精品解析：广东珠海市桃园中学2026-2027学年八年级上学期期中质量监测数学试卷

桃园中学2026-2027学年度第一学期 八年级期中质量监测数学试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：桃，园，中，学四个字中，只有中字沿竖直中线折叠，左右两部分能够重合，是轴对称图形. 2. 在中，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和等于，结合三个内角相等的条件，算出每个内角都是，根据三个角都相等的三角形是等边三角形判定即可． 【详解】解：，， ， 是等边三角形． 3. 下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，分别对A、B、C、D各选项的线段进行判断即可得答案． 【详解】解：A、∵， ∴不能组成三角形，故A错误． B、∵， ∴不能组成三角形，故B错误． C、∵， ∴不能组成三角形，故C错误． D、∵， ∴能组成三角形，故D正确． 4. 唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 如图，点B、C、D在同一直线上，若，，，则等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题关键．由全等的性质可知，，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 6. 命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为（ ） A. 两个三角形的对应边相等 B. 两组对应边相等的两个三角形全等 C. 对应边相等的两个三角形全等 D. 对应边相等的两个三角形不全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题，原命题是条件语句“如果两个三角形全等，那么对应边相等”，其逆命题需交换条件和结论，即“如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等”. 【详解】解：原命题可表述为“若两个三角形全等，则对应边相等”， 逆命题为“若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等”． 故选：C． 7. 如图，，添加下列条件仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，，故A选项不符合题意； 当时，，故B选项不符合题意； 当时，则，，故C选项不符合题意； 当，，不能判定；故D选项符合题意； 故选D． 8. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法．上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可得，，再结合即可推出． 【详解】解：由作图可得，， ∵， ∴， ∴判定的依据是． 9. 如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的规律探索，根据题意，可以画出相应的图形，推出前六次小球碰到球桌边时小球的位置，进而得到规律：从第一次碰撞开始，每六次碰撞为一个循环，小球的位置依次为，，，，，，据此求出2026除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是， ……, 以此类推可知，从第一次碰撞开始，每六次碰撞为一个循环，小球的位置依次为，，，，，， ∵， ∴小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是． 故选：D． 10. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（ ） ①的面积与的面积相等；②；③． A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断③． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴的面积与的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），故①正确； ∵是角平分线， ∴， ∵为高， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵为高， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即，故③正确； 综上，①②③都是正确的． 故选：B． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这应用了___________的原理． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，利用三角形不变形即三角形具有稳定性，从而可得答案． 【详解】解：学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这样做的数学原理是利用了三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性的实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解题的关键． 12. 三角形三条________（填写“高”、“中线”或“角平分线”）的交点叫做三角形的重心． 【答案】中线 【解析】 【分析】此题考查三角形重心的定义，熟记定义是解题的关键． 根据三角形重心的定义解答． 【详解】解：三角形的三条中线的交点叫三角形的重心． 故答案为：中线． 13. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质并能运用求解． 先利用垂直平分线的性质得出，结合，可得，再结合，可求得的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：． 14. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为________________． 【答案】或 【解析】 【详解】解：①当角是这个等腰三角形的顶角时，则它的顶角为； ②当角是这个等腰三角形的底角时，则它的顶角为； 综上，它的顶角为或． 15. 如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ___________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：连接， ∵， ∴垂直平分， ， ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、、三点共线，且时，最小， 过点作于点交于点，如图所示： ∴当点在点处，点Q在点E处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 三．解答题一（每小题7分，共21分） 16. 如图，点A、D、B、E在一条直线上，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【解析】 【分析】根据线段的和差得到，由平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理证得结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等． 17. 已知的三边长分别为，其中． （1）当为偶数时，求的值； （2）当为等腰三角形时，求的周长． 【答案】（1） 4或6 （2） 12 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，结合为偶数即可得到答案； （2）由题意可得或，再结合三角形的三边关系分类求解即可． 【小问1详解】 解：∵的三边长分别为，其中， ∴， 即， ∴当为偶数时，或6； 【小问2详解】 解：当为等腰三角形时， ∵， ∴或， 当时，三角形的三边为2，2，5， 由于，此时不能构成三角形，故此种情况须舍去； 当时，三角形的三边为5，5，2，满足三角形的三边关系， 此时的周长． 18. 如图，灯塔在海岛的北偏西方向，一条船上午8时从海岛出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛处，此时，测得灯塔在海岛处的北偏西方向． （1）求海岛到灯塔的距离； （2）已知在以灯塔为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续向正北方向航行，当航行至灯塔的正东方向时，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】（1）处到灯塔的距离为海里； （2）有触礁的危险， 理由如下： 过作交的延长线于点， （海里），， （海里）， ， 若该船继续向正北方向航行会有触礁的危险． 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得，，（海里）， ， ， （海里）， 故处到灯塔的距离为海里； 【小问2详解】 略 四．解答题二（每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． （1）在图中作出关于y轴的对称图形（不写作法） 填空：点的坐标为______，点的坐标为______，点C关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为）对称的点的坐标______． （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； ；； （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可；根据点的位置，直接写出点的坐标即可；根据轴对称的性质，确定的位置，写出坐标即可； （2）利用割补法求出的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：． （2）若，求证：直线垂直平分． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2） 连接， 证明：，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴点在的垂直平分线上， 又， ∴点在的垂直平分线上， 垂直平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（如）以及垂直平分线的性质是解题的关键． （1）通过角的和差关系得到，再结合已知条件用ASA证明，从而证得． （2）利用和推出是的垂直平分线，结合全等三角形的性质得到，再结合，证明垂直平分． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 在中，，点为上一点． （1）如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________； （2）在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边． ①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值； ②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形性质及三角形内角和定理求解即可； （2）①先利用等边三角形性质和三角形内角和定理求出的度数，再数形结合表示出求值即可； ②先由等边三角形性质，结合手拉手模型证明，然后由三角形内角和定理以及等腰三角形的性质分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ∴ ， 在中，，， ∴； 【小问2详解】 解：①∵是等边三角形， ∴， ， ， 在中，，，则， ； ②解：和均为等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 为等腰三角形， 分三种情况讨论： 当时，； 当时，，则； 当时，，则， 在中，，与三角形的内角和定理相悖，故该情况不成立； 综上所述，当为等腰三角形时，的度数为或． 五．解答题三（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知中，，点在上，连接． （1）设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； （2）如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为，求的长． 【答案】（1）证明：①∵，，平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②如图，在上取一点，使，连接， 由（1）知， ∴是等边三角形， ∴，， ， ，， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据角平分线的定义得，结合证明是等边三角形，推出，即可证明；②在上取一点，使，连接，构造等边，再证，推出 ，可得 ； （2）连接，作于点， 交的延长线于点N，由轴对称的性质得，，，，根据三角形面积公式计算出，根据等腰三角形三线合一推出 ，，进而证明是等腰直角三角形，推出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，作于点， 交的延长线于点， 点与关于射线对称， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）【模型呈现】 如图1，，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到_______，_______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． （2）【模型应用】 ①如图2，在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的两个动点，以为直角边作等腰直角三角形，交轴于点，斜边交轴于点．若将沿着折叠，点恰好落在轴的点处，求证：点是的中点； ②如图3，点在轴负半轴上且，分别以，为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形和，且，连接交轴于点．当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出的长度． 【答案】（1） （2）解：①证明：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵将沿着折叠， ∴， ∴， ∴， ， 又 ，， ， ， ∴点是的中点； ②不变，3 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质，直接作答即可； （2）①由折叠的性质可得 ，由“”可证，可得，可得结论；②由“”可证，可得，由可证 ，可得 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：①略 ②的长度不会改变，理由如下： ∵， ∴， 过点作轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桃园中学2026-2027学年度第一学期 八年级期中质量监测数学试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3. 下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（     ） A. B. C. D. 4. 唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，点B、C、D在同一直线上，若，，，则等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为（ ） A. 两个三角形的对应边相等 B. 两组对应边相等的两个三角形全等 C. 对应边相等的两个三角形全等 D. 对应边相等的两个三角形不全等 7. 如图，，添加下列条件仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法．上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（ ） ①的面积与的面积相等；②；③． A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①③ 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这应用了___________的原理． 12. 三角形三条________（填写“高”、“中线”或“角平分线”）的交点叫做三角形的重心． 13. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为________． 14. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为________________． 15. 如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ___________________ ． 三．解答题一（每小题7分，共21分） 16. 如图，点A、D、B、E在一条直线上，，求证：． 17. 已知的三边长分别为，其中． （1）当为偶数时，求的值； （2）当为等腰三角形时，求的周长． 18. 如图，灯塔在海岛的北偏西方向，一条船上午8时从海岛出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛处，此时，测得灯塔在海岛处的北偏西方向． （1）求海岛到灯塔的距离； （2）已知在以灯塔为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续向正北方向航行，当航行至灯塔的正东方向时，是否有触礁的危险？请你说明理由． 四．解答题二（每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． （1）在图中作出关于y轴的对称图形（不写作法） 填空：点的坐标为______，点的坐标为______，点C关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为）对称的点的坐标______． （2）求的面积． 20. 如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：． （2）若，求证：直线垂直平分． 21. 在中，，点为上一点． （1）如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________； （2）在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边． ①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值； ②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 五．解答题三（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知中，，点在上，连接． （1）设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； （2）如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为，求的长． 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）【模型呈现】 如图1，，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到_______，_______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． （2）【模型应用】 ①如图2，在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的两个动点，以为直角边作等腰直角三角形，交轴于点，斜边交轴于点．若将沿着折叠，点恰好落在轴的点处，求证：点是的中点； ②如图3，点在轴负半轴上且，分别以，为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形和，且，连接交轴于点．当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $