精品解析：河北省承德市承德县六沟高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

河北省承德市承德县六沟高级中学 2024—2025学年第一学期高一年级期中考试数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列函数与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域、对应关系相同即可判断为同一函数. 【详解】对于A，函数的定义域为，与的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数，与的对应关系不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C，函数与的对应关系不同，不是同一个函数，故C错误； 对于D，函数，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确． 故选：D． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 3. 下列函数在定义域内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用各选项中函数式直接判断单调性即可. 【详解】对于A，一次函数在定义域R上单调递增，A是； 对于B，一次函数在定义域R上单调递减，B不是； 对于C，二次函数在定义域R上不单调，C不是； 对于D，二次函数在定义域R上不单调，D不是. 故选：A 4. 已知都是正实数，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件得，通过配凑变形，利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以的最小值为. 故选：C. 5. 是函数在上是减函数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先从充分性进行研究，再从必要性角度研究，从而得到结果. 【详解】若，则， 则函数在上不是减函数， 若函数在上是减函数， 则，即，则成立， 所以是函数在上是减函数的必要不充分条件. 故选：B. 6. 一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可知，要一元二次不等式对一切实数恒成立，则，解不等式组可得答案 【详解】由已知可知，所以要一元二次不等式对一切实数恒成立， 则，即，解得， 所以的取值范围为. 故选：A 7. 如果函数那么（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2023 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】记，，根据的定义可求的周期，根据周期性求解即可. 【详解】记，， 根据可得， ， 而， ，， ， ， ， 所以的周期为5，取值分别为2023，2024，2020，2021，2022， . 故选：B 8. 给定函数.，，，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（ ） A. -6 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先利用条件可求得，进而可求的最大值. 【详解】由，得，解得或， 由，得，解得， 又， 所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以的最大值为. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由作差法结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，，因符号无法确定，故无法判断与大小，故A错误； 对于B，，显然，则，故B正确； 对于C，，因，则， 得，故C正确； 对于D，，因，，则 ，故D正确． 故选：BCD 10. 设集合，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据集合运算、集合与集合的包含关系逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为，，， 对于A选项，，则，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，则，D错. 故选：BC. 11. 定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用赋值法逐项求解判断即可. 【详解】令，得，因为， 所以，即，故A正确； 令，得，即， 所以，所以，故B错误； ，， 所以，故C错误； ，， ，， 所以，故D正确. 故选：AD 三、填空题（本大题共3小题，共15分 12. 已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，利用数轴分析，即可求得结果. 【详解】因为，，，所以利用数轴分析法，可知. . 故答案为：. 13. 已知函数在定义域上单调递减，则实数取值范围_______. 【答案】 【解析】 【分析】由两段都是递减，且分界点左大右小(可相等)可得． 【详解】由题意，解得． 故答案为：． 14. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，则问题转化为，时恒成立，采用分离参数法，求出函数，的最大值即可． 【详解】令，则问题转化为，时恒成立， 即，恒成立， 而函数， 当时，， ，即为所求． 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 当时，函数，图象经过点；当时，函数，且图象经过点． （1）求的解析式； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意将点的坐标代入相应解析式中，从而得到关于、的方程组，解得、，即可求出函数解析式； （2）根据分段函数解析式计算可得. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以，， 所以. 16. 已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集. 【小问1详解】 关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. 【小问2详解】 当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 17. 某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． （1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】（1） （2）当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，写出相应的解析式，得到答案； （2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求最值，比较后得到结论. 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 故； 【小问2详解】 当时， ，故当百台时，取得最大值，最大值为万元， 当时， （万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 18. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）当时，，求实数m的最小值. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明： 任取，，且， 则， ，，且， ，，， ，即， 所以函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. 【小问1详解】 ，， ，解得，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，， 所以m的最小值为. 19. 已知函数的定义域为，对任意的，，都有.当时，. （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）若，求不等式的解集. 【答案】（1）因为，，都有， 所以令，得，则， 证明：因为时，， 所以当时，，则， 令，，得， 所以. （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设，则，， 令，，则， 所以， 即，所以在上单调递减； （3）当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）令代入可得的值，令，可得结合已知，即可判断其符号. （2）运用单调性定义证明，令，可得，判断其符号即可. （3）令，可得，进而转化为，结合单调性转化为，分别讨论、、解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，令，，则， 由，得，即， 由（2）知在上单调递减， 所以，所以， 即，则该不等式对应方程的实数根为和. 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 综上：当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省承德市承德县六沟高级中学 2024—2025学年第一学期高一年级期中考试数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列函数与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数在定义域内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知都是正实数，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 是函数在上是减函数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如果函数那么（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2023 D. 2025 8. 给定函数.，，，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（ ） A. -6 B. 2 C. 4 D. 6 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 设集合，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，共15分 12. 已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 13. 已知函数在定义域上单调递减，则实数取值范围_______. 14. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 当时，函数，图象经过点；当时，函数，且图象经过点． （1）求的解析式； （2）求． 16. 已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中一真一假，求实数的取值范围. 17. 某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． （1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 18. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）当时，，求实数m的最小值. 19. 已知函数的定义域为，对任意的，，都有.当时，. （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）若，求不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $