精品解析：宁夏回族自治区银川市第二十中学2026-2027学年上学期九年级期中考试数学试卷

九年级期中考试数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程”的定义，逐一核对每个选项的方程是否满足这三个核心条件，筛选出符合要求的选项即可． 【详解】解：一元二次方程需满足三个条件：只含1个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 选项：方程含两个未知数，是二元一次方程，不符合题意． 选项：方程含两个未知数，不符合题意． 选项：方程只含未知数，的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意． 选项：方程分母含未知数，是分式方程，且含两个未知数，不符合题意． 2. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，4，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 【答案】B 【解析】 【分析】根据成比例线段的性质依次判断即可 【详解】解：A、，故不是成比例线段； B、，是成比例线段； C、，故不是成比例线段； D、，故不是成比例线段． 3. 已知，，，则的长（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：C． 4. 如图，在中，点分别在边上，添加一个条件能使，则这个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、∵，， ∴，故选项不符合题意； D、∵，它们夹角与不一定相等， ∴与不一定相似，故选项符合题意． 5. 在学习了《平行四边形》这一章节后，嘉嘉针对几种特殊的平行四边形的关系画出了如图草图，她让同桌琪琪在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　） A. ①：有一个角是直角 B. ③：对边相等 C. ②：有一组邻边相等 D. ④：对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，特殊四边形的判定解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 根据特殊四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A：有一个角是直角的平行四边形是矩形，①正确； B：应该是邻边相等的矩形是正方形，③错误； C：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②正确； D：对角线相等的菱形是正方形，④正确； 故选：B． 6. 如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 4：9 D. 1：4 【答案】D 【解析】 【分析】证明，利用相似三角形的面积比等于像是比的平方即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7. 某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用总盈利=每箱盈利×每天销售量的关系，分别表示出降价后每箱的盈利和每天的销售量，即可列出方程． 【详解】设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 8. 如图，正方形的边长为16，点在边上，且，点是对角线上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求的长，即为的最小值． 【详解】解：连接，， 正方形的边长为16， ，， ， ， ， 正方形中，点与点关于对称， ， ， 的长即为的最小值，最小值为． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 如果， 那么=________ 【答案】 【解析】 【详解】设x=2k，y=5k， ==. 故答案为：. 10. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根，根据方程根的定义，将根代入原方程即可求解参数的值． 【详解】解：∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得： ， 化简计算得：， 解得． 11. 校园里一片小小的枫树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，点共线，点为的黄金分割点若，则的长为_________（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义及，得出与的数量关系，即可求出的长． 【详解】解：∵点为的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴． 12. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为________． 【答案】##42度 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，得到的度数，由作图可知点E在的垂直平分线上，得到，最后利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：菱形， ， ， ， 由作图可知，点E在的垂直平分线上， ， ， ． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】需要同时满足两个条件：一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有两个不相等的实数根要求根的判别式大于0，分别解不等式取交集即可得到结果． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 综上，的取值范围是且． 14. 如图，在平面直角坐标系中有一长方形，其中，，，若将沿所在直线翻折，点落在点处，交于点，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，设，则，进一步结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 15. 在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为______米． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）； 故答案为： 【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键． 16. 如图，在中，，高，正方形的边在上，点分别在上，交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，即得，，由四边形是矩形得，即得到，设，则，再利用相似三角形的性质求出的值即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 三、解答题（共72分） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （）根据因式分解法解方程即可； （）根据因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 或 ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 18. 按要求回答问题 （1）如图①，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，且点的坐标分别为．以点为位似中心，画出的位似图形，使其与的相似比为； （2）在图②中，仅用无刻度直尺在线段上画一个点，使． 【答案】（1）如下图所示，和均为所求作的三角形． （2）解：如下图所示，为所求作的点． 【解析】 【分析】（1）由位似图形的性质找出位似三角形的三个顶点坐标，连接三个顶点即可． （2）借助网格构造相似三角形，由相似三角形的性质可以得到． 【小问1详解】 解：作图略． 【小问2详解】 解：作图略． 19. 如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 【答案】（1）证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； （2）先证明是等边三角形，然后利用勾股定理求解，即可求解周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有实数根； （2）设、为方程的两个实数根，且，试求k的值． 【答案】（1）证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴判别式． ∵对任意实数，，即， ∴该方程总有实数根． （2）的值为或． 【解析】 【分析】（1）求出根的判别式判断即可； （2）由根与系数的关系得，，然后代入求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵、为方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴解得，即的值为或． 21. 如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，F为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质证明； （2）由相似三角形的性质推出，进而计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 22. 如图，在中，对角线、交于点，于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）由得，所以，故有，即，然后通过菱形的判定方法即可求证； （2）由菱形的性质可得点是、的中点，，再通过直角三角形性质可得，，则，最后通过即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵菱形的对角线、交于点，， ∴点是、的中点，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 23. 某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． （1）据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； （2）如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）属于典型的增长率问题，需利用公式“增长后的量=增长前的量×（增长率）”建立方程．设出增长率，根据两年后的面积列方程，并根据实际意义（增长率为正数）对解进行取舍． （2）属于几何图形面积问题，需根据图形特征（一边靠墙、中间有隔断）和板材长度（含门的宽度）表示出长方形的长和宽，然后根据长方形面积列方程，最后根据墙长限制条件对解进行检验． 【小问1详解】 解：设这个增长率为x，由题意得： 解得：，（舍去） 答：这个增长率为． 【小问2详解】 解：设场地的宽为y米，则的长为米， 由题意得： 整理得： 因式分解，得 解得：，． 当时，长为米， 因为，超过了墙长，不符合题意，舍去． 当时，长为米， 因为，符合墙长限制，符合题意． 答：场地的宽为15米． 24. 若关于x的方程有一个解为，则称这样的方程为“归一方程”．例如：方程有解，所以为“归一方程”． （1）下列方程是“归一方程”的有________．（填序号） ①； ②； ③． （2）若关于x的一元二次方程为“归一方程”，求代数式的值． （3）若关于x的一元二次方程为“归一方程”，求n 的值和方程的另一个解． 【答案】（1）②③ （2） （3），另一个根为5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，根与系数的关系，熟练掌握“归一方程”的定义，是解题的关键： （1）分别求出方程的解，进行判断即可； （2）先求出方程的两个根为，再由“归一方程”的定义分类讨论求解； （3）根据根与系数的关系，求出两个根，以及的值即可． 【小问1详解】 解：，解得：，故①不是“归一方程”； ，解得：或，故②是“归一方程”； ，解得：，故③是“归一方程”； 故答案为：②③； 【小问2详解】 解： 解得， 当时，则 ∴； 当，则， ∴， 综上，代数式的值为 【小问3详解】 ∵为“归一方程”， ∴方程有一个根为，设另一个根为， 则由一元二次方程根与系数的关系得到， ∴ 由一元二次方程根与系数的关系得到， ∴； ∴，另一个根为5． 25. 如图，矩形中，，动点以每秒2个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒1个单位的速度从点出发沿向移动，其中一点到终点，另一点也随之停止． （1）经过几秒时，的面积为3？． （2）经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？ 【答案】（1）经过1秒或3秒时，的面积为3； （2）经过 秒或 秒时，由 三点组成的三角形与 相似 【解析】 【分析】（1）由矩形性质可得，设秒后的面积为3，首先表示出线段和线段，然后利用其面积为3列出有关的方程求解即可； （2）分两种情况，或，然后根据相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， 设秒后的面积为3， ， ， 的面积为， 的面积为3， ， 解得或， 经过1秒或3秒时，的面积为3； 【小问2详解】 经过t秒时，由三点组成的三角形与相似， 由（1）得， ①当时， ， ， 解得； ②当时， ， ， 解得； 综上所述，经过秒或秒时，由三点组成的三角形与相似． 26. 按要求解答下列问题： （1）【操作发现】如图（1），在和中，，，，连接，交于点． ①与之间的数量关系为 ； ②的度数为 ； （2）【类比探究】如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点．请计算的值及的度数； （3）【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，且、、在同一直线上，，，求点、之间的距离． 【答案】（1）①；② （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，即可得结论； （2）证明，即可得结论； （3）分两种情形解直角三角形求出，再利用相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，设交于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， ． 【小问2详解】 解：如图，设交于， 在和中， ，， ，，， ∴， ， ∴， ， ∴，， ， ∴， ． 【小问3详解】 如图中，作于，连接，则， 在中， ∵，， ， ， ， ， ∵， ， ， 在中，， ， ∵， ∴，，， ∴，， ， ∴， ． 如图，连接，作于， 同理可得，， ， ， ∴， ． 综上所述，点、之间的距离是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中考试数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，4，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 3. 已知，，，则的长（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 4. 如图，在中，点分别在边上，添加一个条件能使，则这个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 5. 在学习了《平行四边形》这一章节后，嘉嘉针对几种特殊的平行四边形的关系画出了如图草图，她让同桌琪琪在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　） A. ①：有一个角是直角 B. ③：对边相等 C. ②：有一组邻边相等 D. ④：对角线相等 6. 如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 4：9 D. 1：4 7. 某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为16，点在边上，且，点是对角线上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 如果， 那么=________ 10. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为___． 11. 校园里一片小小的枫树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，点共线，点为的黄金分割点若，则的长为_________（结果保留根号）． 12. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为________． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中有一长方形，其中，，，若将沿所在直线翻折，点落在点处，交于点，则点的坐标为_________． 15. 在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为______米． 16. 如图，在中，，高，正方形的边在上，点分别在上，交于点，则的长为______． 三、解答题（共72分） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. 按要求回答问题 （1）如图①，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，且点的坐标分别为．以点为位似中心，画出的位似图形，使其与的相似比为； （2）在图②中，仅用无刻度直尺在线段上画一个点，使． 19. 如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有实数根； （2）设、为方程的两个实数根，且，试求k的值． 21. 如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，F为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 如图，在中，对角线、交于点，于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 23. 某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． （1）据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； （2）如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 24. 若关于x的方程有一个解为，则称这样的方程为“归一方程”．例如：方程有解，所以为“归一方程”． （1）下列方程是“归一方程”的有________．（填序号） ①； ②； ③． （2）若关于x的一元二次方程为“归一方程”，求代数式的值． （3）若关于x的一元二次方程为“归一方程”，求n 的值和方程的另一个解． 25. 如图，矩形中，，动点以每秒2个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒1个单位的速度从点出发沿向移动，其中一点到终点，另一点也随之停止． （1）经过几秒时，的面积为3？． （2）经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？ 26. 按要求解答下列问题： （1）【操作发现】如图（1），在和中，，，，连接，交于点． ①与之间的数量关系为 ； ②的度数为 ； （2）【类比探究】如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点．请计算的值及的度数； （3）【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，且、、在同一直线上，，，求点、之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $