精品解析：北京市第十五中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

北京十五中2026—2027学年度第一学期期中试卷 九年级数学 注意事项 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，既是轴对称又是中心对称的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形、中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）． A. 2 B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，且． 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义． 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴其图象的顶点坐标为． 4. 已知的半径为4，若点O到点P的距离为5，则点P（ ） A. 在上 B. 在内 C. 在外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意知，的半径，点到圆心的距离， ∵， ∴点在外． 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 三点可以确定一个圆 C. 相等的两条弦所对的弧相等 D. 直径是圆中最长的弦 【答案】D 【解析】 【分析】可先依据圆的直径性质判断D选项，再逐一验证其余选项． 【详解】解：A. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故A错误． B. 不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故B错误． C. 在同圆或等圆中，相等的两条弦所对的优弧和劣弧分别相等，故C错误． D. 直径是圆中最长的弦，该命题正确． 6. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， 平移后的解析式为， 故选：． 7. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，根据旋转的性质得出相等的角和边，再利用三角形内角和定理及角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论： ①；②； ③若为任意实数，则有； ④点在抛物线上时，方程的两根为，，则． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴公式判断①；根据时的函数值及判断②；根据函数最小值性质判断③；根据抛物线的对称性求出方程的两根并计算判断④． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向上， ， 对称轴为直线， ，即， ，故①正确； 当时，， ， ， ， ， ，故②正确； 当时，取得最小值， 对于任意实数，有， ， ，故③正确； 点在抛物线上，方程的两根为，， ∴二次函数与直线的一个交点为， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴二次函数与直线的另一个交点为，即， ∴，故④错误； 综上，正确的个数是3个． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 请写出一个开口向下，且经过点的二次函数表达式：_______________________． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】需同时满足两个条件：二次函数开口向下即二次项系数为负，函数经过点即x=0时函数值为3，据此构造符合要求的表达式即可. 【详解】解：∵二次函数图像开口向下， ∴二次项系数， ∵函数图像经过点， ∴当时，，即函数的常数项为3， ∴可选取任意满足的数值构造函数，例如取，得到符合要求的表达式． 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为： 11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 12. 已知某扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为_________cm²（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】题干给出扇形的圆心角度数与半径长度，可直接代入扇形面积的角度制公式求解． 【详解】解：∵角度制下，圆心角为、半径为的扇形面积公式为， ∴将，代入公式，得 ． 13. 如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么__________． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，先确定点D在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】解：连接，则， ∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， ∴点D在该量角器所在的圆上， ∴， 故答案为：55． 14. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2，若设道路的宽为xm，则所列的方程为______． 【答案】（32-2x）（20-x）=570 【解析】 【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程． 【详解】设道路的宽为xm，根据题意得：（32-2x）（20-x）=570， 故答案是：（32-2x）（20-x）=570． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而列出方程． 15. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： x … 2 … y … m 0 c … 关于的方程的解为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数对称性，由点和点纵坐标相同，求得对称轴，再利用对称轴求点的对称点，从而得到方程的解． 【详解】解：由二次函数可知，当时，，故点在函数图象上． 由表可知，当时，，故点也在函数图象上． 点和点纵坐标相同， ∴函数图象的对称轴为直线． ∵点在函数图象上，其关于对称轴的对称点为， ∴当时，． 因此方程的解为或． 故答案为：，． 16. 如图，在中，若，，，点E是的中点，将绕点A逆时针旋转得到，连接，那么 （1）边上的高等于____________________； （2）的面积等于____________________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】连接，延长到点，使，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，过点作交于点，根据旋转的性质得到为等边三角形，从而得到，再证得，得到对应边的长度，再解直角三角形求出的长度，根据平行线间垂线段相等求出的长度，从而算出的高进行求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长到点，使，连接， 过点作的垂线，交于点，交于点， 过点作交于点； ∵绕点逆时针旋转至， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵，．点为的中点， ∴， ∴在中，， ∴， 解得， 在中，， ∴， 解得， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， 则， ∴， 边上的高等于； 的面积等于． 三、解答题（共68分，第题，每题5分，第题，第28题，每题6分，第题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】利用一元二次方程求根公式计算方程的解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ． 18. 已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB． 求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=． 作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵CD∥AB， ∴∠ABP= ． ∵AB=AC， ∴点B在⊙A上． 又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据） ∴∠ABP=∠BAC 【答案】 （1）作图如下： （2）∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 【解析】 【分析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可； （2）利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：∠BPC=∠BAC，从而可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，方程的根都为正整数，求此时方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有两个实数根，得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据为正整数，得到或，分别解一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ， ∵该方程有两个实数根， ， 解得． 【小问2详解】 由（1）知：， ∵为正整数， ∴当时， 方程化为：， 解得，， ∵方程的根都为正整数， ∴此时不符合题意，舍去； 当时，方程化为， 解得，符合题意， ，此时方程的根为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）画出关于原点对称的； （3）观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标） 【答案】（1）解：如图所示即为所作， （2）解：如图所示即为所作， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，，三线相交点即为对称中心点． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：观察图形可知，与关于点中心对称． 21. 如图，是等边三角形，点D是边上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， ∵将线段绕点B逆时针旋转得到线段， ，， ， ，即， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形得到，，由旋转得到，，推出，然后证明出； （2）过点作于点，由等边三角形得到，，求出，利用勾股定理求出，然后由全等得到，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点． 是等边三角形，， ，， ， ，， 中，，， ， ∴， ，， ，， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1） （2）函数图象如下所示： （3） 【解析】 【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的y的取值范围即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 0 … 画图略； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，函数值的取值范围为． 23. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长． 【答案】的半径为米 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，连接交于，则米，米，，由垂径定理可得米，设的半径为米，则米，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，连接交于点， 由题意得，米，米，， ∴米， 设的半径为米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为米． 24. 阅读并思考： 设是关于字母的一个整式，若是方程的一个根，则整式必有一个因式，即．其中仍然是关于字母的一个整式． （1）若，则的一个根是___________； （2）设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程比较系数， 得到一元二次方程根与系数的关系： 利用上式结论解题：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求实数的值； （3）探究引申：设一元三次方程有三个根则原方程可化为，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系： 利用上式结论解题：已知方程有三个根，求的值； 【答案】（1）2 （2）3 （3）10 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元三次方程的根与系数的关系、完全平方公式的变形以及一元二次方程根的判别式，熟练掌握根与系数的关系和公式变形是解题的关键． （1）根据已知的整式因式分解形式，结合方程根的定义，直接确定方程的一个根． （2）先利用一元二次方程根与系数的关系求出和，再代入已知条件得到关于的方程，同时结合根的判别式确定的取值． （3）先根据一元三次方程根与系数的关系求出和，再利用完全平方公式的变形计算求值． 【小问1详解】 解：∵，令，则， ∴或， ∴的一个根是， 故答案为：2． 【小问2详解】 解：∵方程， ∴ ，． 又∵ ， ∴ ， 整理得， 因式分解得， 解得或． ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， ， ， ． ∴ ． 【小问3详解】 解：对于方程， ∵ 一元三次方程根与系数的关系为，，这里，，， ∴ ，． ∴ ， ． 25. 圆圆发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系． 通过测量得到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，如下表所示： 表1 直发式 x（） 0 2 4 6 8 10 16 20 … y（） 3.84 3.96 4 3.96 m 3.64 2.56 1.44 … 表2 间发式 x（） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 … y（） 3.36 n 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 3.20 3 … 根据以上信息，回答问题： （1）表格中______，______； （2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式； （3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，请你比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）3.84，2.52 （2） （3），理由如下： 当时，， 解得（舍去），， ∴“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为； “间发式“模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线， 由已知表2中的数据及抛物线的对称性可知：“间发式“模式下，这条抛物线的顶点坐标为， ∴设这条抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴这条抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据直发式”模式下，表1数据，可知对称轴为直线，根据对称性即可求得的值，根据在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，待定系数法求直线解析式，进而将代入即可求解; （2）根据题意设抛物线解析式为，将点代入，待定系数法求二次函数解析式即可求解; （3）令，即，得出，设抛物线解析式为，将点代入，得出，令，即，得出，即可求解． 【小问1详解】 由抛物线的对称性及已知表1中的数据可知：； 在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线， 设这条直线的解析式为，把代入， 得，解得：， ∴这条直线的解析式为， 当时，， 表格2中，； 故答案为：3.84，2.52； 【小问2详解】 由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知： “直发式“模式下，抛物线的顶点为， ∴设此抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴的交点为． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）已知直线与抛物线交于两点，其中点是右侧交点． ①求点的横坐标； ②过点，作轴的垂线，交抛物线于点（不与，重合），交直线于点．已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，试求的取值范围． 【答案】（1）， （2）①点的横坐标为；②的取值范围是或． 【解析】 【分析】（1）把点，的坐标代入即可求出答案； （2）①联立直线和二次函数的解析式即可求出答案；②分和两种情况画图并进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，与轴的交点为． ∴， 解得，， 【小问2详解】 解：由（1）可得，与联立得到， ， 解得或， ∵点是右侧交点． ∴点的横坐标为； ②当时，如图1，过点，作轴的垂线，交抛物线于点（不与，重合），交直线于点．则，， 当时,，对称轴为直线， ∵在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴，解得， ∴， 当时，如图2，由图像可知，在点从点运动到点的过程中，的长一直随的长的增大而增大， 综上可知，的取值范围是或． 27. 在中，于点，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当时，补全图形，则的长为________； （2）如图2，取的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 如图所示， （2） ， 证明：取的中点M，连接，延长至N，使，连接，延长交于P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先作出图形，取的中点M，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理即可求解； （2）取的中点M，连接，延长至N，使，连接，延长交于P，由等腰三角形的判定及性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，等量代换得，由可判定，由全等三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 解：取的中点M，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质等；掌握旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：点关于直线对称后得到点，再将点关于直线对称后得点．则称点是点关于点的“双称点”． （1）点关于原点的双称点是                        ． （2）半径为1，、均为圆上任意一点，是直线上一点，若点是点关于点的双称点，求点横坐标的取值范围． （3）点，半径为1，，均为上任意一点，直线与轴、轴交于点、．若上所有点都是点关于点的双称点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“双称点”的概念求解即可； （2）如图，由半径为1，P、Q均为圆上任意一点，点M是点P关于点Q的“双称点”，可得M的轨迹为以O为圆心，半径为1，与以O为圆心，半径为3的圆环（包含两圆边界），再进一步解答即可； （3）由（2）得：点，半径为1，P、Q均为上任意一点，点P关于点Q的“双称点”的轨迹是圆环，轨迹为以N为圆心，半径为1，与以N为圆心，半径为3的圆环（包含两圆边界），再分四种情况，利用数形结合的方法即可求解． 【小问1详解】 解：点关于直线的对称点为，点关于的对称点为， ∴点关于原点的双称点是； 【小问2详解】 解：如图，半径为1，P、Q均为圆上任意一点，点M是点P关于点Q的“双称点”， ∴点M的轨迹为以O为圆心，半径为1，与以O为圆心，半径为3的圆环（包含两圆边界）， ∵M是直线上的一点，过M作x轴的垂线，垂足为E， ∴， ∴， 过作轴于点H，过作轴于点G，过作轴于点J， 同理可得：，， ∴点M横坐标的取值范围为：或； 【小问3详解】 解：由（2）得：点，半径为1，P、Q均为上任意一点，点P关于点Q的“双称点”的轨迹是圆环，轨迹为以N为圆心，半径为1，与以N为圆心，半径为3的圆环（包含两圆边界）， ∵， ∴， ∵上所有点都是点P关于点Q的“双称点”， 如图，当E在圆环的外圆上时， 此时； 如图，当点O在内圆上时， 此时； 如图，当E在圆环的内圆上时， 此时； 如图，当点F在外圆上时，大与x轴最左边的交点为K，连接， 即由外圆的半径为3可得， 同理可得：， ∴， ∴， 综上，当上所有点都是点关于点的“双称点”时，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十五中2026—2027学年度第一学期期中试卷 九年级数学 注意事项 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，既是轴对称又是中心对称的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）． A. 2 B. C. D. 不存在 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径为4，若点O到点P的距离为5，则点P（ ） A. 在上 B. 在内 C. 在外 D. 不能确定 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 三点可以确定一个圆 C. 相等的两条弦所对的弧相等 D. 直径是圆中最长的弦 6. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论： ①；②； ③若为任意实数，则有； ④点在抛物线上时，方程的两根为，，则． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 请写出一个开口向下，且经过点的二次函数表达式：_______________________． 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 12. 已知某扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为_________cm²（结果保留）． 13. 如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么__________． 14. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2，若设道路的宽为xm，则所列的方程为______． 15. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： x … 2 … y … m 0 c … 关于的方程的解为__________． 16. 如图，在中，若，，，点E是的中点，将绕点A逆时针旋转得到，连接，那么 （1）边上的高等于____________________； （2）的面积等于____________________． 三、解答题（共68分，第题，每题5分，第题，第28题，每题6分，第题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 18. 已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB． 求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=． 作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵CD∥AB， ∴∠ABP= ． ∵AB=AC， ∴点B在⊙A上． 又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据） ∴∠ABP=∠BAC 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，方程的根都为正整数，求此时方程的根． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）画出关于原点对称的； （3）观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标） 21. 如图，是等边三角形，点D是边上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 22. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 23. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长． 24. 阅读并思考： 设是关于字母的一个整式，若是方程的一个根，则整式必有一个因式，即．其中仍然是关于字母的一个整式． （1）若，则的一个根是___________； （2）设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程比较系数， 得到一元二次方程根与系数的关系： 利用上式结论解题：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求实数的值； （3）探究引申：设一元三次方程有三个根则原方程可化为，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系： 利用上式结论解题：已知方程有三个根，求的值； 25. 圆圆发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系． 通过测量得到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，如下表所示： 表1 直发式 x（） 0 2 4 6 8 10 16 20 … y（） 3.84 3.96 4 3.96 m 3.64 2.56 1.44 … 表2 间发式 x（） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 … y（） 3.36 n 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 3.20 3 … 根据以上信息，回答问题： （1）表格中______，______； （2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式； （3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，请你比较和的大小，并说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴的交点为． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）已知直线与抛物线交于两点，其中点是右侧交点． ①求点的横坐标； ②过点，作轴的垂线，交抛物线于点（不与，重合），交直线于点．已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，试求的取值范围． 27. 在中，于点，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当时，补全图形，则的长为________； （2）如图2，取的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：点关于直线对称后得到点，再将点关于直线对称后得点．则称点是点关于点的“双称点”． （1）点关于原点的双称点是                        ． （2）半径为1，、均为圆上任意一点，是直线上一点，若点是点关于点的双称点，求点横坐标的取值范围． （3）点，半径为1，，均为上任意一点，直线与轴、轴交于点、．若上所有点都是点关于点的双称点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $