精品解析：河北邯郸市第四中学2026-2027学年高一上学期期中质量检测数学试卷

邯郸四中高一年级期中质量检测 数　学 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得. 【详解】由，得，即，此时， 由，得，而，所以. 故选：A 2. 已知函数，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代相应的对应关系 【详解】因为 所以 故选：A 3. 已知命题：，；命题 ：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和 都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【详解】对于命题：，，当时，不成立，故p为假命题，为真命题； 对于命题：，，当时，即有成立，q为真命题，为假命题， 故选项ACD错误，B正确. 4. 已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性求解即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，或. 又函数在单调递减，要求指数，所以. 5. 下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，则，故A错误； 当时，，此时，故B错误； ， ，，则， 若，则，此时，故C错误； ，，则，故，故D正确． 6. 集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意是的子集，从而求解. 【详解】， 因为的充分条件是，所以， 则， 故选：B. 7. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于的一元二次不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当且仅当即，时等号成立， ∵有解， ∴， ∴，即， 解得，或， 故选：B． 【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，考查“1”的代换，属于基础题． 8. 已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，确定函数的定义域，再由已知条件判断函数在定义域内的单调性，最后利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式. 【详解】是定义在上的偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称，可得，解得，的定义域为. 又对有，在上单调递增，为偶函数，在上单调递减. 由，不等式可化为，根据偶函数的性质，不等式可化为，由以上推出的条件可得，解得. 故选：A. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 对于集合A，B，定义，．设，，则中可能含有下列元素（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】CD 【解析】 【分析】根据所给定义求出，，即可求出，从而判断即可； 【详解】解：因为，，所以， ∴． 故选：CD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最大值是 B. 若，则的最小值为2 C. 若，，，则的最小值是4 D. 已知均为正实数，且，则的最小值为20 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐一判断即可. 【详解】因为，所以， ，当且仅当时取等号，即时取等号，所以，因此选项A正确； 当时，方程无实数集， 所以有，因此选项B不正确； 因为，，所以有 ，或（舍去）， 当且仅当时取等号，即时取等号，因此选项C正确； ， 当且仅当时取等号，即时取等号，因此选项D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：根据代数式的形式进行合理变形，利用基本不等式是解题的关键. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，方程有2个实数根 B. 若在上单调递减，则 C. 存在实数a，使得的值域为 D. 若的值域为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分段函数是由二次函数的一部分和一次函数的一部分组成的，结合函数的图象性质分析可得. 【详解】对于A：若，， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得. 所以方程有2个实数根或，所以A正确； 对于B：若在上单调递减，所以同时成立， 解得，所以B正确； 对于C：当时，在单调递减，显然不能满足值域为； 当时，，值域为，不符合题意； 当时，是单调递减函数，是单调递增函数， 函数的最小值只能在分段函数的左段的右端点取到，所以， 得与矛盾，所以C错误； 对于D：要使的值域为，必须是单调递减函数，所以. 同时还要分段函数的右半部分的左端点要在抛物线的上方或重合，即， 解得，所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如果,那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出U，再求出，即可求出 【详解】因为 所以 所以 故答案为：. 13. 二次不等式的解集为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】已知解集为，则，方程的两个根为， 由韦达定理，解得，故． 14. 已知，使等式成立的实数的取值集合为，不等式的解集为，若是的必要条件，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件进行转化，结合一元二次函数求出集合，再求出集合，利用必要条件建立不等关系讨论即可． 【详解】由，得，. 当时，取最小值为，当时，，所以. 由题意可得，. 若是的必要条件，则， 令，解得或. 当，即时，，则，即； 当，即时，，则，即； 当，即时，此时，不满足题中条件. 综上所述：的取值范围是 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若对于一切，均有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式不等式的解法求解； （2）利用判别式法求解； 【小问1详解】 的解集为； 【小问2详解】 恒成立， 对一切均成立， 则二次函数与轴只有一个交点或者没有交点， 则一元二次方程只有一个根或者没有实数根， 则，解得，故m的取值范围为. 16. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. （1）求集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可； （2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解， 即，解得，故集合； 【小问2详解】 由是的必要不充分条件，可知， 当时，既，解得，此时满足， 当时，如图所示， 故且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 17. 已知函数是定义在上的减函数，对于任意的都有， （1）求，并证明为上的奇函数； （2）若，解关于的不等式. 【答案】（1），证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意令得，令，得即证； （2）令得，转化为，结合奇函数得，结合单调递减得化简即可. 【详解】（1）令，则有 令，则有即 所以为上的奇函数 （2）令，则有 所以不等式化为 由于为上的奇函数，所以 所以 因此不等式进一步化为 已知函数是定义在上的减函数 所以有，解得 因此不等式的解集为 【点睛】判断函数奇偶性的3种常用方法： (1)定义法： 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证或其等价形式是否成立． (2)图象法： 若的图象关于原点对称，则为奇函数；若的图象关于轴对称，则为偶函数. (3)性质法： 设的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 18. 某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米． （1）求y关于x的函数； （2）判断在其定义域内的单调性，并用定义证明； （3）如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？ 【答案】（1） （2） 判断在其定义域单调递减， 任取则， 因为所以， 所以在其定义域单调递减. （3）设计展牌的长为6和宽为2 【解析】 【分析】（1）注意函数的定义域即可； （2）利用定义法证明单调性即可； （3）利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 宽为x米、长为y米的长方形展牌，所以面积为：， ， 其中,, 故即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 展牌的周长即. 当且仅当，时，等号成立. 此时. 所以设计展牌的长为6和宽为2，才能使展牌的周长最小，最小值为16. 19. 已知二次函数（）． （1）若是偶函数，求的值； （2）函数在区间上的最小值记为，求的最大值； （3）若函数在上是单调增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为是偶函数，所以，即, 则,结合, 故； 【小问2详解】 ，其图象开口向上，对称轴为； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，； 当，即时，在上单调递减，； 所以当时；当时（ 时取等号）； 当时； 故的最大值为； 【小问3详解】 因为在上单调递增，所以, 解得，即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邯郸四中高一年级期中质量检测 数　学 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 5 B. C. D. 3. 已知命题：，；命题 ：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和 都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 对于集合A，B，定义，．设，，则中可能含有下列元素（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最大值是 B. 若，则的最小值为2 C. 若，，，则的最小值是4 D. 已知均为正实数，且，则的最小值为20 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，方程有2个实数根 B. 若在上单调递减，则 C. 存在实数a，使得的值域为 D. 若的值域为，则 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如果,那么__________． 13. 二次不等式的解集为，则的值为______． 14. 已知，使等式成立的实数的取值集合为，不等式的解集为，若是的必要条件，则的取值范围是__________． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若对于一切，均有成立，求实数的取值范围. 16. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. （1）求集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的减函数，对于任意的都有， （1）求，并证明为上的奇函数； （2）若，解关于的不等式. 18. 某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米． （1）求y关于x的函数； （2）判断在其定义域内的单调性，并用定义证明； （3）如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？ 19. 已知二次函数（）． （1）若是偶函数，求的值； （2）函数在区间上的最小值记为，求的最大值； （3）若函数在上是单调增函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $