精品解析：广东东莞市黄江中学2026-2027学年第一学期八年级数学期中质量检测

2026-2027学年第一学期期中质量检测 八年级数学 （总分：120分，时长：120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个图标中，是轴对称图案的为( ) A. B. C. D. 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A. 2、2、4 B. 2、6、3 C. 8、6、3 D. 11、4、6 3. 如图，AC与BD相交于点O，，要使，则需添加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，ABC中，AD是BC边上的中线，CE是ACD中AD边上的中线，如果ABC的面积是20，那么ACE的面积是（　　） A. 10 B. 6 C. 5 D. 4 5. 如图，在中，，，，垂足为D，若，则的长（ ） A. 13 B. 8 C. 6 D. 5 6. 一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小育只带了③去，此方案的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若的周长是15，，则的长为（ ） A. 6 B. 15 C. 21 D. 9 9. 如图，的两个外角的平分线相交于点O，若，则等于（　　） A. B. C. D. 10. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是_______． 12. 点关于x轴对称的点的坐标是______． 13. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是______． 14. 如图的三角形纸片中，AB＝6，AC＝7，BC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为______． 15. 如图，点是线段上一点，是等边三角形．与交于点与交于点与交于点．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分；⑤．其中正确的是______（填序号） 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 已知，，是三角形的三条边长，，． （1）求的取值范围； （2）若此三角形是等腰三角形，求出该三角形的周长． 17. 已知：，，求证：≌ 18. 综合实践： 某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案： 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离． 乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取两点，使，接着过点作的垂线交的延长线于点，则测出的长即为的距离． 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离． 以上三位同学所设计的方案，可行的有 ； 请你选择一可行的方案，说说它可行的理由． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，． （1）用尺规完成以下作图：作的角平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求的面积． 20. 如图，中，点．在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）在图中画出关于轴对称的； （2）的面积是 ． （3）在轴上找一点，使得的值最小，则点的坐标为 ． 21. 如图，是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，．求证：BH=HE． 五、解答题（22题13分，23题14分，共27分） 22. 学习数学，需要勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，我们发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．下面我们对“一线三垂直”模型进行探索与拓展． 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．例如：如图1，，过点作任意一条直线，于点，于点，则三个直角的顶点都在同一条直线上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又，． （1）【模型迁移】问题1：如图2，为等边三角形，点，，在三边上，，．求证：是等边三角形． （2）【模型探索】问题2：如图3，在Rt中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，．求：线段的长，写出详细解答过程． （3）【模型应用】问题3：如图4，在平面直角坐标系中，，，若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 23. 如图1，，分别是边长为的等边三角形的边，上的动点，点从顶点向顶点运动，点从顶点向顶点运动，两点同时出发且速度均为． （1）如图1，在点，运动的过程中，，交于点， ①和相等吗？请说明理由． ②的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变．则求出它的度数． （2）如图1，连接，设点，的运动时间为．求当为何值时，是直角三角形． （3）如图2，若点，分别在，的延长线上运动，作直线，交于点，其余条件不变，则在此运动过程中，的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变．则求出它的度数， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中质量检测 八年级数学 （总分：120分，时长：120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个图标中，是轴对称图案的为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，即可判定. 【详解】A选项，不符合轴对称图形的定义，不是轴对称图形； B选项，不符合轴对称图形的定义，不是轴对称图形； C选项，符合轴对称图形的定义，是轴对称图形； D选项，不符合轴对称图形的定义，不是轴对称图形； 故答案为C. 【点睛】此题主要考查对轴对称图形的理解，熟练掌握，即可解题. 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A. 2、2、4 B. 2、6、3 C. 8、6、3 D. 11、4、6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】根据三角形的三边关系，知 A、2+2=4，不能组成三角形； B、3+2=5＜6，不能组成三角形； C、3+6＞8，能够组成三角形； D、4+6＜11，不能组成三角形． 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 如图，AC与BD相交于点O，，要使，则需添加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：（已知），（对顶角相等）， A、当时，无法证明，不符合题意； B、当时，，可以证明，符合题意； C、当时，无法证明，不符合题意； D、，两个条件无法证明，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 4. 如图，ABC中，AD是BC边上的中线，CE是ACD中AD边上的中线，如果ABC的面积是20，那么ACE的面积是（　　） A. 10 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，即可解答． 【详解】解：∵AD是BC上的中线，△ABC的面积是20， ∴S△ACD＝S△ABD＝S△ABC＝10， ∵CE是△ACD中AD边上的中线， ∴S△ACE＝S△CED＝S△ACD＝5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键． 5. 如图，在中，，，，垂足为D，若，则的长（ ） A. 13 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质．熟练掌握含的直角三角形是解题的关键．由，得到，从而求得，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6. 一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小育只带了③去，此方案的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等），学会把实际问题转化为数学问题是解题的关键． 显然第③块中有完整的三个条件，用易证现要的三角形与原三角形全等． 【详解】因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用易证三角形全等． 故选：B． 7. 如图所示，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线，高线性质，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据角平分线性质得到，结合高线和直角三角形性质推出，即可解题． 【详解】解：是的角平分线，， ， 于点D，， ， ； 故选：C． 8. 如图，若的周长是15，，则的长为（ ） A. 6 B. 15 C. 21 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出，将的周长转化为，进而求解． 【详解】解：垂直平分，  ，  的周长为15，  ，  ，  ， ． 9. 如图，的两个外角的平分线相交于点O，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，由，可得，则，由的平分线相交于点O，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵的平分线相交于点O， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 10. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得∠DCE=2∠O，则有∠BDE=3∠O，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴∠O=∠CDO，∠DCE=∠CED， ∴∠DCE=2∠O，∠BDE=3∠O， ∵， ∴∠O=25°； 故选C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，分的角为顶角和底角，两种情况进行求解即可． 【详解】解：①的角可以为顶角； ②当的角为底角时，顶角的度数为：； 故答案为：或 12. 点关于x轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：与点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为． 13. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，三角形外角的性质等知识；由题意可求得 的度数，由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，由题意知， ∴ 故答案为：． 14. 如图的三角形纸片中，AB＝6，AC＝7，BC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】由题意可得：CD=DE，BC=BE=5，即可求AE=1，则可求△AED的周长． 【详解】解：∵折叠 ∴CD=DE，BC=BE=5 ∵AE=AB-BE ∴AE=6-5=1 ∴△AED的周长=AD+DE+AE=AD+DC+1=AC+1=7+1=8 故答案为：8． 【点睛】本题考查折叠问题，熟练掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 15. 如图，点是线段上一点，是等边三角形．与交于点与交于点与交于点．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分；⑤．其中正确的是______（填序号） 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】由“”可证，可得，故①正确；由“”可证，可得，可证是等边三角形，，故③⑤正确；由全等三角形的性质可得，可得，则可证不一定等于，即不一定垂直平分，故②错误；由全等三角形的性质可得，由面积公式可证，由“”可证，可得，故④正确． 【详解】解：∵是等边三角形， ，，， ， ∴， ，，故①正确， ， ， 又，， ∴， ，， ∴，故⑤正确； ， ∴是等边三角形，故③正确， ∵， ， ， ， 不一定等于， 不一定等于， 不一定等于， 又， 不一定垂直平分，故②错误； 如图，过点作于，于， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ， 平分，故④正确； 综上所述：正确的有①③④⑤； 故答案为：①③④⑤． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 已知，，是三角形的三条边长，，． （1）求的取值范围； （2）若此三角形是等腰三角形，求出该三角形的周长． 【答案】（1） （2）该三角形的周长为或 【解析】 【分析】（1）先根据绝对值的性质求出的值，再利用三角形三边关系确定的取值范围． （2）分腰长为3和腰长为5两种情况，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵，，是三角形的三条边，，， ∴，即． 【小问2详解】 解：∵此三角形是等腰三角形， ∴分两种情况讨论：①当腰长为3时，，此时三边长为3，3，5，，符合三角形三边关系，周长为； ②当腰长为5时，，此时三边长为3，5，5，，符合三角形三边关系，周长为． 综上所述，该三角形的周长为11或13． 17. 已知：，，求证：≌ 【答案】 证明：∵AC=AD，∠1=∠2，且AB=AB， ∴△ACB≌△ADB（SAS）. 【解析】 【分析】首先分析条件，已知一组边和一组角对应相等，隐含条件一组边相等，再思考全等三角形的判定定理即可得出答案. 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等. 18. 综合实践： 某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案： 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离． 乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取两点，使，接着过点作的垂线交的延长线于点，则测出的长即为的距离． 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离． 以上三位同学所设计的方案，可行的有 ； 请你选择一可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】（1）甲、乙、丙；（2）选甲（答案不唯一），理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质解题； （2）根据全等三角形的判定与性质解题,甲（SAS），乙（ASA），丙（ASA）． 【详解】（1）甲、乙、丙； （2）选甲（答案不唯一），理由如下： 在和中， ； 选乙： 在和中， ； 选丙：在和中， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、全等三角形的实际应用等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，． （1）用尺规完成以下作图：作的角平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 如图所示：即为所求； （2）7 【解析】 【分析】此题考查的是用尺规作图-作角平分线和角平分线的性质，掌握作角平分线方法和角平分线的性质是解决的关键． （1）根据用尺规作图作角平分线的方法作图即可； （2）过点作于，根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可求出结论． 【小问1详解】 解：以为圆心，任意长度为半径作弧，分别交于，然后分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于一点，连接A和该点并延长交于点， 【小问2详解】 解：过点作于， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，中，点．在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）在图中画出关于轴对称的； （2）的面积是 ． （3）在轴上找一点，使得的值最小，则点的坐标为 ． 【答案】（1） 如图所示， （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称变换和利用轴对称求最短路线问题； （1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用割补法计算面积即可； （3）利用轴对称求最短路线的方法得出点，找到关于轴的对称点，连接交轴于点，根据为网格的对角线，可得点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积是 【小问3详解】 解：如图所示，找到关于轴的对称点，连接交轴于点，根据坐标可得 故答案为：． 21. 如图，是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，．求证：BH=HE． 【答案】 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD是中线， ∴BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E， ∴∠DCB＝∠CDE＋∠E＝2∠E＝60°， ∴∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E， ∴DB=DE， ∵DH⊥BE， ∴BH=HE． 【解析】 【分析】由BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB＝60°，得∠DBC＝∠ABC＝30°，由CE＝CD，得∠CDE＝∠E，那么∠DCB＝∠CDE＋∠E＝60°，故∠E＝30°，进而推断出∠DBC＝∠E，得出DB=DE， 根据等腰三角形三线合一，结合DH⊥BE，得出BE=HE． 【详解】略 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，是解决本题的关键． 五、解答题（22题13分，23题14分，共27分） 22. 学习数学，需要勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，我们发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．下面我们对“一线三垂直”模型进行探索与拓展． 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．例如：如图1，，过点作任意一条直线，于点，于点，则三个直角的顶点都在同一条直线上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又，． （1）【模型迁移】问题1：如图2，为等边三角形，点，，在三边上，，．求证：是等边三角形． （2）【模型探索】问题2：如图3，在Rt中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，．求：线段的长，写出详细解答过程． （3）【模型应用】问题3：如图4，在平面直角坐标系中，，，若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）证明：为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）或或或 【解析】 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）证明，可得，即可求解； （3）分四种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 若， 如图，过点P作轴于点G， 同理（2）得：， ∴， ∴， 此时点P的坐标为； 如图，过点P作轴于点G， 同理（1）得：， ∴， ∴， 此时点P的坐标为； 若， 如图，过P作轴于点H， 同理（2）得：， ∴， ∴， 此时点P的坐标为； 如图，过P作轴于点H， 同理（1）得：， ∴， ∴， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 23. 如图1，，分别是边长为的等边三角形的边，上的动点，点从顶点向顶点运动，点从顶点向顶点运动，两点同时出发且速度均为． （1）如图1，在点，运动的过程中，，交于点， ①和相等吗？请说明理由． ②的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变．则求出它的度数． （2）如图1，连接，设点，的运动时间为．求当为何值时，是直角三角形． （3）如图2，若点，分别在，的延长线上运动，作直线，交于点，其余条件不变，则在此运动过程中，的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变．则求出它的度数， 【答案】（1）①，理由如下： 由题意得，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； ②的度数不会发生变化， （2）当或时，是直角三角形 （3）的度数不会发生变化， 【解析】 【分析】（1）①由题意得，，由等边三角形的性质得，，证得，即可得证；②由全等三角形的性质得到，进而得，再由三角形外角的性质即可求解； （2）由题意得，，则，分类讨论：当时，则或当时，则，再根据含角直角三角形的性质列方程求解即可； （3）由题意得，，由等边三角形的性质得，，进而得，，证得，得，再由对顶角相等得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：①略； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的度数不会发生变化，； 【小问2详解】 解：由题意得，，则， 当时，则， ∴， 即，解得， 当时，则， ∴， 即，解得， 综上，当或时，是直角三角形； 【小问3详解】 解：由题意得，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数不会发生变化，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $