精品解析：新疆维吾尔自治区和田地区 2026-2027学年第一学期期中监测九年级数学试卷

和田地区2026-2027学年第一学期期中监测 九年级数学试卷 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 方程化成一般形式后，它的常数项是（ ） A. B. 5 C. 0 D. 1 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 把函数y=﹣2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移6个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　） A. y=﹣2（x﹣1）2+6 B. y=﹣2（x﹣1）2﹣6 C. y=﹣2（x+1）2+6 D. y=﹣2（x+1）2﹣6 5. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（ ） A. 3 B. 3 C. 4 D. 4 6. 已知抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 当时，随的增大而减小 7. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 8. 某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为450万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，为的中点，动点，，同时分别沿，，的方向匀速移动，且三个动点的移动速度相等，当点到达点时，，，均停止移动，设，的面积为，则关于的函数图像为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填写在题中横线上．） 10. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是____． 11. 如图，将一块含角的直角三角板绕点逆时针旋转，点A的对应点是点D．若点E恰好在的延长线上，则三角板旋转的度数是_________度． 12. 点P(2m－3，1)在反比例函数y＝的图象上，则m＝______． 13. 已知抛物线的顶点在坐标轴上，则k的值为_____． 14. 某公园雕塑的顶端点处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系（如图），则水柱落地点与雕塑的水平距离为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明或验算过程．） 16. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 17. 已知关于x的一元二次方程-x2+（3-k）x+k-1=0，其中k为常数． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若函数y=-x2+（3-k）x+k-1的图象不经过第二象限，求k的取值范围． 18. 如图，在中，以为边在外作正，连接． （1）以点A为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形（保留作图痕迹）； （2）若，，，求的长． 19. 如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点． （1）求m的值和反比例函数解析式； （2）当时，求x的取值范围． 20. 如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． （1）求证：平分； （2）若，，求的度数． 21. 和田土月饼是新疆和田地区的传统特色糕点．和田土月饼历史悠久，它不仅是美食，更是民族团结的象征．其馅料融合多种食材，寓意各族人民团结一心、共享幸福生活，被当地人亲切称为“团结饼”．某土月饼商购进一批进价为元盒的一种和田土月饼，当销售价为元盒时，每天可售出盒．经市场调查发现，若这种和田土月饼每降价元，那么平均每天可多售出盒．现该土月饼商计划降价销售，请回答下列问题： （1）当销售价为元盒时，每天的销售量为______盒，每天盈利______元； （2）当每盒和田土月饼降价多少元时，土月饼商销售该和田土月饼平均每天盈利最多？盈利最多为多少元？ 22. 如图，在中，，，，点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． （1）当时，求的面积． （2）当的面积为时，求的值． 23. 如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． （1）求该抛物线的表达式及D点的坐标； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 和田地区2026-2027学年第一学期期中监测 九年级数学试卷 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 方程化成一般形式后，它的常数项是（ ） A. B. 5 C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一般式的形式以及掌握单项式乘以多项式的运算法则是解本题的关键．根据单项式乘以多项式将原式展开，然后整理为的形式即可． 【详解】解：原方程化为一般形式， 得，常数项为0， 故选：C． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 两边开平方得． 移项得， ∴，． 3. 已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向可得，与轴交点在负半轴可得，其对称轴在正半轴可得，再判断点所在的象限． 【详解】解：根据图象开口向上，可知，与轴交点在负半轴可得， 其对称轴在正半轴，即，可得， 所以， 所以点在第三象限． 4. 把函数y=﹣2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移6个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　） A. y=﹣2（x﹣1）2+6 B. y=﹣2（x﹣1）2﹣6 C. y=﹣2（x+1）2+6 D. y=﹣2（x+1）2﹣6 【答案】C 【解析】 【详解】原抛物线的顶点坐标为(1,3),向左平移2个单位,再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为(−1,6).可设新抛物线的解析式为：y=−2(x−h) ²+k,代入得：y=−2(x+1) ²+6. 故选C. 5. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（ ） A. 3 B. 3 C. 4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】无需计算参数，利用一元二次方程根与系数的关系可直接求解另一根． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵一元二次方程为， ∴由根与系数的关系得两根之积为， ∵方程的一个根为， ∴， ∴． 6. 已知抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式可得二次项系数，对称轴和顶点坐标，进而判断出对应的增减性，据此可得答案． 【详解】解：抛物线中，，抛物线开口向上，故A错误； 对称轴为直线，故B错误； 顶点坐标为，故C正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 7. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：①二次项系数不为零，②在有实数根下必须满足，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， 故选：D． 8. 某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为450万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，如果平均每月增长率为x，根据某超市1月份的营业额为200万元，则2月份的营业额为万元，3月份的营业额为万元，即可列方程． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，，为的中点，动点，，同时分别沿，，的方向匀速移动，且三个动点的移动速度相等，当点到达点时，，，均停止移动，设，的面积为，则关于的函数图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据矩形的性质以及中点的定义可得，即；再分、两种情况求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由勾股定理得， ，即； 当时，如图，，， ，即， 观察选项可知选B符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填写在题中横线上．） 10. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】已知,是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ,是方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ∴ ． 11. 如图，将一块含角的直角三角板绕点逆时针旋转，点A的对应点是点D．若点E恰好在的延长线上，则三角板旋转的度数是_________度． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知如图是含角的直角三角板，可得,由旋转的性质可知，旋转角为计算其度数即可． 【详解】由题可知如图是含角的直角三角板， ∴， ∴由旋转的性质可得 ∵点E恰好在的延长线上， ∴． 12. 点P(2m－3，1)在反比例函数y＝的图象上，则m＝______． 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：根据点P在反比例函数y＝的图像上，可直接代入可得，解得2m-3=1，即m=2. 考点：反比例函数的解析式 13. 已知抛物线的顶点在坐标轴上，则k的值为_____． 【答案】4，， 【解析】 【分析】由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论． 【详解】当抛物线的顶点在轴上时，， 即， 解得或， 当抛物线的顶点在轴上时，， 解得， 故答案为：4，，． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 14. 某公园雕塑的顶端点处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系（如图），则水柱落地点与雕塑的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式，令求解即可． 【详解】解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得， 解得， 该抛物线的函数表达式为， 令得，， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作于点，利用正方形性质证明，从而用表示出点的坐标，根据点均在反比例函数图象上建立关于的等式，进而求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作于点． 轴，， ． 四边形是正方形， ，， ， 又， ． 在与中， ， ， ，． ， ，， ，， 点的横坐标为，纵坐标为， ． 点均在反比例函数的图象上， ， ， 等式两边同时除以，得． 设，则，即， 解得． ，， ， ． 三、解答题（本大题共8小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明或验算过程．） 16. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）提取公因式，因式分解求解． （2）十字相乘法因式分解或公式法解方程． 【小问1详解】 因式分解法： ， ， ∴或， 、． 【小问2详解】 因式分解法： ， ， ∴或， 、． 公式法： 在中、、， 判别式：， ∴， 、． 17. 已知关于x的一元二次方程-x2+（3-k）x+k-1=0，其中k为常数． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若函数y=-x2+（3-k）x+k-1的图象不经过第二象限，求k的取值范围． 【答案】（1）无论k为何值，方程总有两个不相等实数根（2）k≤1 【解析】 【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明； （2）根据题意可知抛物线开口向下，且图象不经过第二象限，由（1）可知函数与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，根据根与系数的关系可得到关于k的不等式，然后求解不等式即可. 【详解】（1）证明：∵△=（3-k）2-4×（-1）（k-1）=k2-2k+5=（k-1）2+4＞0， ∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）解：∵二次项系数a=-1， ∴抛物线开口方向向下， ∵△=（k-1）2+4＞0， ∴抛物线与x轴有两个交点， 设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2， ∵二次函数y=-x2+（3-k）x+k-1的图象不经过第二象限， ∴x1+x2=3-k＞0，x1•x2=-（k-1）≥0， 解得k≤1， 即k的取值范围是k≤1． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中． 18. 如图，在中，以为边在外作正，连接． （1）以点A为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形（保留作图痕迹）； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）解：如图，为所作； （2） 【解析】 【分析】（1）由于为等边三角形，则，，则作等边即可； （2）连结，如图，根据旋转的性质得，，，可得，，加上，所以，然后利用勾股定理计算出．从而得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连结，如图， ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 而， ∴， 在中，， ∴． 19. 如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点． （1）求m的值和反比例函数解析式； （2）当时，求x的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点可得的值，进而可求反比例函数的表达式； （2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 将点代入得： 解得： 将代入得： ∴ 【小问2详解】 由得：，解得 所以的坐标分别为 由图形可得：当或时， 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质． 20. 如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． （1）求证：平分； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：由题意，得，， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用等边对等角求得，即可得到； （2）根据旋转的性质可得，，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，得，， ，， ， ， ， ． 21. 和田土月饼是新疆和田地区的传统特色糕点．和田土月饼历史悠久，它不仅是美食，更是民族团结的象征．其馅料融合多种食材，寓意各族人民团结一心、共享幸福生活，被当地人亲切称为“团结饼”．某土月饼商购进一批进价为元盒的一种和田土月饼，当销售价为元盒时，每天可售出盒．经市场调查发现，若这种和田土月饼每降价元，那么平均每天可多售出盒．现该土月饼商计划降价销售，请回答下列问题： （1）当销售价为元盒时，每天的销售量为______盒，每天盈利______元； （2）当每盒和田土月饼降价多少元时，土月饼商销售该和田土月饼平均每天盈利最多？盈利最多为多少元？ 【答案】（1）； （2）当每盒月饼降价元时，平均每天盈利最多，最多盈利为元 【解析】 【分析】（1）根据题意分别计算每天的销售量和盈利； （2）设降价元，每天盈利元，根据题意列出函数解析式，结合二次函数的图象与性质求出最大值即可． 【小问1详解】 解：（盒）， ∴每天的销售量为盒， （元）， ∴每天盈利元； 【小问2详解】 解：设降价元，每天盈利元， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值． 答：当每盒月饼降价元时，平均每天盈利最多，最多盈利为元． 22. 如图，在中，，，，点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． （1）当时，求的面积． （2）当的面积为时，求的值． 【答案】（1） （2）的值为2或8秒 【解析】 【分析】（1）根据可得，的长，即可求解； （2）由题意得，，，则，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，，，则， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； ∴的值为2或8秒． 23. 如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． （1）求该抛物线的表达式及D点的坐标； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为：，点的坐标为 （2）①②点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将A点和B点坐标代入表达式，解二元一次方程组即可得到抛物线的表达式，将表达式化为顶点式，就可以得到D点的坐标； （2）①先求出点C和点P的坐标，再求出所在直线的表达式，过点P向x轴作垂线交于点E，数形结合，写出面积的表达式即可得到结果； ②利用平行四边形的性质求解，进行分类讨论，为对角线时，点B和点D的中点坐标也是点P和点Q的中点坐标；为边时，且，设和所在直线的表达式为、，则，再分别求出和，联立求解即可 ． 【小问1详解】 解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $