行，属于共面直线，并非异面直线，因此命题③错误； 对于④，根据空间平行公理（平行于同一直线的两条直线互相平行），由，，得，命题④正确， 综上，正确的命题为①②④，共3个. 5. 等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为，则由长方体的四个顶点构成的等腰四面体的体积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】结合体积公式计算即可得. 【详解】如图所示，等腰四面体的体积等于长方体体积减去四个三棱锥的体积， 设长方体长、宽、高分别为，，， 则等腰四面体的体积. 故答案为：4. 6. 在四面体中，，则该四面体体积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由于平面是边长为1的正三角形， ，底面面积固定，要使体积最大，只需高最大，故当平面时体积最大，. 7. 如图，正方体，则下列四个命题： ①点P在直线上运动，三棱锥的体积不变； ②点P在直线上运动，直线与平面所成角的大小不变； ③点P在直线上运动，二面角的大小不变； ④点P是平面上到点D和，距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的一条直线．其中真命题是________（请在横线上填上正确命题的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用锥体的体积公式可判断①的正误；利用线面角的定义可判断②的正误；利用二面角的定义可判断③的正误；利用空间中两点间的距离公式可判断④的正误. 【详解】在正方体中，且，则四边形为平行四边形，， 平面，平面，所以，平面， 点在直线上运动，点到平面的距离为定值， 为定值，①正确； 设直线与平面所成的角为， 当点在直线上运动，点到平面的距离为定值，但在变，则不是定值，故直线与平面所成角的大小不是定值，②错； 设二面角的大小为，点在到面的距离不变，到的距离不变，故为定值， 所以二面角的大小不变，③正确； 设正方体边长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、，设点， 由可得，解得， 因此，的轨迹是过点的一条直线，④正确. 故答案为：①③④. 8. 如图，四面体中，，，，，，分别是，的中点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】选择，，做空降向量的基底，表示出，再用向量法求向量的模. 【详解】设，，， 故答案为： 9. 如图，是正方形所在平面外一点，且，，，，若是的中点，则点到平面的距离为______． 【答案】## 【解析】 【详解】由是正方形，，，且，， 则在中，，， 则边上的高为，所以， 又是的中点，则，所以， 又，，且，平面，则平面， 则点到平面的距离， 又，即， 所以． 10. 在棱长为6的正方体中，，，过的平面将该正方体分成体积为、的两个部分，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线是长方体的体对角线，所以截面将长方体截成体积相等的两部分，进而可得截正方体的两部分体积的范围，从而可得所求值的最大值. 【详解】如图：由， 得是的中点，是的三等分点（靠近A点）. 构造长方体是其体对角线，其体积. 设线段的中点为，过的平面为， 则平面将长方体分成的两个几何体关于点对称， 体积都为. 而正方体的体积. 不妨设，则， ， 当且仅当截面过四点时取得最大值. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体O，O与均相切，则该9部分的体积和的范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何体的特征，再应用二次函数值域结合球的体积公式计算求解. 【详解】设球体的半径为，半径为， 所以，即得， 可得，所以， ，此为关于的二次函数，开口向下，对称轴为， 所以， 该9部分的体积和为 ， 所以． 12. 如图两个同心球，球心均为点，其中大球与小球的表面积之比为3∶1，线段与是夹在两个球体之间的内弦，其中、两点在小球上，、两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部．当四面体的体积达到最大值时，此时异面直线与的所成角为，则______． 【答案】. 【解析】 【分析】首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为，内切球和外接球的表面积之比为，符合题意中的小球和大球的比例.判断当四面体体积最大时，的位置关系，作出异面直线所成的角，解直角三角形求得. 【详解】设正方体的边长为，则其内切球半径为，外接球的半径为， 所以内切球和外接球的表面积之比为，符合题意中的小球和大球的比例. 依题意最长为，最长为小球的直径. 由于三角形的面积，若为定值，则时面积取得最大值. 画出图像如下图所示，其中分别是所在正方形的中心，是正方体内切球与外接球的球心. . 由于，故此时四面体的体积最大. 由于，所以四边形为平行四边形，所以， 所以是异面直线和所成的角. 所以，因为，设是的中点，则，所以， 所以. 二、单选题 13. 直线平面，直线，则与不可能（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质可以得到，从而可得正确的选项. 【详解】因为平面，直线，由线面垂直的性质可以知道， 故选：A． 【点睛】本题考查线面垂直的性质，注意空间中线面垂直与线线垂直的相互转化，本题属于容易题． 14. 将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线与是异面直线的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对A，沿虚线折成四面体后，如图， 点与点重合，所以直线与相交，不是异面直线； 对B，沿虚线折成四面体后，如图， ，所以直线与不是异面直线； 对C，沿虚线折成四面体后，如图， 可得直线与异面； 对D，沿虚线折成四面体后，如图， 点与点重合，所以直线与相交，不是异面直线. 15. 如图，在棱长为的正方体中，是它的一条体对角线．将底面对角线BD绕直线旋转一周，则BD所扫过区域的面积为（ ） A. B. 2π C. D. 3π 【答案】A 【解析】 【分析】通过证明平面，将空间线段绕轴旋转问题转化为计算平面内等边三角形外接圆与内切圆所构成的圆环面积问题即可求解. 【详解】因为平面，且平面，所以， 又，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，且平面，所以， 又，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 平面，所以平面， 因为平面且平面垂直于旋转轴， 所以绕旋转一周时，它始终在一个固定的垂直平面内运动， 因此，线段扫过的区域是一个平面圆环， 设旋转轴穿过平面的交点为， 易得三棱锥为正三棱锥，所以顶点到底面的垂线， 其垂足是底面正三角形的中心，因为平面且交点为， 所以是这个等边三角形的中心， 即求线段绕中心旋转所形成的圆环面积， 易得等边的边长， 外圆是由线段距离中心最远的端点或扫过的轨迹， 所以外圆半径是点到端点的距离， 在等边三角形中，既是中心也是外接圆的圆心，即是三角形的外接圆半径， 设的中点分别是，因为边长为，则， 则，则， 所以，即， 内圆是由线段上距离中心最近的点扫过的轨迹， 在等边三角形中最短线段为中心到边的垂线的长度，即， 易得为等边三角形内切圆与三角形的切点，即内圆半径， 在直角三角形中，，所以， 所以扫过区域的面积. 16. 某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，．若，则该多面体的体积为（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】把多面体分割为几个规则的柱体或锥体，利用面面垂直求高，分别计算各部分体积，将各部分体积相加得到多面体体积. 【详解】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱和四棱锥后结合体积公式可求几何体的体积. 先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则. 证明：设，， 在平面取一点，， 在平面内过作直线，使得，作直线，使得， 因为平面平面，，故，而，故， 同理，而，故 . 下面回归问题. 连接，因为且，故，同理，， 而，故直角梯形与直角梯形全等， 故， 在直角梯形中，过作，垂足为， 则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形， 故， 平面平面，平面平面，， 平面，故平面， 取的中点为，的中点为，的中点为，连接， 则，同理可证平面，而平面， 故平面平面，同理平面平面， 而平面平面，故平面， 故，故四边形为平行四边形，故. 在平面中过作，交于，连接. 则四边形为平行四边形，且，故， 故四边形为平行四边形， 而平面， 故平面，故平面平面， 而，故， 故几何体为直棱柱， 而，故， 因为，故平面， 而平面，故平面平面， 在平面中过作，垂足为，同理可证平面， 而，故，故， 由对称性可得几何体的体积为， 故选：C. 三、解答题 17. 如图所示，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是弧的中点． （1）求该圆柱的表面积； （2）求异面直线与所成角的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆柱的底面半径和高，根据圆柱的表面积计算公式代入计算即可得出答案； （2）过点作，交底面圆于点，连接，，求出，的值，代入计算即可得出答案. 【小问1详解】 因为圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以圆柱的高为，底面圆的半径为， 圆柱的表面积. 【小问2详解】 如图所示过点作，交底面圆于点，连接，，, 则平面， 又因为平面，所以， 则是异面直线与所成的角 由圆的性质可得是等腰直角三角形，所以， 设异面直线与所成角为，则. 18. 如图，在直三棱柱中，，．，分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，， 因为为棱中点，所以是的中位线， 所以且， 因为在直三棱柱中且， 又是棱中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以, 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）由题以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，代入计算即可求出答案. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题可得平面，又，所以，，三条直线两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 不妨设， 则，，，，，， 因为，分别为棱，的中点，所以，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则平面的一个法向量为， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 所以平面与平面所成角的正弦值为. ， 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，是边的中点，是边的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为底面是平行四边形，所以． 因为是边的中点，是边的中点，所以，则． 而平面，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行的传递性可得，即可根据线面平行的判定定理证得平面； （2）根据题意可证得平面，点到平面的距离即为长，即可求出； （3）由题意以及二面角的定义可知即为二面角的平面角，解三角形求出的值，再利用点到平面的距离是点到平面距离的一半，求出和，即可解出. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，，所以平面， 则点到平面的距离即为长. 而，所以点到平面的距离为． 【小问3详解】 因为平面，，平面，所以，， 则即为二面角的平面角，即． 因为，由余弦定理得， 即，解得，所以． 如图，过点作于点，连接． 因为平面，平面，所以． 而，，平面，所以平面． 在中，， 因为是边的中点，所以点到平面的距离是点到平面 距离的一半，即． 因为平面，平面，所以， 即四边形是直角梯形，由（1）知，． 在等腰三角形中，． 所以在直角梯形中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 20. 如图所示，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，，，，． （1）若平面平面，求证：； （2）求四面体外接球的半径； （3）过的中点作平面与棱，，分别交于点，，，记，，，探究是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1）证明：因为，面，面，所以面. 又面，面面，所以. （2） （3）是定值4． 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理推出线面平行，再利用线面平行性质定理即可证明； （2）先利用面面垂直性质定理得到线面垂直，再找到底面直角三角形的外心，从而判断出球心位置，最后利用勾股定理即可求得外接球半径； （3）利用体积比例关系，把面积比转化为线段比，列出含参数的等式，化简后即可得到定值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设为四面体外接球的球心，外接球的半径为， 取的中点，连接，因为是等边三角形， 所以． 由面面，面面，面， 所以面． 连接交于点，则为的中点，取的中点，连接， 所以，所以面． 因为，故．所以球心在上． 所以，则，解得. 故四面体外接球的半径为. 【小问3详解】 在直角梯形中， ，． 因为 ． 同理可得：． 所以． ，两边同除．得． 即．所以是定值4． 21. 如图1，一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱形容器中盛有水， ，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点．现在固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同． （1）如图2，当底面水平放置时，水面高为多少? （2）当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少? （3）试分析容器围绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得，假设水面高为，利用计算； （2）求得，作出图形，利用面面垂直判定定理可得平面平面，然后求得，最后可得水面到地面的距离为； （3）方法一；作图，假设，根据计算可得，并于联立，然后表示，记，构建函数，根据二次函数性质计算.方法二：作图，假设，得到，整理，联立，结合，化简得，令，构建函数，然后根据二次函数性质可得. 【小问1详解】 记水面与棱分别交于点， ，为等腰直角三角形，，分别为棱的中点， ， 当底面ABC水平放置时，设水面高为， ，解得， 当底面ABC水平放置时，水面高为. 【小问2详解】 三棱柱体积为64，三棱锥的体积为 空气部分的体积为， 当水面经过线段时，水面与棱交于点，如图： ，得 记的中点为，连接，则， ， 平面，平面 ， ，平面，平面 平面，平面平面 直线在平面内的投影为 ，为直线与水平面所成角 ， ， ，水面到地面的距离为 【小问3详解】 解法一：由上可知，水面第一次过顶点C之前，水面与棱相交，如图： 记的中点分别为，在上，且，， 易知，为等腰直角三角形，设， ， 整理得，平方得① 平面，平面，平面平面， 与的交点必在上，为棱台， ，整理得② 联立①②可得， ，为平行四边形 易知为等腰梯形，为等腰梯形的高 水面面积 则 当水面刚好过点时，，解得， 此时， 由题意可知，则 记， 由二次函数性质可知，，即 ，所以，即水面面积S的取值范围为.解法二：由上可知，水面第一次过顶点C之前，水面与棱相交，如图： 记的中点分别为，在上，且，， 易知，为正三角形，设， 整理得，平方得① 平面，平面，平面平面 与的交点必在上，为棱台 ，整理得② 联立①②可得， ，为平行四边形， 当水面刚好过点时，，解得 此时，，令， ， 由二次函数性质可知，，即， ，所以，即水面面积S的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $