广东省广州市华南师范大学附属中学2026-2027学年高一上学期11月期中数学试题

2026-2027学年华南师范大学附属中学高一第一学期期中考 一、单选题（共8小题每题5分共40分） 1.已知集合A={1,2,3,4,B={y川y=2x-1,x∈，则A∩B=（) A.{} B.{1,3} C.{1,3,4} D.{1,2,3,4,5,7} 2.命题“x>0,13x3+14x+520≥0”的否定为（) A.x>0,13x3+14x+520<0 B.x≤0,13x3+14x+520<0 C.3x>0,13x3+14x+520<0 D.3x≤0,13x3+14x+520<0 3.若0日石则() A.>lal B.1>-1 a b C.Bsa D.b-1>b a b a-l"a 4.已知一个矩形的周长为20m,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，旋转所形成的圆柱的侧面积最大是 () A.50ncm2 B.100元cm2 C.125πcm2 D.200元cm2 5.若不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R,则m的范围是（) A.[1,9) B.[2,+o) C.[L,+o) D.[2,9] 6,函数？的图象大致为（) 7.设/()是定义在取上且周期为2的奇函数，当0<x<1时，()=4-1，则/)（) A.-1 B.1 C.7 D.-I 试卷第1页（共3页） 8.已知实数a,b满足：对于任意的实数x,不等式(-a(:-bx-2a2-1)≥0恒成立，则x-d+r- 的取值范围为(). A.[1,+0) B层+m) D.+ 二、多选题（共3小题每题6分共18分） 9.已知a,b∈R,集合{a,b,l1}与集合{a2,a+b,0}相等，下列说法正确的是（） A.b=-1 B.b=0 C.a=-1 D.a2026+b2026=1 10.已知a,b均为正实数，且a+2b=ab,则（) A.ab≥8 B.2a+b≥10 c.净+1 D. b a-2+6-≥4 11.设定义在R上的函数f(x),g(x)满足： ①g(0)=1; ②对任意实数x,x2,g(x-x2)=f(x)f(x2)+g(x)g(x2): ③存在大于零的常数1，使得f(2)=1,且当x∈(0，入)时，f(x)>0,g()>0, 则下列说法中正确的是（) A.g(2)=f(0)=0 B.当x∈(0,2)时，f(x)+g(x)>1 C.函数f(x)g(x)在R上无界 D.任取x∈R,f(2-x)=g(x) 三、填空题（共3小题每题5分共15分） 12.某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情 况，某班班主任对全班女生进行了对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项， 经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌 和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为 13.已知x>0,y>0,且2.8"=2，则-+二的最小值为 14.对于任意实数x,+0-)=1,f(倒=2r), 且对于0≤x≤x2≤1，恒有f(x)≤f(x2),则 四、解答题（共5小题总共77分） 15.(1)已知全集U={2,3,4,5,6,7},集合A={4,5,7},B={2,3,5},求：C（AnB)和(C,A∩(C,B) (2)已知U=R,A={x1≤x≤3}，B={x2<x<4},C={xx<a. 试卷第1页（共3页） ①求AOB,AUB; ②若“x∈B”是“x∈C”的充分不必要条件，求a的取值范围. 16.已知函数f(x-1)=x2-2x,函数g(x)=f(x)+ax. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)在2,4上的最大值M; (3)已知函数h(x)=2,对任意x∈[2,4]，总存在x2∈[2,4，使得h(x)≤g(x2),求实数a的取值范围. 17.2026年6月5日是第55个世界环境日，也是习总书记提出“绿水青山就是金山银山”重要理念二十一 周年我国规定空气污染指数在51~100时为良好；某钢铁工厂每一天气体排放污染指数f(x)与时刻x（ 时)的函数关系为f(x)=Vx+1-a+21a+5,x∈[0,24]，其中a为气体治理调节参数，且a∈(1,5)： (1)若a=3,求一天中哪个时刻气体污染指数最低； (2)若某天下午15时的气体排放污染指数大于100，求15时气体治理调节参数a的取值范围； (3)规定每天中∫(x)的最大值作为当天的气体污染指数，要使该厂每天的气体污染指数不超过81，则气体治 理调节参数a应控制在什么范围内？ 18.对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间m,n二D,同时满足：①f(x)在[m,n内是单调增函 数；②当定义域是[m,n时，f(x)的值域是[2m,2n],则称[m,n]是该函数的“翻倍区间”. (1)证明：[1,3]不是函数f(x)=2的一个“翻倍区间”； (2)判断函数g(x)=x是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； (3)已知函数h(x)=3x二有“翻倍区间[m,n,求实数a的取值范围. 19.设函数f(x)的定义域为R.对于任意正实数h,定义B,(h)={x∈Rf(x+h)》f(x-h)}, E,(h)={xERIf(x+h)=f(x-h). (1)若f(x)= x,x<1 闪+1，≥1，对任意给定正实数h,求集合B,()与E,(h). (2)设函数f(x)满足：对于任意正实数h,h,均有B,(h)=B,(h) ()若p<9,且p,q∈B(h),证明：对于任意t∈(p,q,有t∈B,(h): (i)若对于任意正实数h,h,还有E（h)=E（h),且B,(h),E,(h)均为非空集合，证明：存在唯一 试卷第1页（共3页） 的实数c,使得Br(h)=(c,+o)或(-oo,c). 试卷第1页（供3页） 《2026-2027学年华南师范大学附属中学高一第一学期期中考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 1 8 9 10 答案 8 D A A A A BCD AD 题号 11 答案 ABD 1.B 【详解】集合A={1,2,3,4},B={y川y=2x-1,x∈A,所以集合B={1,3,5,7}, 所以A∩B={1,3} 2.C 【分析】由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果， 【详解】命题Vx>0,13x3+14x+520≥0的否定是3x>0,13x3+14x+520<0. 3.D 详解因为0>。>所以a<0,b<0,从而ab>0 在不等式两边同乘的，得6>a,即a<h0, 对于A,由a<b<0知a>b,故A错误. 对于®，由。分两边同栗1得日方，故B错误 对于c,因为b_9_-a_(b-a)b+a) a b ab ab 又b-a>0,6+a<0,>0,所以片日c0,即2分故C错误 a b 对于D,因为2-b_ab-D-ba-)b-a a-l a a(a-1)a(a-1)' 又b-a>0,a<0,a-1<0,所以a(a-1)>0,从而 6-a>0,即->6，故D正确 a(a-) a-l a 4.A 【分析】不妨设矩形的长为rcm，则宽为(10-r)cm,利用几何特征可得旋转所形成的圆柱的侧面积，再利 用基本不等式即可求侧面积的最大值， 【详解】不妨设矩形的长为rcm,则矩形的宽为(10-r)cm, 则旋转后的圆柱的底面圆半径为rcm,高为(10-r)cm, 从而圆柱的侧面积为S=210-)≤2m×灯+00-=50m, 2 当且仅当r=10-r时，即r=5时，圆柱的侧面积取得最大值50π(cm2). 5.A 答案第1页（共2页） 【分析】根据m-1是否等于0分情况讨论，结合一元二次不等式恒成立列不等式组求解即可. 【详解】当m-1=0,即m=1时，原不等式可化为2>0恒成立，满足不等式解集为R, 当m-1≠0，即m≠1时，若不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R, m-1>0 (m--8m-)<0解得1<m<9, 则 综上所述，m的取值范围为[1,9). 6.A 【详解】令3-34=0，得x=±1，则定义域为{xx≠±关于原点对称， 又2x心=J心，则为偶函数，排除C,D选项 又)=号<0，排除B 选项A符合以上要求， 7.A 【分析】由条件结合周期函数的性质和奇函数的性质可得f(x+2)=f(x),f(-x)=-∫(x),所以 )⑨ 再结合条件当0<x<1时，f(x)=4“-1,求f 由此可得结论 【详解】因为f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数， 所以f(x+2)=f(x),f(-x)=-f(x), 所以()(+2(》- 因为当0<x<1时，f(x)=4-1, 所以f-(4-1=2-1=1, 所以（)1， 故选：A. 8.A 【详解】2a2+1>a恒成立，若b∈(-o0,2a2+1), 取x∈(b,2a2+1)则矛盾. 若b>2a2+1,则取x>2a2+1,所以b=2a2+1, 取x=0,（2a2+1)2.(-a)≥0，则a≤0， 答案第1页（供2页） -+-42-=2-a1-2a-+1. 又a≤0，所以最小值为1. 故选：A. 9.BCD 【详解】已知两集合相等且右边含0，则a≠0，b=0,故A错误、B正确； 此时{a,0,1}={a2,a,0},故a2=1且a≠1，则a=-1,故C正确； a2026+b2026=(-1)2026+02026=1,故D正确. 10.AD 【分析】根据不等式的性质，利用已知条件a+2b=ab结合基本不等式对各选项进行逐一分析判断. 【详解】选项A:a+2b≥2√2ab,当且仅当a=2b时取等号， 又a+2b=ab,ab≥22ab, :a,b均为正实数， ∴.(ab)≥8ab,即ab≥8，当且仅当a=4,b=2时取等号，故A正确； 选项B:a+2b=ab,+2-1, b a 2a+b=(0a+0创合引-公41+25+2台5-9，当且仅当g名即a=b=3时，2a+b=9 a b a b a ,而9<10，故B错误； 选项C0+2-,令如=6=2.则4+2x2=42,等式威立.此时亭+日-1，故C 错误； 蓝项0品2名1品216=2品。 a-2b-11 :a+2b=ab,变形可得(a-2)(b-1)=2, 设m=a-2,n=b-l,则mn=2,故m,n同号， 当m>0,n>0时， 22++片之2+22-4，当且仅当m-2a1,图a=40-2助搭号成立 m n m n 当m<0,n<0时，：a>0,b>0,∴.0>a-2>-2,0>b-1>-1,则mn<2,与mn=2矛盾，故m<0,n<0不 符合题意， 。-22产4，当且仅当a=4,b=2时等号成立，故D正确 答案第1页（供2页） 故选：AD. 11.ABD 【分析】利用赋值法可判断ABD的正误，利用赋值法结合基本不等式可判断C的正误，利用 【详解】对于选项A,取x=x2=0，由g(0-0)=f(0)+g(0) 可知f(0)=0. 取x=x2=九，由g(2-2)=f2(2)+g2(2) 可知g()=0.故选项A正确 对于选项B,取x=x2=x,由g(x-x)=f(x)+g(x) 可知f2(x)+g2(x)=1. 又因为当x∈(0，)时，f(x)>0,g(x)>0,所以 [f(x)+g(x)2=f2(x)+g2(x)+2f(x)g(x)>1, 进而有f(x)+g(x)>1,故选项B正确 对于选项C,因为fg(sf(9+g田_1 2 Γ-2 故选项C错误， 对于选项D,取x=九，x2=九-x,则 g()=f()f(2-x)+g(2)g(-x)=f(2-x), 故选项D正确， 故选：ABD 12.27 【分析】由题设可作出班级女生兴趣情况的韦恩图，据此可得答案 【详解】由题设可作出如下韦恩图， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人， 同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人， 三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为5+2+1+10+4+3+2=27. 答案第1页（供2页） 唱歌 5 10 42 跳舞 书法 3 2 13.4+2√3/25+4 【分析】由指数运算性质得x+3y=1,结合基本不等式即可求解。 【详解】已知x>0,y>0,2".8"=2.23y=2+3y=2,得x+3y=1, 由基本不等式，得))+3)=13+兰+片≥4+2子=4+25. x y Vx y 当且仅当=，即：=35时取等3. 6 此时xy>0满足条件，因此-+-的最小值为4+2√5 14. 32 【分析】根据赋值法计算得出f(0)=0及f()=1进而得出. )分·再结合照值法及7倒=2[)计算 得出函数值 详解】由)=2r(兮)· 取x=0可知f(0)=2f(0),即f(0)=0. 由f(x)+f(1-x)=1,取x=0可知，f(0)+f()=1,即f()=1. 由f)-2r(),取x=1,则r0=2r目，即f目)2 取x可知f（付)1，即f付月 因为对于0≤≤≤1，恒有f)f),则当；x≤号时，f() 由f()=2()可得f)=26. 则)品)点)))篇》 对当行则)-片@)6分 故答案为：2：321 11 15.(1)C,(AnB)={2,3,4,67},(CA4)n(G,B)={6; (2)①AnB={x2<x≤3}，AUB={x1≤x<4};②[4，+o). 答案第1页（共2页） 【分析】(1)借助交、并、补集的定义计算即可得； (2)①借助交、并集的定义计算即可得；②借助充分不必要条件的性质可得B是C的真子集，即可得解 【详解】(1)因为全集U={2,3,4,5,6,7,集合A={4,5,7},B={2,3,5}, 所以A∩B={5},故C(A∩B)={2,3,4,6,7}, 因为C,A={2,3,6,CB={4,67,故(C,A)∩(CB)={6}; (2)①已知A={x1≤x≤3}，B={x2<x<4}, 则有AnB={2<x≤3}，AUB={x1≤x<4. ②若“x∈B”是“x∈C”的充分不必要条件，则B是C的真子集， 有a≥4，即a的取值范围为[4，+o) 16.(1)f(x)=x2-1; 2a+3,a<-6 (2)M= 4a+15,a≥-6 (③实数4的取值范围为[存+】 【分析】(1)利用换元法令x-1=1，即可求得函数f(x)的解析式； (2)由(1)的结论求出8()，其圈像的对称轴方程为x=-号，按照对称轴与区间24中点3的大小依次 讨论求解即可； (3)利用指数函数的单调性求得h(x)≤h(4)=16,结合题意可知只需满足h(x)mx≤g()即可，再 利用(2)中的结论得出相应不等式即可求解. 【详解】(1)令x-1=t,则x=t+1,由f(x-1)=x2-2x, 可得f)=(t+)2-2t+1)=2-1,故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1; (2)由(1)可得g(x)=f(x)+ax=x2+ax-1, 对称轴方程为x=-号，且开口向上， 当a<-6时，分>3，g2>g④，在区间2,4上函数g()=gQ②)=2u+3: 当a≥6时，号≤3,8④≥g②).在区间2,4到上函数g似=g④=如+15： 2a+3,a<-6 综上，函数g(x)在[2,4]上的最大值M= 4a+15,a≥-6 答案第1页（共2页） (3)由指数函数h(x)=2*的单调性可知，h(x)在[2,4上单调递增 因此对任意x∈[2,4]，满足h(x)≤h(4)=16恒成立， 由对任意x∈[2,4，总存在x2∈[2,4，使得h(x)≤g(x2), 可得h(x)ns≤g(x)x即可，因此g(x)x≥16， 由(2)可知，当a<-6时，g(x)mx=2a+3,所以只需2a+3≥16， 解得a≥？，与a<6矛盾，故此时无解： 当a≥-6时。8)=4+15，所以只需4a+15≥16，解得a≥ 综上可知，日的取值范围为+网)。 17.(1)一天中早上8时该厂的气体污染指数最低； (2)4.5<a<5 (3)(1,3.5 【分析】(1)当√x+1-3=0时f(x)最小进行求解； (2)由分段函数求解不等式； (3)由不等式恒成立求解。 【详解】(1)因为a=3,则f(x)=Nx+1-3+68, 显然当√x+1-3=0时f(x)最小， 得x+1=9,即x=8; 所以一天中早上8时该厂的气体污染指数最低； 20a+9,1<a≤4 (2)当x=15时，f15)=4-d+21a+5= 22a+l,4<a≤5' 易知1<a≤4时f(15)≤89，所以当f(15)>100时，即22a+1>100, 则a>4.5,又a∈1,5)， 所以污染指数大于100时4.5<a<5; (3)设t=√x+1,则当0≤x≤24时，则1≤t≤5； -t+22a+5,1≤t≤a 设g(t)=t-d+21a+5,t∈[l,5],即g0= t+20a+5,a<t≤5， 显然g(t)在1，a上是减涵数，在[a,5]上是增函数， 答案第1页（共2页） 则f(x)mx=max{g()g(5)},因为g()=22a+4,g(5)=20a+10, g(1)=22a+4≤81 则有 g(5)=20a+10≤81解得a≤3.5，又a∈(，5)， 故气体治理调节参数a应控制在(1,3.5 18.(1)不是，证明如下： 由函数f(x)=2在[，3]上单调增函数知函数f(x)在[1,3]上的值域为[f(①)，f(3)]=[2,8], 而“翻倍区间”要求的值域为[2×1,2×3]=[2,6]，二者不符， 故1,3]不是函数f(x)=2的一个“翻倍区间”； (2)存在，「-V2,0]H-V2,v2]川0,2]： a(号-小+a+ 【分析】(1)先由指数函数单调性求出值域，再由“翻倍区间”定义即可得解： (2)先假设g(x)存在一个“翻倍区间”[m,],再利用“翻倍区间”定义结合幂函数单调性列等量关系求出参数 m,n即可分析求解； (3)由“翻倍区间”定义将题设等价转化为方程2x2+(2a-3)x+1=0在(-o,-a上有两个不等实根或者在 (-a,+∞)上有两个不等实根，再利用二次函数性质列不等式组即可求解. 【详解】(1)略； (2)假设g(x)存在一个“翻倍区间”[m,n],由函数g(x)是R上的单调增函数得 g(m）=m3=2m g(n)=n3=2n' 解得m=-V2,0,2,n=-V20,V2,由m<n知所有翻倍区间"为「-V2,0]H-V2,V2][0,V2]; (3)由函数h(x)有“翻倍区间”[m,n]知，h(x)为[m,n]上的单调增函数，而 hy)3x-1-3x+a）-3a--3+-3a-l x+a x+a x+a 1 所以-3a-1<0,解得a> 3 h(m）=3m-1-2m 由②知 m+a ,可得m,n是方程3x-=2x的两个根。 hn）=3n-1=2n x+a n+a 等价于方程3x-2x在(-，-)上有两个不等实根或者在（←4，+w)上有两个不等实根， x+a 等价于方程2x2+(2a-3)x+1=0在(-o,-a上有两个不等实根或者在(-a,+o)上有两个不等实根， 答案第1页（共2页） △=(2a-3)}2-8>0 △=(2a-3)2-8>0 则有 3-2a<-a 4 或 3-2a7-4 4 2(-a}+(2a-3)x(-a)+1>02(-aj2+(2a-3)x(-a)+1>0 解得}a<}或a>5, 综上，实数a的取值范图为小侵++】 19.(1)B(h)=(0,+o）,E(h)={0}. (2)()依题意，p<t<9,所以p+t-9<p+9-t<9+t-p, 因为p∈B,(h)对任意h>0都成立，所以取h=q-t>0, 则有f(p+h)>f(p-h),即f(p+q-)>f(p+t-q)①， 同理，因为q∈B,(h)对任意h>0都成立，所以取h,=t-p>0, 则有f(q+h)>f(g-h),即f(g+t-p)>f(q+p-)②， 由①②得f(q+t-p)>f(p+t-q), 取h=q-p>0,所以f(t+h)>f(t-h),所以t∈B,(h)=B,(h). (i)定义C=C(B,(hUE,(h), 于是，对海个h>0,均有C={x∈Rf(x+h)<f(x-h)}. 又因为f(x+h)<f(x-h)台-f(x+h)>-f(x-h), 所以C=B(h),所以由()可知，若p<9,且p,q∈C,对于任意t∈(p,q),有teC, 下面证明E,(h)中只有一个元素， 任取u∈Er(h),所以对每个h>0,有f(u+h)=f(u-h). 所以函数图像关于直线x=“对称， 假设E,(h)中存在两个不同的元素u,v,不妨设u<v,函数图像既关于x=u对称，也关于x=v对称. 所以对任意x∈R,f(x+2(v-u)=f(2v-(2u-x)=f(2u-x)=f(x). 故T=2(v-4)>0是函数f的一个周期. 由周期性，对任意xeR和h>0,有f(x+T+h)>f(x+T-h)台f(x+h)>f(x-h) 因此x∈B,(h)台x+T∈B,(h).③ 答案第1页（共2页） 任取x∈B,(h).由③，对于任意整数n,均有x。+nT∈B,(h) 由()知，x+nT,x。+(n+l)TsB(h), 对每个整数n都成立.这些区间的并集为整个R,故B,(h)=R. 此时E,(h)=②，矛盾，所以E,（(h)中不可能有两个不同的元素. 又因为E,(h)≠②，故存在唯一实数c,使得E,(h)={c}, 下面证明B(h)=(c,+o)或B(h)=（-o,c, 因为c∈E,(h),所以cEB,(h), 所以B(h)不可能同时包含小于c的点和大于c的点，否则由()知，有c∈B,(h),矛盾 若B(h)中存在大于c的元素，则B,(h)c(c,+o). 于是每个小于c的实数均属于C. 若还存在某个y>c且y生B,(h),则因为y+c,必有y∈C. 任取x<c,则x<C<y,并且x,y∈C. 由()知，必有ceC,与c∈E(h)矛盾. 因此每个y>c都属于B,(h),从而B,(h)=(c,+∞). 同理，若B,(h)中存在小于c的元素，则B,(h)=（-o,c). 【分析】(1)由集合B,(h)与E,(h)的定义和f(x)的性质求解； (2)()由已知可得f(q+t-p)>f(p+t-q,取h=q-p>0,有f(t+h)>f(t-h),可证得结论； (i)由()可知，B,(h)是实数集上的连通开集，c∈E,(h),证明B,(h)不可能同时包含小于c的点和大 于c的点，且大于c的实数均属于B,(h)或小于c的实数均属于B,(h): 【详解】(1)f(x)的函数值只取决于x，当x增大时，函数值严格增大.所以 f(x+h)>f(x-h)台x+h>x-h台x>0 f(x+h)=f(x-h)台x+h=x-h台x=0 因此，对于任意h>0,均有 B(h)=(0,+o),E(h)={0}: (2)()略 答案第1页（供2页） (i)略 答案第1页（共2页）