精品解析：广东省广州市第八十九中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

2026学年第一学期期中考试 高一年级 数学试卷 命题时间：2026.10.24 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试时间120分钟． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 若命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”的否定是，. 2. 若全集，集合，集合，则集合的子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为全集，集合，则集合， 故集合的子集个数. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由可得或， 因为集合是集合或的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数的定义域是， 所以函数中，解得， 所以函数的定义域是， 所以要使函数有意义，须使， 解得， 即函数的定义域是. 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数指数幂的运算法则直接计算即可. 【详解】 . 6. 若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，幂函数为偶函数，但在单调递减，所以A错误； 当时，幂函数为奇函数，所以B错误； 当时，幂函数为偶函数，在单调递增，所以C正确； 当时，幂函数，其定义域为， 所以是非奇非偶函数，所以D错误. 7. 已知函数满足对任意不同的两个实数，，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知：函数在定义域内单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 8. 已知是奇函数且在单调递增，，则的解集为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据的性质作出示意图，再根据分情况讨论求解即可. 因为是奇函数且在单调递增，，作出的示意图： 因为有： 当时，，即或，解得； 当时，，即或，解得； 综上有解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一个集合 B. 已知全集为，则和等价 C. 集合与集合的交集为 D. 已知命题：，；命题：，，则和都是真命题 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A：：不含任何元素的集合；：有且仅有1个元素， 所以与不是同一个集合，故A错误； 对于B：表示的元素一定属于，表示全集中不在中的元素构成的集合， 也表明的元素一定属于，因此，故B正确； 对于选项C：令，解得或， 所以集合与集合的交集为，故C正确； 对于选项D：对于命题：，， 例如，则，故命题为假命题，命题为真命题； 对于命题：，，例如，则，所以命题为真命题； 综上所述：命题和命题都是真命题，故D正确. 10. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】用作差法可判断A、C、D选项，将提取公因式，再结合已知条件可得到进而可判断B选项． 【详解】A项：，因为，所以，即，故，A错； B项：由，得，所以，B对； C项：，因为，，所以，但的正负无法确定，故与的大小无法确定，且当时，无意义，C错； D项：，因为，所以，又，所以，故，D对． 11. 已知，，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，的解集为，利用根与系数的关系，通过计算得到；选项B，由利用基本不等式得到；选项C，由解得，代入，整理后利用1的妙用求解；选项D，将，变形为，利用1的妙用求解即可. 【详解】选项A，的解集为， ，，， 故选项A正确； 选项B，，，当且仅当，即时取等号， ，故选项B 错误； 选项C，，， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为4，故选项C正确； 选项D，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 解方程组，解得， 的最小值为，故选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数 ，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【详解】由题意知，，则. 13. 已知偶函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式______. 【答案】 【解析】 【分析】设则，则，再利用函数的奇偶性化简整理即得函数的解析式. 【详解】设则，则， 所以. 所以在区间上的解析式为. 故答案为 【点睛】本题主要考查奇偶函数在对称区间的解析式问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14. 已知函数的定义域为，，当时，，且，则____________；若，则的取值范围为________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过赋值法求解特殊点的函数值，证明函数的单调性，再结合函数定义域将抽象不等式转化为普通不等式求解. 【详解】在中，令，则，解得， 又，令，则， 即，所以， 再令，则，即； 先证明函数在上的单调性. 任取，且，则， 由题意当时，，所以， 由，令， 则，即， 所以函数在上单调递增， ， 则可得，即，解得， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求及； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）实数的取值范围是 【解析】 【分析】（1）解出集合后，利用交、并、补集定义计算即可得； （2）分与讨论即可得. 【小问1详解】 由，解得或， 故或，， 由，则， 则， 【小问2详解】 若，则，解得； 若，由或， 则有，解得； 故实数的取值范围为. 16. 已知二次函数在上单调递减，在上单调递增，且最小值为． （1）求函数的解析式； （2）若，，求的最小值． 【答案】（1） （2）当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为 【解析】 【分析】（1）由条件可知二次函数的对称轴为，由此可计算出，再由可计算出，从而得到的解析式； （2）由（1）可知，代入化简可得，得对称轴为，再根据对称轴与区间的位置关系分类讨论即可． 【小问1详解】 由题意可知二次函数的对称轴为，即，解得， 又的最小值为，即，解得， 故； 【小问2详解】 由（1）可知， 因此， 得的对称轴为， 当时，在区间上单调递增， 故； 当时，最小值在顶点处取得， 故； 当时，在区间上单调递减， 故； 综上所述，当时，的最小值为； 当时，的最小值为； 当时，的最小值为． 17. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 【答案】（1） （2）这批无人机使用4年后更新年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元。 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而解不等式即可求解； （2）由题意可得，进而结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，，， 令，得，即， 则，解得， 因此，要保证配送站每日利润不为负数，每单配送费的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，年平均总费用为， 当且仅当，即时等号成立， 则这批无人机使用4年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求和的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）设集合，函数在区间上的值域为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， ，，， ，，，故， 即，所以在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由，求得，并检验； （2）利用函数的单调性定义判断； （3）求出集合，由题可得真包含于，列出不等式求解. 【小问1详解】 由题，可得，即，解得， ，，满足题意. . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）在上单调递增，且，， ， 又函数在上单调递增，故， 若是的充分不必要条件，即真包含于， ，解得. 所以实数的取值范围为. 19. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，例如，，，取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为R，值域为Z； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分． （1）若，求关于x的方程的解； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若对于任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对x的取值范围分段讨论，求解方程即可； （2）根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对x的取值范围分段讨论，求解不等式即可； （3）根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对x的取值范围分段讨论，采用分离参数法结合基本不等式、函数单调性求最值，确定参数范围. 【小问1详解】 已知，分两类讨论： ① 当时，，， 代入方程得，解得，符合题意； ② 当时，，， 代入方程得，解得，符合题意. 综上，方程的解为或. 【小问2详解】 分四类讨论： ① 当时，，结合， 得，不等式恒成立； ② 当时，，，代入不等式得，解得， 结合区间得； ③ 当时，，，代入不等式得，解得， 结合区间得； ④ 当时，，，故，不等式无解. 综上，不等式的解集为 . 【小问3详解】 分两类讨论： ①当时，，， 不等式整理为恒成立. 令，，则， 由基本不等式得，当且仅当即时等号成立， 故右端最小值为，得； ② 当时，，，不等式整理为恒成立. 令，，则， 由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减，故，得. 结合，综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中考试 高一年级 数学试卷 命题时间：2026.10.24 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试时间120分钟． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 若命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若全集，集合，集合，则集合的子集个数为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足对任意不同的两个实数，，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是奇函数且在单调递增，，则的解集为（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一个集合 B. 已知全集为，则和等价 C. 集合与集合的交集为 D. 已知命题：，；命题：，，则和都是真命题 10. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数 ，则的值为__________． 13. 已知偶函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式______. 14. 已知函数的定义域为，，当时，，且，则____________；若，则的取值范围为________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求及； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知二次函数在上单调递减，在上单调递增，且最小值为． （1）求函数的解析式； （2）若，，求的最小值． 17. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求和的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）设集合，函数在区间上的值域为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，例如，，，取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为R，值域为Z； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分． （1）若，求关于x的方程的解； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若对于任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $