精品解析：上海市七校2026-2027学年高二上学期11月期中联考数学试题

2026学年第一学期期中考试 高二数学试卷 考生注意： 1．答题卷，考生务必将姓名、班级、考号等在指定位置填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟，请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上． 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 半径为1的球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由球的表面积公式即可得到答案. 【详解】, , ， 故答案为: 【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题. 2. 若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 【答案】平行或相交 【解析】 【分析】根据直线共面的定义可得出结论. 【详解】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交. 故答案为：平行或相交. 3. 已知，是两个不同的平面，，，且，则________（用集合符号表示）． 【答案】 【解析】 【详解】 注意到且，这说明点是平面与平面的一个公共点. 由条件知与是两个不同的平面，且其交线为. 根据平面的基本事实：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，且这两个平面的所有公共点都在这条直线上. 既然直线是平面与的公共直线，那么公共点必然位于该交线上. 点与直线的位置关系用集合符号表示为. 4. 如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据长方体的性质，结合线面垂直性质以及点线距离定义，可得答案. 【详解】连结，如图： 在长方体中，由平面，平面， 所以，则点到棱的距离是， 在矩形中，. 故答案为：5 5. 已知空间两个角与，若，，，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据等角定理，两个角可以相等也可以互补，即可求解. 【详解】因为，，故或，如图： 6. 水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是________． 【答案】 【解析】 【详解】在斜二测画法中，轴方向上的线段长度保持不变，轴方向上的线段长度是原长度的一半，且原图中轴与轴垂直． 由图知为坐标原点，在轴上，在轴上，又，， 所以原图中，，且． 在中，． 7. 一圆锥的侧面展开图为一圆心角为的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，结合弧长公式进行求解即可. 【详解】因为圆锥的母线长为6，所以侧面展开图扇形的半径为6，设该圆锥的底面半径为， 所以有， 故答案为：. 8. 已知正四棱锥的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为_____ 【答案】 【解析】 【分析】求出四棱锥的高，即可得到此四棱锥体积. 【详解】 设底面正方形两条对角线相交于O点， 由题可得,PO⊥底面ABCD. 在Rt△AOP中, ∵AO= AC= ,AP=2, ∴PO=. 故= 故答案为 【点睛】求解空间几何体体积的常用策略： （1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解； （2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可； （3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用. （4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题. 9. 斜边长为的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为______． 【答案】 【解析】 【详解】设等腰直角三角形的直角边长为，斜边上的高为． 由题意斜边长为，所以，解得（负值舍去）． 等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，所以． 该三角形绕斜边所在直线旋转一周，所得几何体是两个同底面的圆锥，公共底面半径为，两圆锥的母线长均为． 因为公共底面在几何体内部，不是表面的一部分，所以几何体的表面积等于两个圆锥侧面积之和， 即． 10. 已知平面与平面间的距离为3，定点，设集合，则表示的曲线的长度为________． 【答案】 【解析】 【详解】在空间中，集合表示以点为球心，半径的球面， 记表示平面，可知，所以表示球与平面所截得到的圆周， 设圆心为，半径为，可知，则，所以表示的曲线的长度为. 11. 已知异面直线，所成角为，为空间一定点，过点且与，所成角都是的直线有且仅有条，则的范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作分别平行于、的两条相交直线，将异面直线所成角转化为相交直线所成角；利用空间直线与其在平面内射影的夹角关系，证明射影必须在相应角平分线上，再按倾斜程度统计直线条数． 【详解】过点分别作、，设、确定平面． 因为、所成角为，所以、所成锐角为，相邻的钝角为． 先考虑． 设过点的直线与、所成角均为． 过点作，垂足为，则是直线在平面内的射影（若在平面内，则取）． 设直线与平面所成的角为，与、所成的锐角分别为、． 由斜线与射影的关系，得 因为，所以，进而． 因此必沿着、所成锐角或钝角的角平分线，对应地或． 反过来，在上述任一角平分线方向上取射影，设它与、所成的锐角同为． 此时与两直线所成角均为的条件为 固定：当时无解； 当时，，只有平面内的条直线； 当时，，有关于平面对称的条直线． 因此，锐角平分线方向（）在时给出条、在时给出条； 钝角平分线方向（）在时给出条、在时给出条． 当时，所求直线须同时垂直于、，即垂直于平面，恰有条． 综上，恰有条直线的情形只能是． 12. 防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且四只碗可自行调整摆放且互不重叠，并正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为________．（结果取整数） 【答案】20 【解析】 【分析】结合半球的知识计算出正确答案. 【详解】依题意可知，防蝇罩的半径至少为. 则防蝇罩与桌面接触处半径至少为． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 异面直线所成角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据异面直线的定义，异面直线所成角的范围是. 14. 已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：若，，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C：若，则都有 ，又，则使得， ∴，又，∴，故C正确； 对于D：若，，则或或或与相交但不垂直，故D错误. 故选：C 15. 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据祖暅原理，判断“”与“”之间的逻辑推理关系即可. 【详解】根据祖暅原理可知，当时，一定有成立， 反之，当成立时，不一定有成立， 比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，，不一定相等， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 16. 已知正方体和点，有两个命题： 命题甲：存在条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角都相等； 命题乙：存在个过点的平面，满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等； 则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 的大小关系与点的位置有关 【答案】B 【解析】 【分析】作出正方体四条体对角线，四条体对角线与正方体的每条棱所成角都相等，得到，从正方体一个顶点出发得到正三棱锥，得到与正方体的每个面所成锐二面角都相等的平面，由对称性可得，得到结论. 【详解】正方体有四条体对角线， 四条体对角线与正方体的每条棱所成角都相等，夹角的正切值为， 故过点可以作4条直线，4条直线分别与4条体对角线平行， 由于正方体只有4条体对角线， 故， 过正方体的一个顶点可以作出正三棱锥，比如， 可以证明平面与正方体的三个平面，平面，平面的锐二面角相等， 设平面与平面的夹角为， 相交于点，连接，则即为平面与平面的夹角， ， 可以求出平面与平面，平面的锐二面角的正切值均为， 根据面面平行，故平面与正方体的每个面所成锐二面角都相等， 从8个顶点可以作出8个类似的正三棱锥， 得到八个平面，分别为平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面， 但平面，平面，平面，平面分别与平面，平面，平面，平面平行， 综上，过点共可以作出4个平面满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等； 故， 故选：B 【点睛】关键点点睛，正方体中，四条体对角线与正方体的每条棱所成角都相等，从一个顶点出发的正三棱锥，可得到平面与四个平面平行的平面与正方体的每个面所成锐二面角都相等，结合对称性可得结论. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 如图所示，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是弧的中点． （1）求该圆柱的表面积和体积； （2）求直线与圆柱底面所成角的正弦值． 【答案】（1）圆柱表面积，圆柱体积. （2）直线与圆柱底面所成角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）由圆柱的表面积以及体积公式即可求解； （2）由直线与平面所成角为直线与其在平面内射影的夹角，在下底面的射影为，由勾股定理，再由即可求解. 【小问1详解】 由轴截面为边长为的正方形，得圆柱底面半径，高，母线长， 圆柱表面积. 圆柱体积. 【小问2详解】 直线与平面所成角为直线与其在平面内射影的夹角， 在下底面的射影为，则底面，. 上底面内，为直径，为弧中点，故， 因上底面，平面，故，则. 直线与圆柱底面所成角为， 则，又平面平面， 所以直线与圆柱底面所成角的正弦值为． 18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为、的中点． （1）求证：， （2）求二面角的大小． 【答案】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，又平面， 所以，又，，AB，平面， 所以平面，又平面， 所以.   （2）二面角的大小为. 【解析】 【分析】（1）先求证，，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明即可； （2）以A为原点建系，计算平面，平面的法向量，利用面面角的向量求法可求夹角大小. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为直三棱柱中，，所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 而平面的一个法向量为， 设二面角为， 则，结合图象可知， 所以， 所以二面角的大小为. 19. 如图所示，点是平面外一点，平面，，点是线段的中点． （1）求证：； （2）问：线段上是否存在定点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∵平面，平面，平面平面， ∴， （2）存在，点为的中点. 证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵点是线段的中点，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 因为，，所以， 由（1），所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， ∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面，∴平面. 【解析】 【分析】（1）由条件结合线面平行性质定理即可证明； （2）取的中点，连接，可以证明平面，由此即可得解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略 20. 长方体中，，，，分别为棱，上的动点，且， （1）当时，求直线与直线所成角的大小； （2）当，且时，求点到平面的距离， （3）当，时，求从点经此长方体表面到达点的最短距离． 【答案】（1）. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线的夹角. （2）用点到平面的距离公式求解. （3）将立体几何展开后求值并进行对比. 【小问1详解】 在长方体中，以为原点，、、方向分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 因为，，当时，长方体是正方体， ，，，， ，，所以，所以直线与直线所成角为. 【小问2详解】 当，且时，各点的坐标分别为： 、、、 ，，， 设平面的一个法向量为，则： ，取，则， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 当，时, ，， 若将平面旋转到平面，则路径长度的平方为，在处取到最小值为5， 若将平面旋转到平面，则路径长度的平方为，在处取到最小值为5， 若将平面旋转到平面，则路径长度的平方为，在处取到最小值为9， 经过对比，点经此长方体表面到达点的最短距离为. 21. 如图1，在中，，，是线段上一点，且，将沿着翻折至，得到如图2所示的三棱锥，记二面角的大小为； （1）求的长度； （2）当时，求直线与平面所成角的正切值； （3）当时，在翻折的过程中：求线段长的取值范围． 【答案】（1）1； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角函数值进行求解； （2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，得到即为直线与平面所成角，求出各边长，； （3）如图，记点在平面上的投影为，表达出，因为，所以，故. 【小问1详解】 ，，⊥， 故； 【小问2详解】 当时，平面⊥平面，交线为， 过点作⊥交的延长线于点，连接， 由于平面，故⊥平面，则即为在平面上的投影， 所以即为直线与平面所成的角， 其中平面，故⊥， 由于，故，， 由勾股定理得，， 直线与平面所成角的正切值为； 【小问3详解】 如图，当时，在翻折的过程中，点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，其中圆心角为， 记点在平面上的投影为，连接， 则⊥，又⊥，故即为二面角的平面角， 故，则，， 过点作⊥，并交于点，则，， 则， ， ， 因为，所以，， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中考试 高二数学试卷 考生注意： 1．答题卷，考生务必将姓名、班级、考号等在指定位置填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟，请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上． 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 半径为1的球的表面积为________. 2. 若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 3. 已知，是两个不同的平面，，，且，则________（用集合符号表示）． 4. 如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是______ 5. 已知空间两个角与，若，，，则______. 6. 水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是________． 7. 一圆锥的侧面展开图为一圆心角为的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为________． 8. 已知正四棱锥的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为_____ 9. 斜边长为的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为______． 10. 已知平面与平面间的距离为3，定点，设集合，则表示的曲线的长度为________． 11. 已知异面直线，所成角为，为空间一定点，过点且与，所成角都是的直线有且仅有条，则的范围为________． 12. 防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且四只碗可自行调整摆放且互不重叠，并正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为________．（结果取整数） 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 异面直线所成角的范围是（ ） A. B. C. D. 14. 已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 15. 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 16. 已知正方体和点，有两个命题： 命题甲：存在条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角都相等； 命题乙：存在个过点的平面，满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等； 则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 的大小关系与点的位置有关 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 如图所示，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是弧的中点． （1）求该圆柱的表面积和体积； （2）求直线与圆柱底面所成角的正弦值． 18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为、的中点． （1）求证：， （2）求二面角的大小． 19. 如图所示，点是平面外一点，平面，，点是线段的中点． （1）求证：； （2）问：线段上是否存在定点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 20. 长方体中，，，，分别为棱，上的动点，且， （1）当时，求直线与直线所成角的大小； （2）当，且时，求点到平面的距离， （3）当，时，求从点经此长方体表面到达点的最短距离． 21. 如图1，在中，，，是线段上一点，且，将沿着翻折至，得到如图2所示的三棱锥，记二面角的大小为； （1）求的长度； （2）当时，求直线与平面所成角的正切值； （3）当时，在翻折的过程中：求线段长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $