精品解析：广西壮族自治区贵港市桂平市2025-2026学年高二上学期11月期中调研检测数学试题

2025年秋季学期高中二年级调研检测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版/北师大版必修第一、二册，选择性必修第一册第一章至第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C D. 2. 已知，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 若抛物线与抛物线关于直线对称，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 8. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列判断正确的是（ ） A. 在轴上的截距为3 B. 若，则 C. 若，则 D. 若相交于一点，则 10. 已知圆与圆外离，则m的取值可能是（ ） A. -3 B. 1 C. 4 D. 6 11. 已知函数为奇函数，其图象与直线其中两个交点的横坐标分别为的最小值为，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 曲线的一条对称轴为直线 B. 曲线的一个对称中心为点 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______ 13. 已知椭圆C的两焦点为，P，Q为椭圆C上的动点，的周长为10，则 的最大值为___． 14. 在三棱柱中，的外心为,则的长为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上，且圆过和两点. （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆的公共弦长. 16. 设的内角所对的边分别为已知． （1）求的面积； （2）求． 17. 某环保组织进行了关于生态文明建设的知识竞赛，随机调查了100名参与者，统计了这100人答对的题数，将统计数据分为六个小组，得到的频率分布直方图如图所示，已知答对题数在内的人数是答对题数在内的人数的5倍． （1）求频率分布直方图中a，b的值，并估计这100人答对题数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）设成绩在前答题者被认定为“环保知识小达人”，按是否为“环保知识小达人”用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取2人，求这2人中至少有1人为“环保知识小达人”的概率． 18. 如图1所示，在梯形中，把沿折起，得到四棱锥，如图2所示． （1）若，证明：平面． （2）若平面平面，在同一个球面上，设该球面所在球的球心为O，证明：点O在平面内． （3）若平面与平面夹角余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“辅助圆”．已知椭圆的焦距为，短轴长为． （1）求C及C的辅助圆的方程． （2）已知与y轴平行，且不经过原点O的直线DE与C及C的辅助圆分别交于D，E两点（D，E均在同一个象限），过E作C的辅助圆的切线与x轴交于点F，且直线OD的斜率为k，记的面积为S，证明：． （3）已知斜率不为0，且不经过原点O的直线l与C交于A，B两点，判断在C的辅助圆上是否存在点P，使得四边形是平行四边形．若存在，求面积的最大值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期高中二年级调研检测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版/北师大版必修第一、二册，选择性必修第一册第一章至第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集运算直接求得结果. 【详解】因为，， 所以， 故选：A. 2. 已知，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称量词命题的否定形式可直接得到结果. 【详解】由特称量词命题的否定可知，. 故选：B. 3. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的运算法则化简，再结合复数的几何意义判断即可. 【详解】由， 则对应的点为，位于第三象限. 故选：C 4. 已知分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及题设条件建立两个方程，易得. 【详解】由双曲线定义知. 故选：D 5. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算法则列式求值. 【详解】因为，所以， 即. 故选：D 6. 若抛物线与抛物线关于直线对称，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得抛物线的焦点坐标，再根据点关于直线对称的知识求得的焦点坐标. 【详解】由题意得的焦点为， 设关于直线的对称点为， 则得 故的焦点坐标为. 故选：D 7. 已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数的对称性将不等式转化为自变量绝对值的大小关系，再结合对数函数的单调性求解不等式. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 则不等式可转化为， 由于在上单调递减，则等价于， 由可得，因为即，解得； 即，解得； 因此，不等式的解集为. 故选：B. 8. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式计算得的最小值，再解一元二次不等式即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当， 即，时，等号成立，所以，即． 因为恒成立，所以， 即，解得． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列判断正确的是（ ） A. 在轴上的截距为3 B. 若，则 C. 若，则 D. 若相交于一点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】通过直线截距定义分析A；依据平行、垂直的斜率关系分析B、C；求解两直线交点并代入第三条直线分析D. 【详解】选项A：令中，得，故在x轴上的截距为，A错误. 选项B：斜率为，斜率为，若，则，解得，B正确. 选项C：若，则，解得，C正确. 选项D：由解得， 所以与的交点为，代入得，解得，D错误. 故选：BC 10. 已知圆与圆外离，则m的取值可能是（ ） A. -3 B. 1 C. 4 D. 6 【答案】BC 【解析】 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，根据两圆外离可知圆心距大于两半径之和，解出m的取值范围，即可得到结果. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为， 半径（其中，即）， 圆与圆的圆心距为， 若圆与圆外离，则，即，解得：， 故满足题目要求的为BC选项， 故选：BC. 11. 已知函数为奇函数，其图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为的最小值为，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 曲线的一条对称轴为直线 B. 曲线的一个对称中心为点 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据正余弦函数的性质求出的解析式，再根据平移变换得出函数的解析式，再根据正弦函数的对称性，单调性及值域逐一分析判断即可. 【详解】因为函数为奇函数， 所以， 又，所以， 所以， 则， 又的图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为的最小值为， 所以函数的最小正周期，即，所以， 所以， 则， 对于A，因为， 所以曲线的一条对称轴为直线，故A正确； 对于B，因为， 所以点不是曲线的一个对称中心，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 所以函数在上的值域为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】需要由内到外逐步计算，先求，再将结果代入求的值. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为： 13. 已知椭圆C的两焦点为，P，Q为椭圆C上的动点，的周长为10，则 的最大值为___． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义得到和的关系，再结合椭圆的性质即可求出. 【详解】椭圆C的两焦点为，P为椭圆C上的动点，的周长为10，，即， 又Q为椭圆C上的动点，到焦点距离的最大值为， 的最大值为. 故答案为：. 14. 在三棱柱中，的外心为,则的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合三角形外接圆性质，运用基底法解决向量模长问题. 【详解】 设,由题意知,则 得,得, 因为, 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上，且圆过和两点. （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆的公共弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据已知条件求得，从而求得圆的标准方程. （2）先求得两圆公共弦所在直线方程，然后利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得公共弦长. 【小问1详解】 设圆， 由题意得 得 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距，所以两圆相交 由，两式相减得， 则圆与圆的公共弦所在直线的方程为. 因为点到直线的距离， 所以圆与圆的公共弦长为. 16. 设的内角所对的边分别为已知． （1）求的面积； （2）求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理角化边，再由余弦定理求角，即可求三角形面积； (2)利用条件可求得各边长，然后求得两角的正余弦值，最后利用余弦的两角差公式求值即可. 【小问1详解】 由，结合正弦定理可得： ， 再由余弦定理得：， 由此可知，则， 又因为， 所以的面积为； 【小问2详解】 再由，可解得：， 再由余弦定理可得：， ， 结合可得：，， 则. 17. 某环保组织进行了关于生态文明建设的知识竞赛，随机调查了100名参与者，统计了这100人答对的题数，将统计数据分为六个小组，得到的频率分布直方图如图所示，已知答对题数在内的人数是答对题数在内的人数的5倍． （1）求频率分布直方图中a，b的值，并估计这100人答对题数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）设成绩在前的答题者被认定为“环保知识小达人”，按是否为“环保知识小达人”用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取2人，求这2人中至少有1人为“环保知识小达人”的概率． 【答案】（1），，平均数为 （2） 【解析】 【分析】（1）由题设及各组的频率和为1即可求得，再根据平均数的定义求解即可； （2）按照分层抽样先确定抽取的环保知识小达人人数情况，再列举出所有情况结合古典概型的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意，答对题数在内的人数是答对题数在内的人数的5倍， 则， 由，解得. 估计这100人答对题数的平均数为 . 【小问2详解】 由题意，按照分层抽样的方法，在环保知识小达人中应抽取，设为， 则不是环保知识小达人中应抽取6人，设为， 从这8人中抽取2人，情况为：， ， ，共28种情况， 这2人中至少有1人为“环保知识小达人”的情况有：， ，共13种情况， 所以这2人中至少有1人为“环保知识小达人”的概率为． 18. 如图1所示，在梯形中，把沿折起，得到四棱锥，如图2所示． （1）若，证明：平面． （2）若平面平面，在同一个球面上，设该球面所在球的球心为O，证明：点O在平面内． （3）若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】(1)利用勾股定理证明线线垂直，再证明线面垂直，从而可证明线线垂直，问题即可得证； (2)利用建立空间直角坐标系，借助代数法来求解方程组，从而可证明球心位置； (3)利用空间向量法来求列出方程组求解假设的参数，从而用空间向量法求解线面角的正弦值. 【小问1详解】 由，可得， 所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面， 所以，又因为平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，则可如图建立如下坐标系， 根据题意可知： 再设在同一个球的球心坐标为，半径为 则有 由第一个式子与第二个式子相减可得：， 由第二个式子与第三个式子相减可得：， 由第三个式子与第四个式子相减可得：， 再代入求解可得，即球心坐标为， 所以点O在平面内； 【小问3详解】 根据平面，，可如图建系， 根据题意可知： 则，设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 而平面的法向量， 则， 即， 又因为， 则，解得：， 因为在上方，所以，则解得： 故，则， 而平面的法向量为， 所以直线与平面所成角的正弦值为： . 19. 以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“辅助圆”．已知椭圆的焦距为，短轴长为． （1）求C及C的辅助圆的方程． （2）已知与y轴平行，且不经过原点O的直线DE与C及C的辅助圆分别交于D，E两点（D，E均在同一个象限），过E作C的辅助圆的切线与x轴交于点F，且直线OD的斜率为k，记的面积为S，证明：． （3）已知斜率不为0，且不经过原点O的直线l与C交于A，B两点，判断在C的辅助圆上是否存在点P，使得四边形是平行四边形．若存在，求面积的最大值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到，即可求得椭圆的方程和辅助圆的方程为. （2）设直线的方程为，联立方程组求得点的坐标，再由为，求得，结合三角形的面积公式，即可得证； （3）设直线的方程为，根据题意，得到点满足，联立方程组，求得点的坐标代入圆的方程，求得，得到存在点使得四边形是平行四边形， ，令，得到，利用导数求得函数的最大值，即可得到答案. 【小问1详解】 因为椭圆的焦距为，短轴长为2． 可得，所以，所以， 所以椭圆的方程为，则椭圆的辅助圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，不妨设在第一象限， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 解得，所以，即， 将代入，可得，所以，即， 则点， 又因为为圆切线，可得切线方程为， 令，可得，即， 所以的面积为. 小问3详解】 ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且， 若四边形是平行四边形，当且仅当点满足，即， 联立方程组，整理得， 则， 所以， 将代入，可得， 整理得，可得， 对于任意，存在满足上式，且， 因此存在点使得四边形是平行四边形， 又由弦长公式，可得，原点到直线的距离为， 所以的面积为 因为，令，可得，所以， 可得， 则，令， 可得，令，即，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，函数取得最大值，最大值为， 即的面积的最大值为， ②当直线的斜率不存在时，设直线的方程为 要使得四边形平行四边形，则和互相平分， 根据椭圆的对称性，可得或， 将代入，可得，即，此时； 将代入，可得，即，此时. 此时的面积为， 综上可得，存在点使得四边形是平行四边形，最大面积为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $