精品解析：宁夏回族自治区银川市第三中学2026-2027学年九年级上学期期中 数学试卷

银川市第三中学2026－2027学年第一学期期中教学质量检测 九年级数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 将一个图形用放大镜放大，这种图形变换应该属于（ ） A. 平移变换 B. 对称变换 C. 旋转变换 D. 相似变换 2. 根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，为常数）的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. ①填 B. ②填 C. ③填 D. ④填 4. 如图，每个小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，设水渠的宽度为，由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是(　　) A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，．若四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍，则点的坐标为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 8. 如图，在锐角三角形中，，垂足为，矩形的顶点，分别在，上，点，均在边上．若，，，则的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分） 9. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则的长为______． 10. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 11. 如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是_____（填一个即可） 12. 为了积极响应《“健康中国”规划纲要》提出的全民健身要求，某体育中心周末向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场人次，第三周进场人次．若进场人次的周平均增长率相同，设进场人次的周平均增长率为，则可列方程为________． 13. 如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点（），若，则的长为_________． 14. 已知菱形的面积为，若对角线，则这个菱形的周长为_______． 15. 如图，中，，，．将平移得到，边和分别交于点，．若的面积为6，则的长为________． 16. 如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线的垂线段，则等于 ______ ． 三、解答题（共10小题，计72分） 17. 解方程∶ （1） ； （2）． 18. 在由边长为的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到（的对应点是，的对应点是）． （2）用无刻度的直尺在线段上找一点，使得．（保留作图痕迹） 19. 如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． （1）试判断四边形的形状，并说明你的理由； （2）求证：． 20. 定义：已知关于的一元二次方程（、、为常数，且）有两个实数根、，且，则称方程为“黄金方程”．例如：方程有两个实数根，且两个实数根之和为，两个实数根之积为，，∴方程是黄金方程． 请你根据此定义，解答下列问题： （1）请通过计算判断方程是否为“黄金方程”； （2）已知关于的方程为“黄金方程”，求的值． 21. 如图，在中，为上一点，为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小明利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小明的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 23. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出箱，每箱利润元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每降价元，平均每天可多售出箱． （1）若降价元，每天能售出______箱饮料，若降价元（），每天能售出______箱饮料； （2）若要使每天销售该饮料获利元，为了扩大销售，则每箱应降价多少元？ 24. 如图，一艘轮船以的速度由西向东航行，在图中点处接到台风警报，台风中心点正以的速度由南向北移动．已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区．当轮船接到台风警报时，测得，．如果这艘轮船不改变航向，船会不会进入台风影响区？若不会，说明理由；若会，求出受影响的时间． 25. 如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动． （1）经过多长时间，的面积等于矩形面积的？ （2）是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 26. 综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】（1）如图①，在正方形中，E是上一点，于点F，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．可证．请写出证明过程； 【深入思考】（2）在（1）的条件下，如图②，若延长，交于点H，试猜想线段，，之间的数量关系． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，如图③，连接，将线段绕点H逆时针旋转得到线段，点P在上，试猜想，之间的数量关系，并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第三中学2026－2027学年第一学期期中教学质量检测 九年级数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 将一个图形用放大镜放大，这种图形变换应该属于（ ） A. 平移变换 B. 对称变换 C. 旋转变换 D. 相似变换 【答案】D 【解析】 【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案． 【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换． 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出． 2. 根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，为常数）的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：方程的解对应二次函数中时的值， 由表格可知，当时，；当时，； ∴方程的一个解的范围是． 3. 在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. ①填 B. ②填 C. ③填 D. ④填 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、添加，无法使平行四边形变为菱形，故符合题意； B、添加，可以使菱形变为正方形，故不符合题意； C、添加，可以使平行四边形变为矩形，故不符合题意； D、添加，可以使矩形变为正方形，故不符合题意． 4. 如图，每个小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三边对应成比例的两个三角形相似，借助网格先得到各选项的三边长度，再逐一判断即可． 【详解】解：已知由短到长的三边之比为， 选项A：图中阴影三角形由短到长的三边之比为，舍去； 选项B：图中阴影三角形由短到长的三边之比为，符合题意； 选项C：图中阴影三角形由短到长的三边之比为，舍去； 选项D：图中阴影三角形由短到长的三边之比为，舍去； 故选：B． 5. 如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，设水渠的宽度为，由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的图形面积问题，解题关键是找出矩形的长和宽分别是多少． 通过想象将水渠平移至最右及最下方，将耕地面积合并起来，看作是一个长，宽分别为和的矩形，然后直接求解即可． 【详解】解：在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，设水渠的宽为米，可列方程为：， 故选：B； 6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∵周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴C正确．故选C． 考点：相似三角形的判定与性质． 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，．若四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍，则点的坐标为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的概念和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据位似的性质可得，四边形与四边形的位似比为，再结合即可求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍， ∴四边形与四边形的位似比为， 又∵， ∴点的坐标为或，即或． 故选：B． 8. 如图，在锐角三角形中，，垂足为，矩形的顶点，分别在，上，点，均在边上．若，，，则的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求解． 【详解】解：如图，设交于点， 设，则， 四边形是矩形 ， ，， ， ，， ∴，， 边上的高为， ∴， 解得， ． 二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分） 9. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则的长为______． 【答案】 12 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据四条线段，，，成比例，得，再代入，，，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四条线段，，，成比例， ∴， ∴ ∵，，， 得， 解得， 故答案为：12． 10. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的知识点，解题思路是根据“方程有两个不相等实数根”这一条件，利用判别式建立关于k的不等式求解．解题关键是熟练掌握判别式与根的个数的关系，易错点是在解不等式时，忘记不等号方向改变的规则（当不等式两边同时除以负数时，不等号方向改变）． 【详解】方程的判别式; 由题意，即，解得． 故答案为： ． 11. 如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是_____（填一个即可） 【答案】∠C=∠BAD（答案不唯一） 【解析】 【详解】∵∠B=∠B（公共角）， ∴可添加：∠C=∠BAD． 此时可利用两角证明△ABC与△DBA相似． 故答案可为：∠C=∠BAD．（答案不唯一） 12. 为了积极响应《“健康中国”规划纲要》提出的全民健身要求，某体育中心周末向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场人次，第三周进场人次．若进场人次的周平均增长率相同，设进场人次的周平均增长率为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知第一周进场人次和第三周进场人次，周平均增长率为，第一周到第三周间隔周，根据增长率计算方法可列出方程． 【详解】解：∵第一周进场人次，周平均增长率为， ∴第二周进场人次为， ∵第三周在第二周的基础上增长，增长率仍为， ∴第三周进场人次为， 已知第三周进场人次，因此可列方程为． 13. 如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点（），若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，把，代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 或（舍去）． 14. 已知菱形的面积为，若对角线，则这个菱形的周长为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，先根据菱形的面积公式得出另一条对角线的长度，再由菱形的性质得出，进而根据勾股定理求出菱形的边长，再求周长即可． 【详解】如图， ∵菱形的面积为，对角线， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， ∴这个菱形的周长为， 故答案为：20． 15. 如图，中，，，．将平移得到，边和分别交于点，．若的面积为6，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长及的面积，由平移的性质可得，从而证得，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，即可求解． 【详解】解：中，，，， ，， 由平移得，， ， ， ，即， 解得． 16. 如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线的垂线段，则等于 ______ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵菱形的周长为，面积为， ，， ∵分别作点到直线的垂线段， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4.8． 三、解答题（共10小题，计72分） 17. 解方程∶ （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法然后选择适当的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴或， ∴． 18. 在由边长为的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到（的对应点是，的对应点是）． （2）用无刻度的直尺在线段上找一点，使得．（保留作图痕迹） 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，然后画图即可． （2）利用平行线分线段成比例和网格构造平行线，满足，，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点、作，且满足，，连接，与的交点即为所求的点； ∵， ∴， ∴． 19. 如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． （1）试判断四边形的形状，并说明你的理由； （2）求证：． 【答案】（1）矩形， 证明如下： ∵， 四边形是平行四边形． 又菱形对角线交于点 ，即． 四边形是矩形． （2） 证明：四边形是矩形 ， 在菱形中，． ． 【解析】 【分析】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定； （1）先证明四边形为平行四边形，再由由菱形的性质可证明，从而可证明四边形是矩形； （2）依据矩形的性质可得到，然后依据菱形的性质可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 定义：已知关于的一元二次方程（、、为常数，且）有两个实数根、，且，则称方程为“黄金方程”．例如：方程有两个实数根，且两个实数根之和为，两个实数根之积为，，∴方程是黄金方程． 请你根据此定义，解答下列问题： （1）请通过计算判断方程是否为“黄金方程”； （2）已知关于的方程为“黄金方程”，求的值． 【答案】（1）方程不是“黄金方程”，理由如下： 在方程中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，， ， 该方程不是“黄金方程”． （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据“黄金方程”的定义及根与系数的关系进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得：，，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由关于的方程可知：， ∴，根据根与系数的关系可得：，， ∵为“黄金方程”， ∴， 解得：， 把代入，符合方程有两个不相等的实数根， ∴． 21. 如图，在中，为上一点，为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）6 【解析】 【分析】（1）根据可得，即，再结合即可证明结论； （2）根据可得，再将已知条件代入求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：． 22. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小明利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小明的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，据题意可得，，，可证明，再利用相似三角形的性质列出比例式求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，， 又∵， ， ． ，， ， ， ． 答：树高为． 23. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出箱，每箱利润元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每降价元，平均每天可多售出箱． （1）若降价元，每天能售出______箱饮料，若降价元（），每天能售出______箱饮料； （2）若要使每天销售该饮料获利元，为了扩大销售，则每箱应降价多少元？ 【答案】（1）； （2）元 【解析】 【分析】（1）根据等量关系填空即可； （2）根据等量关系列出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：每降价元，平均每天可多售出箱，加上原来每天可售出的箱可得（箱）； 每降价元，平均每天可多售出箱， 降价元（），多售出箱， 总共售出箱． 【小问2详解】 解：设每箱应降价元，根据题意得： 整理得， 解得，， 当时，销售量为箱，当时，销售量为箱， 要扩大销售，取 答：每箱应降价元 24. 如图，一艘轮船以的速度由西向东航行，在图中点处接到台风警报，台风中心点正以的速度由南向北移动．已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区．当轮船接到台风警报时，测得，．如果这艘轮船不改变航向，船会不会进入台风影响区？若不会，说明理由；若会，求出受影响的时间． 【答案】会进入台风影响区；受影响的时间为． 【解析】 【分析】先由勾股定理求出轮船接到警报时到两条路径交点的距离，再把轮船与台风中心沿互相垂直的两个方向移动的路程都表示成时间的式子；用完全平方公式求距离平方的最小值判断是否进入影响区，再由轮船恰在影响区边界上的两个时刻求受影响的时间． 【详解】解：由题图知，是直角三角形． 由勾股定理得． 所以． 轮船由西向东每小时行，台风中心由南向北每小时行． 设经过，轮船与台风中心相距． 此时轮船到的距离为． 台风中心到的距离为． 由勾股定理得． 展开并整理得． 由完全平方公式得． 当时，最小，为． 因为，所以此时． 所以轮船会进入台风影响区． 令，得． 即，所以． 解得或，这两个时刻轮船恰在影响区边界上． 当时，，，轮船在影响区内． 受影响时间为（）． 答：轮船会进入台风影响区，受影响的时间为． 25. 如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动． （1）经过多长时间，的面积等于矩形面积的？ （2）是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）秒或秒 （2）存在，秒或秒 【解析】 【分析】（1）设经过秒，的面积等于矩形面积的，由题意得，，，先求得矩形的面积，再根据的面积等于矩形面积的，得到关于的一元二次方程求解； （2）由题意得，，，再分、两种情况，分别得到关于的方程求解即可． 【小问1详解】 解：设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，， ∴，，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， ∴， 解得：，， 答：经过秒或秒，的面积等于矩形面积的； 【小问2详解】 由题意得，，， 若， 则有， ∴， 解得：， 若， 则有， ∴， 解得：， 答：当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形——动点问题，利用相似三角形的性质求解，动态几何问题(一元二次方程的应用)，根据矩形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 26. 综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】（1）如图①，在正方形中，E是上一点，于点F，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．可证．请写出证明过程； 【深入思考】（2）在（1）的条件下，如图②，若延长，交于点H，试猜想线段，，之间的数量关系． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，如图③，连接，将线段绕点H逆时针旋转得到线段，点P在上，试猜想，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）得：， ， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴； （3）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， 由旋转可知 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）可推出，从而，根据即可得证； （2）根据进而可推出矩形是正方形，从而，进一步得出结果； （3）在上截取，证明得，进而得出，从而，进一步得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $