精品解析：北京理工大学附属中学2026-2027学年第一学期高二期中练习数学试题

2026—2027学年度第一学期高二年级数学学科期中练习 考试时间：90分钟 一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，且， 所以，就是. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 3. 已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】当时，直线：，整理得，， 直线：，整理得，， 此时， 故“”可以推导出“”； 因为直线：和直线：平行， 当时，直线：，直线：，则直线和直线重合，不符合题意， 当时，整理可得，，解得， 故“”可以推导出“”， 综上所述，“”是“”的充要条件. 4. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算，结合向量加法的三角形法则及共线向量定理，将逐步转化为基底向量、、的线性组合． 【详解】解：∵， ∴， 则． 5. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆的方程作差求出公共弦所在直线方程，再由题中条件，得到公共弦所在直线过点，由此列出方程求解，即可得出结果. 【详解】由与两式作差，可得两圆的相交弦所在的直线为， 又圆的标准方程为，记圆心为； 因为圆平分圆的圆周，所以公共弦所在直线过点， 因此，所以. 故选：. 6. 如图，在直三棱柱中，，，，，点，分别是棱与的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 如图所示，连接，.在直三棱柱中，平面，平面，则； 又平面，平面，则，， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在中，，，则. 在中，，，则. 在矩形中，，，则. 在中，，，则. 在中，，. 所以，即. 故点到直线的距离为. 7. 已知圆：，与圆：恰有三条公切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得两圆外切，建立等式求得的值. 【详解】由题意可知圆与圆外切， 圆心，半径，圆心，半径， 由，可得， 解得. 8. 当直线：被圆：截得的弦长最短时，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求直线定点坐标，由此可求得直线与圆截得弦长最短时直线的斜率，即可求得的值. 【详解】直线方程可化为， 令，解得， 所以直线过定点， 圆心，，当直线时，截得的弦长最短， 所以，即，所以. 9. 圆关于直线对称的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过求圆的圆心和半径求得正确答案. 【详解】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径. 设圆的圆心为， 则，解得， 圆的半径为，所以圆的标准方程为. 故选：A 10. 如图，已知棱长为的正方体，点为的中点，点为底面上的动点，则以下结论正确的是（ ） ①存在点满足 ②存在唯一的点满足 ③满足的点的轨迹长度为 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设动点的坐标；对于①，利用对称性，结合两点间线段最短，即可得出的取值范围；对于②，利用向量垂直的坐标表示，由得到向量，结合的坐标范围，分析方程的解的个数；对于③，利用向量垂直的坐标表示，由得，推导的坐标满足的方程，确定在底面的轨迹，计算轨迹长度. 【详解】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为，则，，， 底面上所有点的坐标均为；设动点，其中，. 对于①，点关于平面的对称点为， 由对称性可得，则； 根据两点之间线段最短，， 即不存在点满足，故①错误； 对于②，，； 若，则， 即，整理得，解得，； 即存在唯一的点满足，故②正确； 对于③，，； 由得，则，化简得； 结合，，可得； 即点的轨迹为线段，端点为和， 则点的轨迹长度，故③正确. 综上所述，②③正确. 二．填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知复数满足，则的模为________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 所以. 12. 一条光线从点射出，被轴反射后经过圆的圆心，则入射光线所在的直线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将圆的一般方程配方为标准形式求得圆心坐标，再利用光的反射对称性确定入射光线上的对称点，最后结合已知入射点坐标推导直线方程． 【详解】解：对圆的一般方程进行配方，可得， 则圆心的坐标为， 根据光的反射性质，入射光线与反射光线关于反射面轴对称， 因此反射光线经过的点关于轴的对称点必然在入射光线所在直线上， 所以的坐标为， 因为入射光线经过点和点， 所以直线斜率为， 因此入射光线所在的直线方程为，整理为一般式可得． 13. 人教版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为．现已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面的方程可得法向量，利用线面角的向量公式计算即可. 【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量， 又直线的方向向量，设直线与平面所成角为，， 所以，则. 故答案为：. 14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为（，），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时，则直线：被动点所形成的轨迹截得的弦长为________． 【答案】 【解析】 【分析】设动点M的坐标，根据给定的距离比列方程化简得到阿波罗尼斯圆的轨迹方程，再联立直线与圆的方程计算截得的弦长. 【详解】设动点，由题意可知，点到两定点、的距离之比为，即， 所以 ，即 ，化简得 ，即 ，可得该圆的圆心为，半径， 将直线代入圆的标准方程，得 ， 解得，即直线与圆的两个交点为、， 由于两点在垂直于轴的直线上，所以弦长为. 15. 已知点，，直线：与线段有公共点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的定点，再分类讨论直线的斜率存在与不存在，即可求出的取值范围. 【详解】由，整理得， 令，解得， 则直线过定点， 直线的斜率；直线的斜率， 如图所示，若直线的斜率不存在，则不符合题意， 若直线的斜率存在，设直线的斜率为，如图所示： 则，即， 解得， 故的取值范围是. 三．解答题：本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知的顶点，若边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，根据已知列出方程组，求解即可得出答案； （2）根据已知求出直线的方程，进而联立方程得出的坐标，代入两点式方程化简即可得出答案. 【小问1详解】 设，则， 由已知可得， 解得， 所以点的坐标为. 【小问2详解】 由已知可设直线的方程为， 又点A在直线上，所以有，解得， 所以，直线的方程为. 联立直线与的方程可得， 点坐标为. 将坐标代入两点式方程有， 整理可得，. 17. 已知，，在圆上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线，且与圆交于点、，，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程，代入三个已知点的坐标建立方程组，求解得到圆心坐标与半径，即可得到圆的标准方程. （2）先计算直线的斜率，根据平行关系设出直线的方程，结合圆心角为的几何性质，利用点到直线的距离公式建立方程求解直线参数，即可得到直线方程. 【小问1详解】 设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径. 因为，，在圆上， 所以，解得. 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 直线的斜率为. 因为直线，故直线的斜率为， 设直线的方程为，即. 已知圆心，半径，由，，可知为等腰直角三角形. 根据圆的弦长性质，圆心到直线的距离为等腰直角三角形斜边上的高，因此. 又圆心到直线的距离为， 所以，即，解得或. 将代入距离公式，得，满足直线与圆相交的条件. 故直线的方程为或. 18. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，，且底面，点，分别在棱，上． （1）若是的中点，证明； （2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积． 【答案】（1）四边形是正方形，平面，，，； 以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意可知，，，，则，，，； 是的中点，. 在棱上，设，其中； ，； ，得，即. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明异面直线的垂直； （2）由二面角的余弦值和平面，解得点的坐标，可求四面体的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，得； 在棱上，设，其中，则. 由（1）可得，，其中，则. 平面为平面，平面的一个法向量为. 平面，，即. ，. 平面为平面，平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则，得； 令，得，，则平面的一个法向量为. 设二面角的平面角为，则，解得； ，. ，得点到平面的距离. ，即四面体的体积为. 19. 现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”．若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”．已知圆：． （1）若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； （2）已知圆：，且，均为圆“”的“牵连点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线：与交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）轨迹方程为，该轨迹是以为圆心，为半径的圆 （2）（i） （ii）存在，坐标为 【解析】 【分析】（1）根据题中的定义代入求解即可； （2）（i）先根据题意找到的轨迹，再根据两圆的交线求直线方程的方法求解； （ii）先找出圆的方程，设出点坐标，将题意的角平分线条件进行转化，利用联立方程组与韦达定理代入求解。 【小问1详解】 设点的坐标为，圆的圆心为，半径， 设圆上一动点，因为点为圆外的定点，所以， 则的最大值为，最小值为，即由定义得， 解得，则点的轨迹方程为，该轨迹是以为圆心，为半径的圆. 【小问2详解】 已知圆方程为，圆心，半径， 由于点同时是圆的“上进点”，则的轨迹为圆：， 因为也是圆的“上进点”，同理得，则的轨迹为圆：. （i）由于，均为圆“”的“牵连点”．所以，为圆与圆的两个交点， 将两圆方程相减化简得，即直线的方程为. （ii）联立方程组，解得交点坐标为与. 圆是以线段为直径的圆，圆心为的中点，， 所以圆的方程为， 假设存在轴上的点满足条件， 设交点，，将直线代入圆方程整理得， 由于直线与圆交于两点，即恒成立， 由韦达定理得，， 由于，即点，在轴异侧，要满足题意，即， ， 将，代入化简得， 代入得，即， 由于等式对不断变化的恒成立，即，解得， 当时显然也满足题意. 故存在点满足题意，坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期高二年级数学学科期中练习 考试时间：90分钟 一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 6. 如图，在直三棱柱中，，，，，点，分别是棱与的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆：，与圆：恰有三条公切线，则（ ） A. B. C. D. 8. 当直线：被圆：截得的弦长最短时，则实数（ ） A. B. C. D. 9. 圆关于直线对称的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知棱长为的正方体，点为的中点，点为底面上的动点，则以下结论正确的是（ ） ①存在点满足 ②存在唯一的点满足 ③满足的点的轨迹长度为 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二．填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知复数满足，则的模为________． 12. 一条光线从点射出，被轴反射后经过圆的圆心，则入射光线所在的直线方程为________． 13. 人教版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为．现已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角是__________． 14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为（，），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时，则直线：被动点所形成的轨迹截得的弦长为________． 15. 已知点，，直线：与线段有公共点，则的取值范围是________． 三．解答题：本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知的顶点，若边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程． 17. 已知，，在圆上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线，且与圆交于点、，，求直线的方程． 18. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，，且底面，点，分别在棱，上． （1）若是的中点，证明； （2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积． 19. 现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”．若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”．已知圆：． （1）若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； （2）已知圆：，且，均为圆“”的“牵连点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线：与交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $