精品解析：河北省承德市承德县六沟高级中学2026-2027学年上学期期中考试高一数学试卷

河北省承德县六沟高级中学 2026-2027学年上学期期中考试高一数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，又，则， 又，所以. 2. 已知集合，，且，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，且， 结合数轴知. 3. 已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为对应方程无实根的问题，分一次方程、二次方程两类情况求解参数范围即可. 【详解】因为“”为假命题， 所以关于的方程无实数解， 当时，该等式恒不成立，即方程无实数解，满足题设条件; 当时，可得 ，解得. 综上，实数a的取值范围为，故A正确. 4. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】原命题为真，即， 等价于， 即，其中最大值在时取到. 对于A，，，为充分不必要条件. 对于B，，，为必要不充分条件. 对于C，，，为必要不充分条件. 对于D，，，为必要不充分条件. 5. 若非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：取特殊值，，满足且均为非零实数， 但是，不等式不成立，错误. 选项B：作差，，因为且均为非零实数，则， 又因为，所以，即，正确. 选项C：取特殊值，，满足且均为非零实数， ，不等式不成立，错误. 选项D：作差，， 因为且均为非零实数，则，但是的符号无法确定， 取特殊值，，， 不等式不一定成立，错误. 6. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最小值为，将对任意恒成立，转化为恒成立，求解可得实数的取值范围. 【详解】，， 则， 当且仅当，即时等号成立. 所以. 若对任意恒成立， 则，即， 解得. 所以实数的取值范围是. 7. 若且，则下列不等式中必然成立的一个是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题设条件明确a、b的符号与绝对值关系，再通过举反例、代数式变形逐一验证各选项的必然性 【详解】由可知，a与b异号；由可知，两数中正数的绝对值大于负数的绝对值，接下来逐一分析选项 对于A项，取满足条件，但是，故A错误； 对于B项，当a为负数时，无实数意义，如，不存在，故B错误； 对于C项，对代数式因式分解可得，因为且，所以，故C错误； 对于D项，对代数式通分可得，因为且，所以，故D正确； 8. 关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集特征确定二次项系数的符号，结合韦达定理推导的数量关系，再逐一验证各选项的不等式解集判断正误. 【详解】已知的解集为， 故，且和是方程的两个实根， 则， ，解得，，且，故A错误； 对于B，不等式，即，因，解得，即解集为，故B错误； 对于C，，因，故，即，故C错误. 对于D，不等式即，解得或，即解集为，故D正确. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 设集合 ，，则下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合集合的包含关系以及集合的运算即可求解. 【详解】已知集合，， 对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，，不是，故C错误； 对于D，若，则，故D正确． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明或举出反例即可. 【详解】对于A，不等号两边同时减去一个数不等号方向不变，故A正确. 对于B，因为，所以，不等号两边同时除以一个正数，不等号方向不变，故B正确. 对于C，取，，此时，故C错误. 对于D，要证，只要证， 只要证，只要证，因为，， 所以成立，所以D正确. 11. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最大值为1 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合条件等式进行了最值证明，从而可判断ACD，对于B则举反例说明不成立. 【详解】由可得：， 因为，所以， 解得或，由于，所以舍去， 即，此时取等号条件是，与联立可解得：，故A正确； 由可得：， 因为，所以， 又因为，所以解得， 此时取等号条件是，与联立可解得：，故C正确； 由可得：，由，可得， 则， 此时取等号条件是，即，故D正确； 取，可得，故B错误； 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知函数 满足，则的最大值为________ 【答案】## 【解析】 【分析】由求出，再由基本不等式得出的最大值. 【详解】由得，即． 由基本不等式（或）得， 当且仅当时取等号，故的最大值为． 13. 已知集合，．若，则______． 【答案】1 【解析】 【详解】因为，所以，则，此时，， 故，解得或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意， 则，，. 14. 已知集合有且仅有两个子集，则实数___________． 【答案】 或 【解析】 【分析】先依据集合子集个数与元素个数的对应关系确定集合A为单元素集，再分一次方程、二次方程两类情形讨论方程有唯一实根的条件，求解得到实数的取值. 【详解】因为集合有且仅有两个子集， 所以，集合为单元素集，即方程有且仅有一个实数解. 分两类情形讨论： 当，即时，方程退化为一元一次方程，解得， 此时集合，其子集为和，共2个，符合题意； 当，即时，方程为一元二次方程， 若方程有唯一实数解，则  ， 即，解得， 此时方程为，整理得，有唯一实根， 集合，共2个子集，符合题意. 综上，实数的取值为或. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． （3）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据集合的包含关系列不等式组计算求解即可； （2）分集合，两种情况，结合交集的概念计算求解即可； （3）由题意可得，结合（2）计算求解即可. 【小问1详解】 由题意，得． ∵“”是“”的充分条件，． 又， ，解得， ∴实数的取值范围为． 【小问2详解】 ①当时，，，满足； ②当时，，若，则或， 解得或，所以， 综上：当时，， 【小问3详解】 ∵命题“，”是真命题，． 由（2）知，实数的取值范围为． 16. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），有恒成立，求的范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）代入解一元二次不等式； （2）因式分解后根据参数分类讨论根的大小，写出解集即可； （3）将不等式转化为，设，由基本不等式即可求解． 【小问1详解】 当时，不等式为，即， 分解得，解得， 所以解集为． 【小问2详解】 因，则， ① 当时，，不等式的解集为； ② 当时，不等式为，其解集为； ③ 当时，，不等式的解集为. 综上可得，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【小问3详解】 ， 因为恒成立， 所以原不等式等价于在上恒成立，即， 设，则， 令， 当且仅当时，即时，时，等号成立，则， 故的范围为． 17. 大型仓库内有互相垂直的两个墙面OA、现拉一根直线型挡板AB，两个端点A、B分别落在这两面墙面上.为了合理利用仓库，准备在区域内建造一个矩形储物区OMPN，要求点M在墙面OA上，点N在墙面OB上，且挡板AB恰好经过点P，设OB的长度为x米. （1）若挡板AB总长20米，当x取何值时，的面积最大？ （2）已知米，米. ①若区域的面积不低于48平方米，则x的取值范围为多少？ ②若在两块三角形区域和内铺上防滑地砖，则x取何值时，地砖用料最省？ 【答案】（1） （2）① （单位：米）②时，用料最省． 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式求解； （2）①结合已知面积表达式求解取值范围； ②记防滑地砖的面积为y平方米．得出关于x的表达式进而求解． 【小问1详解】 由题意，， ，， 的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立， 当米时，的面积最大，最大值为100平方米． 【小问2详解】 由题意NB为米，其中， 为矩形， ， ，，则， 故 ， 整理得 ，又，则或， 故x的取值范围是 （单位：米）. ②由题意NB为米，其中， 记防滑地砖的面积为y平方米． ， 令，可得 当且仅当时，即时，等号成立，即米时，地砖用料最省． 18. 已知集合，集合. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围； （3）若集合为非空集合，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，根据并集和交集、补集的定义求解即可； （2）由，讨论和，列出满足条件的不等式组，求解即可； （3）由是的充分不必要条件，得是的真子集，再根据，由此列出不等式组，求解即可． 【小问1详解】 当时，， 因为，所以或， 所以；. 【小问2详解】 若， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得或，即或， 所以时，实数的取值范围是或. 【小问3详解】 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，则，即， 又（且两等号不能同时取），解得， 又，所以， 综上，实数的取值范围是. 19. 已知二次函数满足：，． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值； （3）若对，且，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）已知的值，将其代入含的方程，联立求解，进而确定函数. （2）根据对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论函数单调性，求出每种情况下最小值并令其等于，解出并舍去不符合条件的值. （3）由单调性将绝对值不等式转化，构造函数，根据单调性确定在上的单调性，进而求得实数的取值范围. 【小问1详解】 设函数， 由题知，解得， 所以函数. 【小问2详解】 函数，其图像对称轴为， ①当，即时，函数在上单调递增， 则，令，得（舍）； ②当，即时，函数在上单调递减， 在上单调递增，则， 令，得（舍）； ③当，即时，函数在上单调递减， 则，令，得. 综上所述，的值为1. 【小问3详解】 对，，不妨设，由函数在区间上单调递增得， 则不等式，转化为， 即，令，可知在上单调递减， 即在上单调递减， 所以，解得，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省承德县六沟高级中学 2026-2027学年上学期期中考试高一数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，且，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 若且，则下列不等式中必然成立的一个是（     ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 设集合 ，，则下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最大值为1 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知函数 满足，则的最大值为________ 13. 已知集合，．若，则______． 14. 已知集合有且仅有两个子集，则实数___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． （3）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 16. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），有恒成立，求的范围． 17. 大型仓库内有互相垂直的两个墙面OA、现拉一根直线型挡板AB，两个端点A、B分别落在这两面墙面上.为了合理利用仓库，准备在区域内建造一个矩形储物区OMPN，要求点M在墙面OA上，点N在墙面OB上，且挡板AB恰好经过点P，设OB的长度为x米. （1）若挡板AB总长20米，当x取何值时，的面积最大？ （2）已知米，米. ①若区域的面积不低于48平方米，则x的取值范围为多少？ ②若在两块三角形区域和内铺上防滑地砖，则x取何值时，地砖用料最省？ 18. 已知集合，集合. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围； （3）若集合为非空集合，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19. 已知二次函数满足：，． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值； （3）若对，且，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $