精品解析：上海外国语大学附属大境中学2026-2027学年高二上学期期中考试调研数学试卷

上外附属大境中学2026学年度第一学期期中考试调研 高二年级数学试卷 （90分钟内完成，总分120分） 一．填空题（本大题共12小题，1—6每题4分，7—12每题5分，共54分） 1. “点在平面上”用集合符号表示是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的语言书写即可. 【详解】“点在平面上”用集合符号表示为： . 故答案为：. 2. 若向量与向量共线，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为向量与向量共线， 故存在，使得，故， 故，故，故. 3. “直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的_________条件． 【答案】充要 【解析】 【分析】利用充要条件的判定方法，结合直线与平面平行的定义即可判断． 【详解】由直线平面，易知直线与平面没有公共点，故直线与平面内的任意 直线都没有公共点，故充分性成立； 又由直线与平面内的任意直线都没有公共点，即直线与平面没有任何公共点， 则直线平面，故必要性成立， 故“直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的充要条件． 故答案为：充要． 4. 已知表示连续自然数的积，用排列数表示________． 【答案】 【解析】 【详解】，. 5. 已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：先求出的直观图的面积，再代入即得； 方法二：根据的直观图作出的平面图，再求其面积即可. 【详解】方法一：由图知的直观图的面积为：， 则的面积为：. 方法二：根据的直观图作出的平面图为： 其中：，且， 则. 故答案为：. 6. 在四面体中，若，，两两互相垂直，则点P在平面上的投影是的___________心. 【答案】垂心 【解析】 【分析】证明平面，得，根据平面，得，可证得平面，得，同理可证得，即可得出结论. 【详解】解：在四面体中，若，，两两互相垂直， 则平面，平面，平面， 又平面，所以， 设点P在平面上的投影为点O， 则平面，又平面，所以， 又因，所以平面， 又平面，所以， 同理，， 所以点O是的垂心. 故答案为：垂心. 7. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】 【解析】 【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出. 【详解】［方法一］：反面考虑 没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法， 故至少有位女生入选，则不同的选法共有种． 故答案为：. ［方法二］：正面考虑 若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种； 若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种． 故答案为：. 【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法； 方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出． 8. 如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为________． 【答案】 【解析】 【详解】设正四棱柱底面边长为，高为，由题知底面四边形为正方形， 由，，，， 由，，， . 9. “PVC”材质的交通路障因其便携、耐用、易塑形等优点被广泛应用于实际生活中．某厂家设计的一款实心交通路障模型如下图所示，该几何体的底部是一个正四棱柱（底面是正方形的直棱柱），上部是一个圆台，结合图中所给的数据（单位：），则该几何体的体积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求正四棱柱和圆台的体积，即可求解. 【详解】由图可知，底部正四棱柱底面正方形的对角线长为，高为， 所以正四棱柱的体积为， 圆台上底面的直径为，下底面的直径为，高为， 所以圆台的体积为， 所以该几何体的体积为. 故答案为： 10. 已知两个平行平面间的距离为2，这两个平面截球所得两个截面圆的半径分别为1和，则球O的表面积等于______. 【答案】 【解析】 【分析】设球半径为，球心到截面距离分别为，，则，，再根据球心在两个截面的同侧和球心在两个截面的两侧列式求解即可. 【详解】解：设球半径为，球心到截面距离分别为，，则，， 若球心在两个截面的同侧，故，即， 两边平方化简得，不合题意. 若球心在两个截面之间，则，即，解得. 所以球的表面积等于. 故答案为： 11. 从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是______. 【答案】 【解析】 【分析】将所有直线分为正方体的棱，面对角线，体对角线三类，然后讨论不同情况的时候的异面直线的夹角的余弦值即可. 【详解】利用异面直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类： 两条棱所在直线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 面对角线与棱所在直线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 两条面对角线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 体对角线与棱所在直线异面时，所成角的余弦值为； 体对角线与面对角线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 所以从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是. 12. 在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为，动点到直线的距离为，若二面角为，则以下结论正确的有______（写上正确结论的序号） ①；②；③当时，平面；④当平面时， 【答案】②③ 【解析】 【分析】过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，由条件可得，解三角形可得，由此判断②；当点与点的距离无限大时，可得趋向于，由此判断①；先证明平面，结合，证明重合，由此证明平面，即可判断③；由平面推出点与点重合，点与点重合，判断④. 【详解】不失一般性作图如下： 过点作，为垂足，过点作，为垂足， 过点作，连接，则， 因为二面角为，所以， 由已知，所以，所以， 故，②正确； 当点与点的距离无限大时，无限大，无限靠近， 此时趋向于，①错误； 因为平面， 所以平面，又平面，所以， 若不重合，结合平面， 可得平面，平面， 所以，矛盾，所以重合， 因为平面， 所以平面，故平面，③正确； 因为平面，若平面， 则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合， 故与的夹角为，④错误. 二．选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题只有一个正确答案） 13. 充满气的车轮内胎（忽略厚度）可由下面哪个图形绕着对称轴旋转而成（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据车轮内胎的几何体特征即可求解. 【详解】车内胎截面为圆形，故车轮内胎是由圆形绕车轮轴所在的直线旋转一周得到. 故选：C 14. 已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：若，，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C：若，则都有 ，又，则使得， ∴，又，∴，故C正确； 对于D：若，，则或或或与相交但不垂直，故D错误. 故选：C 15. 将3种植物种植在如图所示的4块试验田内，每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有（ ） 第一试验田 第二试验田 第三试验田 第四试验田 A. 24种 B. 21种 C. 18种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①在3种植物中选出1种，安排在4块试验田中不相邻的两块，②剩下的2种植物安排在剩下的2块试验田，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析： ①在3种植物中选出1种，安排在4块试验田中不相邻的两块，有种情况， ②剩下的2种植物安排在剩下的2块试验田，有种情况， 则有种不同的种植方法． 故选：C． 16. 如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点当点由点出发向点运动的过程中，以下结论中不正确的是（ ） A. 直线与直线始终垂直 B. 直线与直线始终异面 C. 直线与直线可能垂直 D. 直线与直线可能垂直 【答案】C 【解析】 【分析】证明平面，从而可证四点不共面，即可判断AB；设，将分别用表示，假设直线与直线CP垂直，则，求出即可判断C；证明平面，即可判断D. 【详解】对于A，连接 因为正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，所以，平面 又因平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 故A正确. 在正三棱柱中， 因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面，，， 所以四点不共面， 所以直线与直线CP始终异面，故B正确； 对于C，设， 则， ， 若直线与直线CP垂直，则， 即， 所以， 即，解得， 因为，所以不存在点使得直线与直线垂直，故C错误； 对于D，连接， 因为为的中点，所以， 又因平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D正确. 故选：C. 三．解答题（12+12+12+14，共50分） 17. 将个编号分别为，，，的小球放入个编号分别为，，，的盒子中． （1）若每个盒子可放多个小球，一共有多少种放法？ （2）若每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ （3）若恰好有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】（1）种； （2）种； （3）种. 【解析】 【分析】（1）按分步乘法计数原理计算即可； （2）每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则先确定编号相同的元素，剩余的两元素错位，仅有一种方法，分步乘法计数原理求解即可； （3）有一个空盒，则个小球分成三组，则其中一个盒内有个小球，则等价于三个元素安排排序，有四个位置可选，为种，采用分步乘法计数原理运算即可. 【小问1详解】 每个小球有种放法，则个小球有种放法. 【小问2详解】 恰有个球放入编号相同的盒子内，有种放法， 剩下个小球放入编号不同的盒子中，有种放法，有种不同的放法． 【小问3详解】 第一步在个球中任选个放在一起有种方法， 第二步在个盒子中任选个盒子，将选出的两个球作为一组，和剩下的两个球分别放入个盒子，有种放法， 有种放法． 18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】（1）由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）距离为1. 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 19. 如图，在四棱锥中，，，，且，平面平面，三棱锥的体积为. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据已知条件可得，再由面面垂直的性质证明平面，可得，由三棱锥的体积求出的长，由勾股定理逆定理可得，再由线面垂直的判定定理即可求证； （2）过点作平面的垂线，建立空间直线坐标系，求出平面和平面的法向量，由空间向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接，因为，， 所以，且， 因为平面平面，平面平面，面， 所以平面，可得， 因为，，所以， 所以， 所以，所以， 又因为，，可得，， 又因为，所以平面； （2）由（1）知，过点作平面的垂线，建立空间直线坐标系如图所示，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，可得，令，则，， 所以， 设平面的法向量为， 则，可得令，则，， 所以， 则， 由图可知二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 20. 在棱长为的正方体中， （1）若点在线段上运动，异面直线与所成的角为，求的最小值； （2）若，分别是，上的动点， ①求的最小值； ②若平面与平面所成锐二面角的大小为，平面与平面所成锐二面角的大小为，试求的最小值，及此时点的位置．（可能用到的三角公式：） 【答案】（1） （2）① ②点位于的中点时， 【解析】 【分析】（1）连接，根据可得为异面直线与所成的角，在中表示再根据范围求的最小值； （2）①利用两条动直线所在的平面展开为共面图形，从而可求点到直线的垂线段最短；②利用空间关系作出两平面的二面角与，再利用去求的最小值，从而问题得解. 【小问1详解】 连接，根据对称性知：.设 在中，， 当时，根据等面积法，故； 易知，故为异面直线与所成的角； 在中，由余弦定理得， 因为，所以，故. 【小问2详解】 ①是上的动点，由题意知，面，是上的动点，面， 要求的最小值，把平面和平面展成一个平面， 如图，当时，最小， 为等腰直角三角形，， 其中，则，则， 可得， 则， 故的最小值为. ②连接交于点，连接交于点， 由平面，得； 又平面，所以平面， 又因为平面，可得平面平面. 平面平面，过点作交于，则平面， 又因为平面，所以， 连接，可得平面，平面， 又因为平面，所以， 由二面角的定义可得为平面与平面所成的二面角， 为平面与平面所成的二面角. 设，则， 当时，有， 所以； 而当时，， 上式仍然成立，类似的可以验证当时，上式也成立. 于是，当时，即点位于的中点时，取最小值为， 又，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上外附属大境中学2026学年度第一学期期中考试调研 高二年级数学试卷 （90分钟内完成，总分120分） 一．填空题（本大题共12小题，1—6每题4分，7—12每题5分，共54分） 1. “点在平面上”用集合符号表示是_____ 2. 若向量与向量共线，则的值为________． 3. “直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的_________条件． 4. 已知表示连续自然数的积，用排列数表示________． 5. 已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为_________． 6. 在四面体中，若，，两两互相垂直，则点P在平面上的投影是的___________心. 7. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 8. 如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为________． 9. “PVC”材质的交通路障因其便携、耐用、易塑形等优点被广泛应用于实际生活中．某厂家设计的一款实心交通路障模型如下图所示，该几何体的底部是一个正四棱柱（底面是正方形的直棱柱），上部是一个圆台，结合图中所给的数据（单位：），则该几何体的体积为____________． 10. 已知两个平行平面间的距离为2，这两个平面截球所得两个截面圆的半径分别为1和，则球O的表面积等于______. 11. 从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是______. 12. 在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为，动点到直线的距离为，若二面角为，则以下结论正确的有______（写上正确结论的序号） ①；②；③当时，平面；④当平面时， 二．选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题只有一个正确答案） 13. 充满气的车轮内胎（忽略厚度）可由下面哪个图形绕着对称轴旋转而成（ ） A. B. C. D. 14. 已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 15. 将3种植物种植在如图所示的4块试验田内，每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有（ ） 第一试验田 第二试验田 第三试验田 第四试验田 A. 24种 B. 21种 C. 18种 D. 12种 16. 如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点当点由点出发向点运动的过程中，以下结论中不正确的是（ ） A. 直线与直线始终垂直 B. 直线与直线始终异面 C. 直线与直线可能垂直 D. 直线与直线可能垂直 三．解答题（12+12+12+14，共50分） 17. 将个编号分别为，，，的小球放入个编号分别为，，，的盒子中． （1）若每个盒子可放多个小球，一共有多少种放法？ （2）若每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ （3）若恰好有一个空盒，有多少种放法？ 18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 19. 如图，在四棱锥中，，，，且，平面平面，三棱锥的体积为. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 20. 在棱长为的正方体中， （1）若点在线段上运动，异面直线与所成的角为，求的最小值； （2）若，分别是，上的动点， ①求的最小值； ②若平面与平面所成锐二面角的大小为，平面与平面所成锐二面角的大小为，试求的最小值，及此时点的位置．（可能用到的三角公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $