精品解析：北京市汇文中学2026-2027学年九年级上学期数学期中试卷

北京汇文中学教育集团2026—2027学年度第一学期 期中考试 初三年级 数学 本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一．选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 矩形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 平行四边形 【答案】A 【解析】 【详解】解：等边三角形、等腰直角三角形都不是中心对称图形，排除B、C； 矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形． 2. 反比例函数的图象一定经过的点是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由得． A．，不符合题意． B．，符合题意． C．，不符合题意． D．，不符合题意． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案； 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 4. 圆心角为的扇形的半径为，则这个扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：这个扇形的面积为： ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式． 5. 如图，以点为圆心作圆，所得的圆与直线相切的是（ ） A. 以为半径的圆 B. 以为半径的圆 C. 以为半径的圆 D. 以为半径的圆 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的判定定理，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，观察图形找出点到直线的垂线段即可． 【详解】解：由图可知， 点到直线的距离为线段的长， 当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切， 以为半径的圆与直线相切． 6. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 7. 一个二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，则这个二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键。已知对称轴为，设二次函数的解析式为，将图像中两点代入即可解得解析式. 【详解】解：由题可知，对称轴为直线， 设二次函数解析式为． 将两点代入， 得， 解得． 故这个二次函数的解析式为． 故选：D. 8. 若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的性质比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的y值越小， 点A到对称轴的距离：， 点B到对称轴的距离：， 点C到对称轴的距离：， ∵， ∴． 9. 如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．下图记录了原子滑车在该路段运行的与的三组数据、、，根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图得A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式，再根据对称轴或者顶点可求出答案． 【详解】由图得A（0，2）、B（2，1）、C（4，4），代入解析式： ，解得，则， 当时，滑车运行到最低点，所以，即， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 10. 如图，正方形的边长是，是边上一动点，连接，过点作于点，是边上另一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作点C关于直线的对称点G，过点G作交延长线于H，取的中点O，连接，由直角三角形的性质可得，由轴对称的性质可得，根据，可得当O、F、P、G四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值，证明四边形是矩形，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，作点C关于直线的对称点G，过点G作交延长线于H，取的中点O，连接， ∵，O为的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴当O、F、P、G四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为． 二．填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 11. 关于的一元二次方程有一个根为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知方程的根代入原方程，建立关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入原方程，得， 解得． 12. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，垂直于x轴，垂足为B，的面积为6，则___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查反比例函数中值的几何意义，根据值的几何意义，得到的面积为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，的面积， ∴， ∵反比例函数的图象过第一象限， ∴， ∴； 故答案为：12． 13. 如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质结合已知角度比例求出的度数，再根据等弧对等弦判定为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为____． 【答案】4 【解析】 【分析】由⊙C与∠AOB的两边分别相切，利用切线长定理,可得∠AOC＝ 45°,继而可得△OCP是等腰直角三角形,则可求得答案. 【详解】 连接CP，∵⊙C与∠AOB的两边分别相切，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，CP⊥OA，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝45°，∴OC＝OP＝4，故答案为4. 【点睛】本题主要考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，能够正确的判定△OCP是等腰直角三角形是解题关键. 15. 如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点O作OH⊥CD于H， 连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4， 在Rt△OCH中，OH＝＝3， 所以CD与AB之间的距离是3． 故答案为3． 【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 16. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1＝112°则∠α的度数是 ______． 【答案】22° 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，再根据旋转的性质得∠BAB′＝α，∠B′AD′＝∠BAD＝90°，∠D′＝∠D＝90°，然后根据四边形的内角和得到∠3＝68°，再利用互余即可得到∠α的大小． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°， ∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α， ∴∠BAB′＝α，∠B′AD′＝∠BAD＝90°，∠AD′C′＝∠ADC＝90°， ∵∠2＝∠1＝112°， 而∠ABC＝∠D′＝90°， ∴∠3＝180°−∠2＝68°， ∴∠BAB′＝90°−68°＝22°， 即∠α＝22°． 故答案为：22°． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 17. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标横坐标即为方程的解即可求解． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 18. 已知点、分别为图形和图形上的任意点，若存在点、使得，我们就称图形、为理想图形，、为关于图形、的一对理想点． （1）如图，在正方形中，点，点，已知点，，中，________与正方形为理想图形； （2）已知半径，若直线与有且只有一对理想点，则________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）根据理想图形的定义，需判断点到正方形的距离是否存在等于的情况，即计算各点到正方形的最短距离与进行比较； （2）将“有且只有一对理想点”转化为圆心到直线的距离问题，分析圆上点到直线距离的取值范围，确定圆心到直线的距离需满足的条件，进而求解． 【详解】解：（1）由题意得，正方形的顶点为， 点到正方形的最近点为， 点到正方形的最短距离为， ， 不存在点在正方形上使得， 点到正方形的最近点为， 点到正方形的最短距离为， ， 不存在点在正方形上使得， 点到边的距离为，且垂足在边上， 存在点在正方形上使得， 点与正方形为理想图形 ； （2）设圆心到直线的距离为，设直线与轴交点为点， 当时，；当时， 解得 ∴直线与坐标轴交点为和， ∴， ∴为等腰直角三角形， 原点到直线的垂线段长为该等腰直角三角形斜边上的高， ∵ ∴由等面积法可得， 若与直线有且只有一对理想点， 则圆上存在唯一的点到直线的距离等于，且该点到直线的垂足唯一， 这意味着圆上点到直线的最小距离必须等于， 圆半径， 圆上点到直线的最小距离为（当时）， ， ， ， ∴， 或． 三．解答题：本题共10个小题，共64分． 19. 用适当的方法解方程： （1） （2）； 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 20. 已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC 求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC 作法：①以点A为圆心， AB长为半径画圆； ②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点； ③连接DA并延长交⊙A于点P 点P即为所求 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明 证明：连接PC，BD ∵AB＝AC， ∴点C在⊙A上 ∵BC＝BD， ∴∠_________＝∠_________ ∴∠BAC＝∠CAD ∵点D，P在⊙A上， ∴∠CPD＝∠CAD（______________________） （填推理的依据） ∴∠APC＝∠BAC 【答案】 （1）如图所示: （2）BAC, BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 【解析】 【分析】（1）根据按步骤作图即可； （2）根据圆周角定理进行证明即可 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得； （2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式， 解得． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得或， 由（1）已得：， 则的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键． 22. 在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数的图象（不用列表），并根据图象回答下列问题： （1）当时，求的值； （2）当且时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【小问1详解】 解：当时，； 【小问2详解】 解：如图： 当时，； 当时，； ∴当且时，的取值范围为或． 23. 如图，内接于，高经过圆心． （1）求证：； （2）若，的半径为．求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的弦相等，即可求解． （2）连接，勾股定理求得，继而得出，根据三角形面积公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，连接， ∵， ∴， ∵的半径为． ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 24. 教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： （1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； （2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】（1） （2）第一次加热：；第一次降温： （3）能，计算过程如下： 由题意得，由到，共计时长为1小时25分钟，即85分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式， 当时，可得，解得， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵， ∴同学们能喝到不超过的水． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：第一次加热：是关于的一次函数，设， 将点代入，可得，解得， ∴第一次加热过程的函数解析式为； 第一次降温：是关于的反比例函数，设， 将点代入，可得，解得， 当时，则，解得， ∴第一次降温过程的函数解析式为； 【小问3详解】 略 25. 如图，是的外接圆，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）若，垂足为交于点F；求证：是等腰三角形． 【答案】 （1）证明：连接， ， ， 为圆的直径， ， ， 又， ， ， 又点在圆上， 是的切线； （2）证明：， ， ， ， ， 又， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）连接，由是的直径得到，进一步得到，再根据已知条件，且即可证明进而求解； （2）证明，再由，得到，进而得到，得到，进而得到为等腰三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定理是解决此类题的关键． 26. 已知抛物线：，经过点 （1）求抛物线的对称轴； （2）当时，点，在抛物线上，若，请直接写出的取值范围； （3）当时，已知，将点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到点，设点是抛物线上的动点，其横坐标为．若存在满足的实数，使得点的纵坐标与线段上的点的纵坐标相等，求的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入点坐标求与的关系，结合对称轴公式计算； （2）利用开口向上抛物线的函数值与点到对称轴距离的关系列不等式求解； （3）由平移得点坐标，确定线段的纵坐标范围，结合抛物线在的最值列不等式组求解． 【小问1详解】 解：将代入，得， 整理得， ∴抛物线的对称轴为， 即抛物线的对称轴为直线， 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线对称轴为直线， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越小， ∵，点到对称轴的距离为， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：由平移得，点的坐标为，即， ∴线段上的点的纵坐标的取值范围是， 由（1）知，抛物线解析式可化为，对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，抛物线在处取得最大值，在和处取得最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是， ∵存在满足的实数，使得点的纵坐标与线段上的点的纵坐标相等， ∴， 如图： 解得， 又∵， ∴的取值范围是． 27. 按要求作答 （1）已知正方形，，分别是边，上一点，连接，，，且，将绕着点逆时针旋转度，使点的对应点为点，点的对应点为点，在图中完成上述作图； （2）在（1）的基础上，运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是________． （3）如图2，正方形的边长为，点在线段上一动点（不与点重合），连接，以为边长在的上方作正方形，交线段于点，连接． ①若，求； ②若是等腰三角形且，直接写出的长________． 【答案】（1）如图所示： （2） （3）① ②或5 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）结合正方形的性质根据“边角边”证明，可得，再根据“边角边”证明，可得然后根据可得答案； （3）①连接，根据正方形的性质得，再由（1），然后设，则，接下来根据勾股定理得，求出解即可； ②作，交的延长线于点K，结合正方形的性质，根据“角角边”证明，可得，然后说明为等腰直角三角形，接下来设，则，再分两种情况：当时，，可得答案；当时，，则，最后根据勾股定理求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴． ∴，即点在同一直线上， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∴． 由（1）， ∵四边形的边长为5， ∴． 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； ②过点F作，交的延长线于点K，如图， ∵四边形和四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 设，则， ∴． 当时，， ∴， 此时点H与点D重合， ∴点E与点C重合， ∴； 当时，，则， ∴． ∵， ∴， 解得， 综上所述，若是等腰三角形，的长为或5． 28. 对于及一个矩形给出如下定义：如果上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称是该矩形的“等距圆”．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点，在轴上，，且的半径为． （1）①在，，中可以成为矩形的“等距圆”的圆心的是________； ②如果点在直线上，且是矩形的“等距圆”，求点的坐标． （2）如果点在边长为的正方形上运动，正方形的中心为，且正方形各边与直线平行或垂直，若是矩形的“等距圆”，则直接写出的取值范围________． 【答案】（1） ①，②或 （2） 或 【解析】 【分析】（1）先用垂直平分线把“到矩形四个顶点距离都相等的点”定位出来，把新定义译成圆心到该点的距离等于半径，再用勾股定理逐一检验与求坐标； （2）由正方形的中心与边的方向求出圆心到正方形上各点距离的最小值与最大值，把存在性化成关于的不等式求解． 【小问1详解】 解：∵点，矩形的顶点、在轴上． ∴，点与点的横坐标相同，即． ∵，点、分别在原点两侧． ∴． 设点到、、、四个顶点的距离都相等． ∵． ∴点在线段的垂直平分线上，即轴． ∵． ∴点也在线段的垂直平分线上，仍是轴． ∵． ∴点在线段的垂直平分线上，即直线． ∴这样的点只有点，此点设为，它是矩形两条对角线的交点． ∵． ∴点到四个顶点的距离都相等． ∴是矩形的“等距圆”等价于点在上． ∵的半径为． ∴． ①点． ∵． ∴． ∵． ∴． ∵． ∴． ∴可以成为“等距圆”圆心的是． ②设点． ∵． ∴． ∴． ∴或． ∴点的坐标为或． 【小问2详解】 解：设正方形中心为，记，并设点、分别是正方形上离最近的点与最远的顶点． ∵由（1）的推导，， ∴点在以为圆心、为半径的圆上，又在正方形上， ∵， ∴，即， ∵正方形边长为，各边与直线平行或垂直，也平行于该直线， ∴由勾股定理，， ∵点在正方形上运动，可以取到最小值与最大值之间的每一个值， ∴正方形与该圆有公共点等价于且最小值不大于， ∵， ∴，此时在正方形外， ∴，即， ∴， ∴， 或， 点取在圆与正方形的交点上，线段、、、的位置如图所示． 【点睛】考查线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理与一元二次方程；关键是用两条垂直平分线把新定义中“到四个顶点距离都相等的点”定成矩形对角线的交点，从而把“等距圆”化成，再用正方形上距离的最小值与最大值夹出的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京汇文中学教育集团2026—2027学年度第一学期 期中考试 初三年级 数学 本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一．选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 矩形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 平行四边形 2. 反比例函数的图象一定经过的点是( ) A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 4. 圆心角为的扇形的半径为，则这个扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，以点为圆心作圆，所得的圆与直线相切的是（ ） A. 以为半径的圆 B. 以为半径的圆 C. 以为半径的圆 D. 以为半径的圆 6. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 7. 一个二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，则这个二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．下图记录了原子滑车在该路段运行的与的三组数据、、，根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离满足（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长是，是边上一动点，连接，过点作于点，是边上另一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 11. 关于的一元二次方程有一个根为，则的值为________． 12. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，垂直于x轴，垂足为B，的面积为6，则___________． 13. 如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为________． 14. 如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为____． 15. 如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____． 16. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1＝112°则∠α的度数是 ______． 17. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________． 18. 已知点、分别为图形和图形上的任意点，若存在点、使得，我们就称图形、为理想图形，、为关于图形、的一对理想点． （1）如图，在正方形中，点，点，已知点，，中，________与正方形为理想图形； （2）已知半径，若直线与有且只有一对理想点，则________． 三．解答题：本题共10个小题，共64分． 19. 用适当的方法解方程： （1） （2）； 20. 已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC 求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC 作法：①以点A为圆心， AB长为半径画圆； ②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点； ③连接DA并延长交⊙A于点P 点P即为所求 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明 证明：连接PC，BD ∵AB＝AC， ∴点C在⊙A上 ∵BC＝BD， ∴∠_________＝∠_________ ∴∠BAC＝∠CAD ∵点D，P在⊙A上， ∴∠CPD＝∠CAD（______________________） （填推理的依据） ∴∠APC＝∠BAC 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 22. 在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数的图象（不用列表），并根据图象回答下列问题： （1）当时，求的值； （2）当且时，直接写出的取值范围． 23. 如图，内接于，高经过圆心． （1）求证：； （2）若，的半径为．求的面积． 24. 教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： （1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； （2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 25. 如图，是的外接圆，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）若，垂足为交于点F；求证：是等腰三角形． 26. 已知抛物线：，经过点 （1）求抛物线的对称轴； （2）当时，点，在抛物线上，若，请直接写出的取值范围； （3）当时，已知，将点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到点，设点是抛物线上的动点，其横坐标为．若存在满足的实数，使得点的纵坐标与线段上的点的纵坐标相等，求的取值范围． 27. 按要求作答 （1）已知正方形，，分别是边，上一点，连接，，，且，将绕着点逆时针旋转度，使点的对应点为点，点的对应点为点，在图中完成上述作图； （2）在（1）的基础上，运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是________． （3）如图2，正方形的边长为，点在线段上一动点（不与点重合），连接，以为边长在的上方作正方形，交线段于点，连接． ①若，求； ②若是等腰三角形且，直接写出的长________． 28. 对于及一个矩形给出如下定义：如果上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称是该矩形的“等距圆”．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点，在轴上，，且的半径为． （1）①在，，中可以成为矩形的“等距圆”的圆心的是________； ②如果点在直线上，且是矩形的“等距圆”，求点的坐标． （2）如果点在边长为的正方形上运动，正方形的中心为，且正方形各边与直线平行或垂直，若是矩形的“等距圆”，则直接写出的取值范围________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $