精品解析：重庆市第九十五初级中学校2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试题

重庆九十五中2026-2027学年上期2028届（八年级）半期检测 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，共用120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，不是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0） 【答案】B 【解析】 【详解】解：，，（相邻两个1之间依次多一个0）均是无理数； 是分数，属于有理数，不是无理数． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，则，进而可得答案． 【详解】解：由题意知， ∴， ∴在第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了象限中的点坐标．解题的关键在于熟练掌握各象限中点坐标的特征． 3. 下列是勾股数的一组是（ ） A. 3，5，9 B. 4，6，8 C. 1，，2 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可． 【详解】解：A．，故不是勾股数，不符合题意； B．，故不是勾股数，不符合题意； C．存在无理数，故不是勾股数，不符合题意； D．，故是勾股数，符合题意． 故选：D． 4. 若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正比例函数的解析式，再把，，代入计算即可． 【详解】解：设正比例函数解析式为， 函数图象经过点， ， 解得 ，即函数解析式为， 当时，，所以图象不过点，所以A选项不符合题意； 当时，，所以图象必经过点，不过点，所以B选项符合题意，C不符合题意； 当时，，所以图象不过点，所以D选项不符合题意． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故 D错误． 6. 勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项即可． 【详解】解：A、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、由等面积法得，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，第四象限内有一点到轴的距离是到轴距离的2倍，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∵点到轴的距离为，到轴的距离为， 由题意得， ∴， 又∵， ∴. 8. 已知点，在一次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性，结合两点纵坐标的大小关系，即可得到横坐标的大小关系． 【详解】解：一次函数中，， 随x增大而减小， ，在一次函数图象上，， ． 9. 一次函数与的图象在同一坐标系中可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象，确定a，b的符号，看与的符号是否一致即可． 【详解】解：A、由的图象可知，，；由的图象可知，，，即，两结论矛盾，故不符合题意； B、由的图象可知，，；由的图象可知，，，即，两结论矛盾，故不符合题意； C、由的图象可知，，；由的图象可知，，，即，两结论相矛盾，故不符合题意； D、由的图象可知，，；由的图象可知，，，即，两结论符合，故符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况： ①当，，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 10. 如图，平面直角坐标系中，已知长方形，点为原点，点，分别在轴，轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作轴于点，设交轴于点，证明，得到，，再利用勾股定理求出，然后利用面积法求出，最后利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，设交轴于点， ∵四边形是矩形，，  ，  由折叠可知：，  ，  在和中， ，  ，  ，， 设，则，  在中，，  ， 解得，  ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】． 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），据此即可求得点（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标． 【详解】解：∵点关于x轴对称， ∴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称性质，解题关键是明确平面直角坐标系中关于坐标轴对称点的变化特征． 13. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】. 【解析】 【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须. 14. 如图，在“”的正方形网格中，的度数为________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】先标注格点，连接，，证明，，，再进一步解答即可． 【详解】解：标注格点，连接，， 由网格特点可得：， ∴， 由勾股定理可得： ，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行线的性质，勾股定理及其逆定理的应用，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15. 如图，一次函数的图象与轴交于点，点是线段上一点．过点作轴的垂线，直线与一次函数的图象交于点，与正比例函数的图象交于点．当点与点关于轴对称时，_____． 【答案】 【解析】 【分析】设的长度为参数，因为点B在y轴上，所以点B纵坐标为，直线是平行于轴的直线，解析式为．联立和，可求出点的横坐标；联立和，可求出点的横坐标．因为关于轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以可列出关于的方程，求解方程得到的长度． 【详解】解：设， ∵直线垂直于轴，点在轴上， ∴直线上所有点的纵坐标都等于． 把代入一次函数， 得， 解得， ∴． 把代入正比例函数， 得， 解得， ∴． ∵两点关于轴对称时，纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴ ​ 即， 解得​， ∴． 16. 如图，在中，，，点是上一点，连接，将沿翻折得到．若于点，则点到的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】过C作于点F；由勾股定理建立方程求得的长，从而求得，再证明，可知，，证明，得到，设，根据勾股定理求出，即，根据勾股定理求出，设点到的距离为，根据等面积法求解即可． 【详解】解：如图，过C作于点F， 则， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 由折叠性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， 解得， 即， 在中， 设点到的距离为， ， ， ， 即点到的距离为. 三、解答题（共9小题，17、18题各8分，19-25题，每小题10分，共86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查立方根，平方根的知识，解题的关键是掌握立方根，平方根的性质，即可． （1）先开立方根，然后移项，合并同类项即可； （2）先移项，然后等式两边除以，再开平方根，再解一元一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ∴或． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上画出点，使最小（不写作法）． 【答案】（1） 如图，即为所求， 则的坐标为； （2）5 （3） 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出坐标； （2）利用割补法求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，由，可得点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意， ； 【小问3详解】 略 20. 已知点，解答下列各题： （1）若点P在x轴上，求点P的坐标； （2）点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点在轴上得到，解得，即可求出点P的坐标； （2）根据点的坐标为，直线轴，得到，解得，即可求出点P的坐标； （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，解得，即可求出的值． 【小问1详解】 解：点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：点的坐标为，直线轴， ， 解得：， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：点到轴、轴的距离相等， ∴， ∵点在第二象限， ， 解得：， ． 21. 如图，某景区的划船观景处位于离水面处高为4米的岸上（处），在处有一艘游船，工作人员用绳子在处（于点）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍，为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处，点，，，均在同一剖面内，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】在直角三角形中，先利用勾股定理计算出长，然后根据题意可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用即可求解． 【详解】解：由题意知，（米）， ∵开始时的长度是的倍， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，（米）， 由题意知，（米）， 在中，（米）， ∵（米）， ∴游船向岸边移动的距离为米． 22. 某水果店售卖草莓，每小时销售额固定，每日销售额随售卖时长变化而变化．设售卖时长为小时（自变量），销售额为元（因变量），部分售卖数据如下表： 售卖时长（小时） 销售额（元） （1）根据表格数据，写出与的变量关系式； （2）若当日草莓全部售完用时小时，求当日总销售额； （3）若当日成本为元，求售卖小时的纯利润． 【答案】（1） （2）当日总销售额为元 （3）售卖小时的纯利润为元 【解析】 【分析】（1）先观察表格中与的对应数值，总结出和成正比例变化的规律，再设正比例函数解析式，使用待定系数法求出关系式； （2）将代入已经求出的变量关系式，计算对应的销售额； （3）先把代入关系式求出销售额，再用销售额减去固定成本，求出纯利润． 【小问1详解】 解：由表格可知： ， ， ， , 与的比值恒定，与成正比例关系， ∵时长为小时， ∴， 设， 把，代入， ， 解得， ， 【小问2详解】 解：当时，， 答：当日总销售额为元； 【小问3详解】 解：当时，， ， 答：售卖小时的纯利润为元． 23. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为___________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，求的值． 【答案】（1）13（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查了数形结合思想、勾股定理的几何应用以及无理方程的求解，将代数式转化为几何图形中的线段长度（直角三角形斜边），利用“两点之间线段最短”或方程变形规则解题是关键． （1）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值； （2）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值； （3）和对应直角三角形直角边，通过移项平方消根号，结合正数条件求解． 【详解】解：（1）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， 代数式表示， 的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得： ， 即的最小值为； （2）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， 代数式表示， 的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得： ， 即的最小值为； （3） ，（舍去） 的值为． 24. 如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于点，点，并且与的图象交于点，点的坐标为． （1）求一次函数的解析式与点的坐标； （2）请求出的面积； （3）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）依据题意，由在上，代入求出的值，可得的坐标，再将点的坐标代入，从而求出后即可得解析式，然后令，可得点的坐标； （2）把代入，求出点坐标，把代入，求出点坐标，求出的长，过点作垂直于轴，再求出的长，即可求出三角形面积； （3）先求出的长，再分三种情况讨论，画出图形，根据等腰三角形的性质以及两点之间距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，可得， ， 把代入，可得， 解得， 一次函数的解析式为， 令，解得， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作垂直于轴，则， 把代入，可得， ， 把代入，可得， ， ， ； 【小问3详解】 解：，， ， 如图，当时， ，， 如图，当时， ，， ， ， 当时，设， 则， 解得， ∴， 综上所述，存在，点的坐标为或或或． 25. 在中，，，为上一点． （1）如图1，过点作于点，连接，．若平分，，求的长； （2）如图2，以为直角边，点为直角顶点，向右作等腰，将绕点顺时针旋转，连接，，取线段的中点，连接，求证：． 【答案】（1） （2）证明：延长至点，使得，连接， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过作于，根据角平分线的性质得出，证明是等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可； （2）延长至点，使得，连接，证明即可． 【小问1详解】 解：如图，过D作于F， ∵平分，，，， ∴， ∵中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆九十五中2026-2027学年上期2028届（八年级）半期检测 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，共用120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，不是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0） 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列是勾股数的一组是（ ） A. 3，5，9 B. 4，6，8 C. 1，，2 D. 8，15，17 4. 若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，第四象限内有一点到轴的距离是到轴距离的2倍，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 8. 已知点，在一次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与的图象在同一坐标系中可能是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，平面直角坐标系中，已知长方形，点为原点，点，分别在轴，轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 9的算术平方根是_____． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 13. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 14. 如图，在“”的正方形网格中，的度数为________． 15. 如图，一次函数的图象与轴交于点，点是线段上一点．过点作轴的垂线，直线与一次函数的图象交于点，与正比例函数的图象交于点．当点与点关于轴对称时，_____． 16. 如图，在中，，，点是上一点，连接，将沿翻折得到．若于点，则点到的距离为________． 三、解答题（共9小题，17、18题各8分，19-25题，每小题10分，共86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上画出点，使最小（不写作法）． 20. 已知点，解答下列各题： （1）若点P在x轴上，求点P的坐标； （2）点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 21. 如图，某景区的划船观景处位于离水面处高为4米的岸上（处），在处有一艘游船，工作人员用绳子在处（于点）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍，为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处，点，，，均在同一剖面内，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 22. 某水果店售卖草莓，每小时销售额固定，每日销售额随售卖时长变化而变化．设售卖时长为小时（自变量），销售额为元（因变量），部分售卖数据如下表： 售卖时长（小时） 销售额（元） （1）根据表格数据，写出与的变量关系式； （2）若当日草莓全部售完用时小时，求当日总销售额； （3）若当日成本为元，求售卖小时的纯利润． 23. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为___________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，求的值． 24. 如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于点，点，并且与的图象交于点，点的坐标为． （1）求一次函数的解析式与点的坐标； （2）请求出的面积； （3）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在中，，，为上一点． （1）如图1，过点作于点，连接，．若平分，，求的长； （2）如图2，以为直角边，点为直角顶点，向右作等腰，将绕点顺时针旋转，连接，，取线段的中点，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $