精品解析： 重庆市大渡口区巴渝学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年重庆市大渡口区巴渝学校八年级（上）期中数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 2. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 正常人的体温一般在左右，但一天中的不同时刻不尽相同，如图反映了一天24小时内小明体温的变化情况，下列说法错误的是（ ） A 清晨5时体温最低 B. 17时，小明体温是 C. 从5时至24时，小明体温一直是升高 D. 从0时至5时，小明体温一直是下降的 5. 试估算在哪两个数之间（ ） A. 2和3 B. 3和 4 C. 4和5 D. 5和6 6. 已知一次函数（），随的增大而增大，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 7. 如图，在等腰直角三角形ABC中，，，D是边上的一点，过点B作于E，过点C作交AD延长线于点F．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 有一组非负整数：，，…，．从开始，满足，，，…，．某数学小组研究了上述数组，得出以下结论： ①当，时，； ②当，时，； ③当，，时，； ④当，（，为整数）时，． 其中正确的结论个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 的算术平方根是________． 12. 若是关于x的一次函数，则实数_____． 13. 函数的自变量的取值范围为_______________ 14. 若一次函数的图象向上平移4个单位长度后经过点，则m的值为______． 15. 如图，和都是等腰直角三角形，，D是BC上一点，连接CE．若，，则DE的长度为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是线段的中点，点N是线段的中点，P是x轴上一个动点，则的值最小时P点的坐标是__________． 17. 、两地相距12千米，甲骑自行车从地出发前往地，同时乙步行从地出发前往地，甲、乙两人之间的距离（单位：）与乙步行时间（单位：）之间的对应关系如图所示，则______． 18. 已知任意一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为（其中，，，）．的前两位数字组成的两位数与的个位上的数字的和记为，交换的百位数字和十位数字并用这两位数字组成的新两位数与的个位数字的和记为．如：当时，，．则的最大值为______，当能被7整除时，所有符合条件的值的和为______． 三、解答题（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 如图，已知中，． （1）请用基本的尺规作图：作的角平分线交于点D，在上取一点E，使得，连接（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： （2）在（1）所作的图形中，探究线段与之间的数量关系．小明遇到这个问题时，给出了如下的解决思路，请根据小明的思路完成下面的填空． 解：，理由如下： ∵平分， ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 22. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图． 请根据图中提供信息，解答下列的问题： （1）求图1中的______，本次调查数据的中位数是______h，本次调查数据的众数是______h； （2）若该校共有2000名学生，请根据统计数据．估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数． 23. 如图，在中，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线C→B→A方向运动，设运动时间为t秒，的面积为s． （1）求出s关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）当时，直接写出t的取值范围． 24. 新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．某镇政府采用了宣讲车进行宣传动员．如图，宣讲车P在笔直公路的两个站点A、B来回宣传，点C是一个村庄，村庄C到A、B两站点的距离分别为、，且．宣讲车周围以内能听到广播宣传． （1）求度数． （2）宣讲车P宣传时，村庄C是否能听到？请说明理由． （3）如果能听到，已知宣讲车P的速度是100米/分钟，那么宣讲车P沿方向行驶中，村庄C一共能听到多少分钟的宣传？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图像交点为． （1）求a的值与一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）若在x轴上存在一点P使为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 26. 如图，在中，点D是上一点，点E是上一点，连接，，点F是上一点，且，连接． （1）如图1，若，求的长度； （2）如图2，若，点G为上一点，连接，且，求证：； （3）如图3，若， ，，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年重庆市大渡口区巴渝学校八年级（上）期中数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的分类，算术平方根，熟悉掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、为有理数；故A错误； B、为有理数；故B错误； C、为有理数；故C错误； D、为无理数；故D正确； 故选：D． 2. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握相关定义是解题关键，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式， 不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，解题关键是熟记各象限内点的坐标的符号：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：根据第二象限为可知，点位于第二象限， 故选：B． 4. 正常人的体温一般在左右，但一天中的不同时刻不尽相同，如图反映了一天24小时内小明体温的变化情况，下列说法错误的是（ ） A. 清晨5时体温最低 B. 17时，小明体温 C. 从5时至24时，小明体温一直是升高的 D. 从0时至5时，小明体温一直是下降的 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象中获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键． 根据函数图象所给的信息进行逐一判断即可． 【详解】解：由函数图象可知，图中最低部的数据，则是温度最低的时刻，最高位置的数据则是温度最高的时刻；则清晨5时体温最低，故A选项正确，不符合题意； 下午5时体温最高；最高温度为，最低温度为；故B选项正确，不符合题意； 从5时到17时，小明的体温一直是升高的趋势，而17时到24时的体温是下降的趋势，故C选项错误，符合题意； 从0时至5时的体温是下降的趋势，故D选项正确，不符合题意；． 故选：C． 5. 试估算在哪两个数之间（ ） A. 2和3 B. 3和 4 C. 4和5 D. 5和6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，进而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 已知一次函数（），随的增大而增大，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟记一次函数图象与系数的关系，属于中考必考题型．根据一次函数图象与系数的关系可知时，随的增大而增大，根据选项即可得到答案． 【详解】解：一次函数，随的增大而增大， ， 在四个选项中，只有A选项，， 故选：A 7. 如图，在等腰直角三角形ABC中，，，D是边上的一点，过点B作于E，过点C作交AD延长线于点F．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．证明，得到，进而得到，即可．解题的关键是证明． 详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 8. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小；函数值y随x的增大而增大；一次函数图象与y轴的正半轴相交，与y轴的负半轴相交，过原点．根据一次函数图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，再根据k，b的取值范围确定一次函数图象在坐标平面内的位置关系，从而求解． 【详解】解：一次函数过一、二、四象限， 则函数值y随x的增大而减小，因而； 图象与y轴的正半轴相交则， 因而一次函数的一次项系数， y随x的增大而增大，经过一三象限， 常数项，则函数与y轴负半轴相交， 一次函数的图象一定经过一、三、四象限， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理等知识 利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，由勾股定理代入计算即可得出结果． 【详解】解：把代入得，把代入得：， 解得：， ∴、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 设点，则， 由折叠得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 10. 有一组非负整数：，，…，．从开始，满足，，，…，．某数学小组研究了上述数组，得出以下结论： ①当，时，； ②当，时，； ③当，，时，； ④当，（，为整数）时，． 其中正确的结论个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数的变化规律以及绝对值的知识点，综合性较强． 根据运算法则，分别先求出前面的几个数值，再观察发现其规律，再判定结论错误与否即可． 【详解】解：当，时， ∴， ，故①不符合题意； 当，时， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴ ，故②符合题意， 当，，时， ∴， ， ， 解得：或；故③不符合题意， 当，（，为整数）时， ∴， ， ， ， ， ， ∴ ∴．故④符合题意， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 的算术平方根是________． 【答案】#### 【解析】 【分析】此题主要考查算术平方根的定义，由题意根据算平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若是关于x的一次函数，则实数_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的概念，形如，其中k，b是常数的函数是一次函数的一般形式；由概念知，，且，求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：； 故答案为：2． 13. 函数的自变量的取值范围为_______________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴函数的自变量的取值范围为， 故答案为：． 14. 若一次函数的图象向上平移4个单位长度后经过点，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了考查了一次函数图象的平移问题，求一次函数自变量的值，先根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的直线解析式为，再把代入平移后的直线解析式中求解即可． 【详解】解；一次函数的图象向上平移4个单位长度后的直线解析式为， ∵平移后的直线经过点， ∴， ∴， 故答案为：3． 15. 如图，和都是等腰直角三角形，，D是BC上一点，连接CE．若，，则DE的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理；先证明可得，，根据勾股定理得出，进而可得，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是线段的中点，点N是线段的中点，P是x轴上一个动点，则的值最小时P点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像中的最短距离问题，正确作出图形找到相应的点是求解的关键．先作点M关于x的对称点，过点作轴于点，交轴与,此时距离最短，根据中点可求出、的坐标，先求出、坐标，再证得是的中位线，进而求出的值，可求出点坐标，即可求解． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴，， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴， 作点M关于x的对称点，过点作轴于点，则，， ∵， ∴N，关于x轴对称， ∴, 则有，根据三角形三边关系有： ∴当时，取最小值， 此时三点共线，如图中的点， ∵为中点，且, ∴是的中位线， ∵ ∴． 故答案为：． 17. 、两地相距12千米，甲骑自行车从地出发前往地，同时乙步行从地出发前往地，甲、乙两人之间的距离（单位：）与乙步行时间（单位：）之间的对应关系如图所示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据图形求出乙的速度，再求出甲的速度，再根据时间=路程÷速度即可求出a． 【详解】解：由图象可知，乙2h走完全程，甲、乙在h相遇， ∴乙的速度为：12÷2=6（km/h）， 则甲的速度为-6=18（km/h）， ∴甲走完全程所用时间为：a=（h）． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18. 已知任意一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为（其中，，，）．的前两位数字组成的两位数与的个位上的数字的和记为，交换的百位数字和十位数字并用这两位数字组成的新两位数与的个位数字的和记为．如：当时，，．则的最大值为______，当能被7整除时，所有符合条件的值的和为______． 【答案】 ①. 741 ②. 900 【解析】 【分析】由已知条件可得，，由、的取值范围得，由、、为正整数可确定得最大，即可求出的最大值；由整式加法运算化简得，，可得能被整除，由、在取值范围内分类讨论即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ，， ， ，， 且、、为正整数， 要使的最大值， 取最大， ，， ， 解得：， 的最大值为； ， ， 能被整除， 能被整除， ①当，时 能被整除， ， 解得：， ； ②当，时 能被整除， ， 解得：， ； ③当，时 能被整除， ， 解得：， ； ； 故答案：，． 【点睛】本题考查了新定义运算，整式加减等，理解新定义，能将问题转化为能被整除，再进行分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握相关定义是解答本题的关键． （1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解得或； 【小问2详解】 解得． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的加减法，然后运算除法解题； （2）根据完全平方公式、二次根式的除法、二次根式的化简进行计算，然后合并即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 如图，已知中，． （1）请用基本的尺规作图：作的角平分线交于点D，在上取一点E，使得，连接（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： （2）在（1）所作的图形中，探究线段与之间的数量关系．小明遇到这个问题时，给出了如下的解决思路，请根据小明的思路完成下面的填空． 解：，理由如下： ∵平分， ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【答案】（1）图形见解答 （2）∠EAD，DB，∠C，BD 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据证明，推出，，再证明，可得结论． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 ，理由如下： ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 22. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列的问题： （1）求图1中的______，本次调查数据的中位数是______h，本次调查数据的众数是______h； （2）若该校共有2000名学生，请根据统计数据．估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数． 【答案】（1），3，3； （2）1400人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）用1减去各自的占比即可，最后根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解； （2）用2000乘以3小时及以上的人数的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， 参与调查的学生人数一共有人，将他们的劳动时间从低到高排列，处在第20名和第21名的劳动时间分别为， 故中位数为， 由条形统计图可知，劳动时间为的人数最多， 故众数为， 故答案为：25，3，3； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为1400人． 23. 如图，在中，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线C→B→A方向运动，设运动时间为t秒，的面积为s． （1）求出s关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）当时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2）图象见解析；时，S随t的增大而增大（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题查了三角形的面积，直角三角形的性质，一次函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）分两种情况，当点P在上，，当点P在上时，，由三角形面积公式可得出答案； （2）由题意画出图象，由一次函数的性质可得出结论； （3）由（2）中的图象及一次函数图象上点的坐标特征可得出答案． 【小问1详解】 解：点P在上，， 由题意知， ∴； ，当点P上时，， ∴ ∴S关于t的函数表达式为 ； 【小问2详解】 如图， 该函数的一条性质为：在时，S随t的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 当时，，解得， 由图象可知时，或 ∴当时，t的取值范围是． 24. 新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．某镇政府采用了宣讲车进行宣传动员．如图，宣讲车P在笔直公路的两个站点A、B来回宣传，点C是一个村庄，村庄C到A、B两站点的距离分别为、，且．宣讲车周围以内能听到广播宣传． （1）求的度数． （2）宣讲车P宣传时，村庄C是否能听到？请说明理由． （3）如果能听到，已知宣讲车P的速度是100米/分钟，那么宣讲车P沿方向行驶中，村庄C一共能听到多少分钟的宣传？ 【答案】（1） （2）宣讲车P宣传时，村庄C能听到，理由见解析 （3）村庄C一共能听到分钟的宣传． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理： （1）证明，则由勾股定理的逆定理可知； （2）利用等面积法求出，再由即可得到结论； （3）在上取两点E、F使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度可得答案． 【小问1详解】 解：∵村庄C到A、B两站点的距离分别为、， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； 【小问2详解】 解：宣讲车P宣传时，村庄C能听到，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∵， ∴宣讲车P宣传时，村庄C能听到； 【小问3详解】 解：如图所示，在上取两点E、F使得，连接， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ∵分， ∴村庄C一共能听到分钟的宣传． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图像交点为． （1）求a的值与一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）若在x轴上存在一点P使为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】（1）a＝3， （2）3 （3）（5，0）或（-5，0）或（6，0）或（，0） 【解析】 【分析】（1）将点代入正比例函数解析式求得的值，进而根据的坐标待定系数法求解析式； （2）根据（1）求得直线的解析式，令，求得点的坐标，进而根据三角形面积公式即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，分别以分别为等腰三角形的顶点，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵点C在正比例函数图像上， ∴，解得：a＝3， ∵点C（3，4），A（﹣3，0）在一次函数图像上， ∴，解这个方程组得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 在中，令x＝0，解得y＝2， ∴B（0，2） ∴OB=2， ∵点C（3，4）， ∴xC=3, ∴； 【小问3详解】 解：∵, ∴， 设，， 当时，，即P的坐标为（5，0）或（-5，0）， 当时，则， 解得或， P的坐标为（6，0）， 当时，， 解得， P的坐标为（，0）． 综上所述，P的坐标为（5，0）或（-5，0）或（6，0）或（，0）． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，等腰三角形的定义，勾股定理求两点距离，掌握以上知识是解题的关键． 26. 如图，在中，点D是上一点，点E是上一点，连接，，点F是上一点，且，连接． （1）如图1，若，求的长度； （2）如图2，若，点G为上一点，连接，且，求证：； （3）如图3，若， ，，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）4 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理易得，于是易证，得到，则，进而完成解答； （2）如图：延长到P，使得，连接，由三角形外角性质可得，于是，再证得到，进而可得，以此可证得到，由此即可得即可证明结论； （3）如图：延长至点M，使，连接，则，易证则，根据垂线段最短可知当时，最小，即最小，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图：延长到P，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图：延长至点M，使，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵D为的中点， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴和均为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的外角性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，是通过作辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $