精品解析：北京市第八中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

2026-2027学年度第一学期期中练习题 考生须知： 1．本试卷共三道大题，28个小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．考试结束，将试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 如图为各个城市的轨道交通标志，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的直径是4，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 5. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象分别位于第一、第三象限 C. 当时， D. 当时，随的增大而增大 7. 足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用双循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行两场比赛），共比赛20场，则参加比赛的球队数量是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 抛物线的对称轴是直线，图象如图所示．下列结论：①；②若和是抛物线上的两点，若，则；③；④设抛物线的顶点坐标为，若关于的方程有两个实数根，则．其中正确结论的个数是( ) A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若关于的一元二次方程有整数根，则整数的值可以是_________（写出一个即可）． 10. 若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为______（结果保留）． 11. 如图，为的直径，，，则的度数为______． 12. 已知是的二次函数，下表中列出了部分与的对应值： 0 1 0 1 则该二次函数有最_________值（填“小”或“大”）． 13. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知函数和，点为轴正半轴上一点，为轴上一点，过作轴的垂线分别交，的图象于，两点，连接，，则的面积为___________． 15. 如图，⊙O的动弦，相交于点，且，．在①，②，③中，一定成立的是____________（填序号）． 16. 已知抛物线C：，顶点为，将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，抛物线与相交于点，若，则的值为_________． 三、解答题（本题共68分，17题6分；18题4分；19-20题每题5分；21题6分；22-23题每题5分；24-26题每题6分；27-28题每题7分） 17. 解方程： （1）； （2） 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出时，的取值范围为_________； 19. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：该方程必有两个实数根． （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 20. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，如图①，某日晷模型底座的正面与晷面在同一平面上．如图②，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点，点，是上两点，，过点作于，交于，交于，已知，，． （1）求的半径； （2）直接写出图②中阴影部分的面积为_________．（结果保留） 21. 某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究请补充完整以下探索过程： （1）列表： x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … m 0 -3 -4 -3 0 -3 -4 n 0 … 直接写出m=________，n=________； （2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象，并结合图象写出该函数的两条性质： 性质1_________________________________ 性质2_________________________________ （3）若方程有四个不同的实数根，请根据函数图象，直接写出k的取值范围． 22. 如图，，是等边三角形，且点，，在同一条直线上．连接交于，是延长线上一点，连接． （1）求的度数； （2）若，求证：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，在轴上有一点，且，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交于点． （1）若点为抛物线的顶点． ①求二次函数的表达式； ②求线段长度的最大值． （2）若抛物线与轴的一个交点为，且，直接写出的取值范围为_________． 24. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点，连接．补全图形，若，，求的长． 25. 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛．在研究羽毛球飞行轨迹时，将羽毛球近似看作质点，忽略空气阻力的影响，羽毛球的飞行路线可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从坐标原点的正上方发出．飞行过程中，代表羽毛球的质点距离地面的竖直高度（单位：）与该质点到发球点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系：． （1）已知：在水平距离为时，羽毛球质点到达飞行轨迹的最高点，最大竖直高度为．求该抛物线对应的二次函数解析式； （2）球网距离发球点的水平距离为，乙同学原地起跳接球时，起跳后球拍能够触及的位置不高于距离地面处（羽毛球质点的竖直高度落在球拍可触及的高度范围内视为可以接球）乙同学在球网右侧原地起跳，在能够接到球的情况下，求他的所在位置与发球点的最小水平距离． 26. 在平面直角坐标系中，若，是抛物线上的任意两点． （1）当时，，求的值； （2）已知点，，抛物线与线段有交点，若，直接写出的取值范围是_________； （3）若，当时，有，求的取值范围． 27. 如图，中，，，分别为线段，的中点，，连接，． （1）设，求（用含的式子表示） （2）作交于，在线段上截取一点，使，连接交于点，连接． ①依题意补全图形； ②探究与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，，，先将点绕点逆时针旋转得到，再将绕点逆时针旋转得到点，则称点是点关于、的双旋转点．已知，，，半径为． （1）若点在线段上，在，，中，可能是点关于、的双旋转点的是：_________； （2）若点是直线上一点，上不存在点关于、的双旋转点，直接写出的取值范围是：_________； （3）设点，点是上一点，若线段上存在点关于、的双旋转点，直接写出的取值范围是：_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中练习题 考生须知： 1．本试卷共三道大题，28个小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．考试结束，将试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 如图为各个城市的轨道交通标志，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得． 【详解】， 则， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键． 3. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握二次函数的平移规律是解题关键． 【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位， ∴解析式变为； ∵再向上平移1个单位， ∴解析式变为 故选：B． 4. 已知的直径是4，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外⇔ ；②点P在圆上⇔ ；③点P在圆内⇔ ．根据的直径是4，则半径为，知，进行分析，可得答案． 【详解】解：∵的直径是4， 则半径为， ∵，且 ∴， ∴点A在外， 故选：C． 5. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 6. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象分别位于第一、第三象限 C. 当时， D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质直接解答即可． 【详解】解：将代入解析式，得，故A正确，不符合题意； 由于，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，故B正确，不符合题意、D错误，符合题意； ∵时，，且当时，随的增大而减小 ∴当时，，故C正确，不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 7. 足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用双循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行两场比赛），共比赛20场，则参加比赛的球队数量是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先设球队数为x，双循环总场次是，列方程求解并取正整数解即可． 【详解】解：一共有x支球队， ， 解得，（不合题意，舍去）， ∴参加比赛的球队数量是5． 8. 抛物线的对称轴是直线，图象如图所示．下列结论：①；②若和是抛物线上的两点，若，则；③；④设抛物线的顶点坐标为，若关于的方程有两个实数根，则．其中正确结论的个数是( ) A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由图象读出开口向上、与轴的交点在轴下方，得、，再由对称轴把化为，逐条判断各结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴． ∵对称轴是直线， ∴，即． ∵图象与轴的交点在轴下方， ∴， ∴，①错误． ∵抛物线开口向上， ∴点离对称轴越远，函数值越大． ∵抛物线上的点到直线的距离就是， ∴当时，，②正确． ∵， ∴． 由图，抛物线与轴的两个交点分别在与之间、与之间， ∴两交点横坐标之积大于，即， ∴， ∴，③错误． ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，函数取得最小值． ∵方程有两个实数根， ∴直线与抛物线有公共点， ∴，即，④正确． ∴正确的是②④． 故选：D． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若关于的一元二次方程有整数根，则整数的值可以是_________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】将方程变形为，结合整数根的要求，选取能使为完全平方数的整数a即可． 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程，a为整数， ， 将方程两边同时除以a得， 方程有整数根， 必须是某个整数的平方， 当时，，此时方程的根为，是整数，满足条件． 10. 若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算公式． 11. 如图，为的直径，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， 即， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 12. 已知是的二次函数，下表中列出了部分与的对应值： 0 1 0 1 则该二次函数有最_________值（填“小”或“大”）． 【答案】 大 【解析】 【分析】设二次函数一般式，将表格中三组的值代入，求出，根据小于 0，判断抛物线开口向下，函数有最大值． 【详解】解：设二次函数解析式为 把 ，， 代入解析式： 将 代入另外两个方程： 由 ，得 ， 把 代入 ， ． 把 代入 ， ． ∴ 二次函数解析式为 ∵ ． ∴ 抛物线开口向下，该二次函数有最大值． 13. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程的解代入原方程求出的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个解是， 把代入得， ， ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知函数和，点为轴正半轴上一点，为轴上一点，过作轴的垂线分别交，的图象于，两点，连接，，则的面积为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意设点，则，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，设点，则 ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、三角形面积公式是解题的关键． 15. 如图，⊙O的动弦，相交于点，且，．在①，②，③中，一定成立的是____________（填序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据AB=CD证明,得∠ABC=∠BCD,再根据圆周角定理及推论即可得出结论. 【详解】解: ∵AB=CD, ∴, ∴, 即, ∴∠ABC=∠BCD=∠BOD, ∴∠BED=∠ABC+∠BCD=2×∠BOD=∠BOD, ∵, ∴, 故①正确; ②无法证明; ∵∠ABC=∠BOD, ∴∠ABC=, 故③成立, 综上,答案为①③. 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 16. 已知抛物线C：，顶点为，将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，抛物线与相交于点，若，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移的性质得到两抛物线的顶点坐标与解析式，联立方程求出交点的坐标，结合等腰直角三角形的性质建立关于的方程求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点的坐标为， ∵将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度得到抛物线， ∴ 抛物线的解析式为，顶点的坐标为， 联立与的解析式，消去得 ， 化简，得 ， 展开整理，得 ， 将代入的解析式，得 ， ∴交点的坐标为， ∵、的纵坐标均为， ∴线段平行于轴，长度， ∵的横坐标为，恰好是中点的横坐标， ∴在的垂直平分线上，即，为等腰三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形， 如图，设为的中点，则为等腰直角三角形斜边上的高，根据等腰直角三角形的性质，斜边上的高等于斜边长度的一半，即， ∵为到直线的距离， ∴， 代入，得 ， ∵，两边同除以得 ， 解得． 三、解答题（本题共68分，17题6分；18题4分；19-20题每题5分；21题6分；22-23题每题5分；24-26题每题6分；27-28题每题7分） 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）观察方程，提取公因式进行因式分解，令每个因式等于0，直接求出两个根． （2）使用配方法，先移项，等式两边加上一次项系数一半的平方4，写成完全平方式后开方求解． 【小问1详解】 解：因式分解，提取公因式 ∴ 或 解得，． 【小问2详解】 解：移项，得 配方，两边同时加， 开平方 ∴，． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出时，的取值范围为_________； 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； （2）或． 【解析】 【分析】根据待定系数法求出两个函数解析式即可； 根据两个函数图象的位置及交点坐标，即可求出的解集． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点和， ∴，解得，， ∴反比例函数的表达式为，， ∵一次函数的图象过点和， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和， 由图象可知，当或时，， ∴当时，的取值范围为或． 19. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：该方程必有两个实数根． （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1）证明：∵ 一元二次方程为， ∴ ，，， ∴ ， ∵ 对任意实数，都有，即， ∴ 该方程必有两个实数根． （2）的值为 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，计算化简后判断恒大于或等于0，证明方程总有实数根； （2）根据根与系数的关系得到两根之和、两根之积，再利用完全平方公式变形，代入建立方程求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：一元二次方程，由根与系数的关系可得： ， ， ， 展开化简： ， ， 解得 ． 20. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，如图①，某日晷模型底座的正面与晷面在同一平面上．如图②，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点，点，是上两点，，过点作于，交于，交于，已知，，． （1）求的半径； （2）直接写出图②中阴影部分的面积为_________．（结果保留） 【答案】（1）的半径为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理得到，连接，利用勾股定理列方程，可求得半径； （2）利用等边三角形的性质结合勾股定理可得到的值，然后根据阴影部分的面积等于列式计算即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， 如图，连接， 设的半径为， ， 根据勾股定理可得， 可得方程， 解得，即的半径为； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， ， 为等边三角形，， ，，， ， 在中，根据勾股定理可得， ，解得（负值已舍去）， ， 阴影部分的面积为． 21. 某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究请补充完整以下探索过程： （1）列表： x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … m 0 -3 -4 -3 0 -3 -4 n 0 … 直接写出m=________，n=________； （2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象，并结合图象写出该函数的两条性质： 性质1_________________________________ 性质2_________________________________ （3）若方程有四个不同的实数根，请根据函数图象，直接写出k的取值范围． 【答案】（1） （2）画图见解析，性质见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式求解的值即可； （2）根据表格先描点，再连线，画出函数图象即可，再根据函数图象写两条性质即可； （3）如图，求解方程的解转化为与两个函数的交点问题： 当有4个不同的解时，函数与有4个交点，通过观察函数图象可得答案. 【小问1详解】 解：当时， 当时， 故答案为： 【小问2详解】 解：如图，描点并连线， 性质1：当或时，随的增大而减小， 性质2：当或时，函数的最小值为 【小问3详解】 解：如图，求解方程的解转化为与两个函数的交点问题： 当有4个不同的解时，函数与有4个交点， 结合函数图象可得： 【点睛】本题考查的是已知自变量的值求解函数值，画函数图象，归纳函数的性质，利用函数图象解方程，利用数形结合的方法解本题是关键. 22. 如图，，是等边三角形，且点，，在同一条直线上．连接交于，是延长线上一点，连接． （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，从而得到，根据角的和差关系即可得解； （2）根据等边三角形的性质可得，由等边对等角可得，再结合三角形外角的性质即可得证． 【小问1详解】 解：∵，是等边三角形， ∴，， ， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，在轴上有一点，且，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交于点． （1）若点为抛物线的顶点． ①求二次函数的表达式； ②求线段长度的最大值． （2）若抛物线与轴的一个交点为，且，直接写出的取值范围为_________． 【答案】（1）①二次函数解析式为． ②线段长度的最大值为． （2）的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法求解析式，已知顶点坐标，可利用对称轴公式结合点坐标求解； ②先求直线解析式，根据点D横坐标m，表示出P、C纵坐标，作差得到关于横坐标m的二次函数，利用二次函数性质求最值． （2）利用二次函数与x轴交点坐标公式及不等式性质求参数范围，先由点A坐标建立a、b关系，再求出与x轴交点B的横坐标表达式，根据列不等式求解． 【小问1详解】 解：①∵点为二次函数的顶点， ∴，解得， 所以，二次函数解析式为． ②∵正比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴正比例函数解析式为． ∵点，P、C、D三点共线，轴， ∴，P、C、D三点横坐标均为m， ∵点C在直线上，点P在上， ∴点C坐标为，， ∴． ∴， ∴当时，线段的长度取得最大值． 【小问2详解】 ∵二次函数经过点， ∴，即， 令，即， 解得，． ∵抛物线与轴的一个交点为，且， ∴， ∴． ∵， ∴不等式两边同乘a，不等式方向改变，得， ∴的取值范围为． 24. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点，连接．补全图形，若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接，，则． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵是的直径，是的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线． （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）连接，，利用等腰三角形和半径、对顶角分别证明角相等，通过角度转换证明半径和直线垂直，进而判定切线． （2）设半径，利用勾股定理列方程求出半径，由半径得到等腰直角三角形，求出和，进而得到，根据“直径所对的圆周角是直角”可得，进而利用勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，，． 设的半径为r，则． 在中，，解得． ∵是的直径， ∴． ∵，是的中点， ∴和是等腰直角三角形， ∴． ∵为的中点， ∴． ∴． 25. 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛．在研究羽毛球飞行轨迹时，将羽毛球近似看作质点，忽略空气阻力的影响，羽毛球的飞行路线可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从坐标原点的正上方发出．飞行过程中，代表羽毛球的质点距离地面的竖直高度（单位：）与该质点到发球点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系：． （1）已知：在水平距离为时，羽毛球质点到达飞行轨迹的最高点，最大竖直高度为．求该抛物线对应的二次函数解析式； （2）球网距离发球点的水平距离为，乙同学原地起跳接球时，起跳后球拍能够触及的位置不高于距离地面处（羽毛球质点的竖直高度落在球拍可触及的高度范围内视为可以接球）乙同学在球网右侧原地起跳，在能够接到球的情况下，求他的所在位置与发球点的最小水平距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，即可求解； （2）根据当时，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在水平距离为时，羽毛球质点到达飞行轨迹的最高点，最大竖直高度为， ∴， 解得， ∴该抛物线对应的二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∵球网距离发球点的水平距离为，乙同学在球网右侧， ∴， ∴乙同学的所在位置与发球点的最小水平距离为． 26. 在平面直角坐标系中，若，是抛物线上的任意两点． （1）当时，，求的值； （2）已知点，，抛物线与线段有交点，若，直接写出的取值范围是_________； （3）若，当时，有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）当时，，当时， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求出对称轴为直线，根据抛物线的对称性求出对称轴为直线，即可解答； （2）当时，抛物线为，对称轴为直线．抛物线与线段有交点，则当，时函数值y异号，因此分和两种情况求解即可； （3）对于抛物线，当时，，则抛物线过点，．根据，得到．分和两种情况，结合函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∵当，即时，， ∴抛物线的对称轴为， ∴． 【小问2详解】 解：当时，抛物线为，对称轴为直线． ①当时，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小， ∵抛物线与线段有交点，，， ∴当时，，当时，， 即，解得． ②当时，抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∵抛物线与线段有交点，，， ∴当时，，当时，， 即，不等式组无解； 综上所述，的取值范围是． 【小问3详解】 解：对于抛物线，当时，， ∴抛物线过点， ∵抛物线的对称轴为， ∴抛物线过点． ∵，即 ∴． ①当时， ∵，当时，有， ∴，解得． ②当时， ∵，当时，有， ∴，解得， ∵， ∴， 综上所述，当时，，当时，． 27. 如图，中，，，分别为线段，的中点，，连接，． （1）设，求（用含的式子表示） （2）作交于，在线段上截取一点，使，连接交于点，连接． ①依题意补全图形； ②探究与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）解：①如下图： ②结论：， 证明：延长交于点，过点作，垂足为，连接，连接， 设， ，是中点， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， 是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 又， 为等腰直角三角形，． ∵， ∴， ， ， ， 由作图可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， 与均为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 四点共圆， ， ， 是等腰直角三角形，， ， 分别是，的中点， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用，，得到等腰直角三角形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，再利用等角对等边和三角形的内角和定理即可求出； （2）①根据题意补全图形即可；②延长交于点，过点作，垂足为，连接，连接，设，通过多组相似依次算出各线段长度，证明，得到，证出，再由对角互补得到四点共圆，利用圆周角定理得到，证明为等腰直角三角形，得到，从而得出． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， 中，是斜边的中点， ， ， ． 【小问2详解】 略 【点睛】本题综合考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、四点共圆，解题关键是设参数表示各线段长，通过多组相似计算线段比值，证出得到角，再利用对角互补判定四点共圆进行角度转化，最终在直角三角形中推导线段数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，，，先将点绕点逆时针旋转得到，再将绕点逆时针旋转得到点，则称点是点关于、的双旋转点．已知，，，半径为． （1）若点在线段上，在，，中，可能是点关于、的双旋转点的是：_________； （2）若点是直线上一点，上不存在点关于、的双旋转点，直接写出的取值范围是：_________； （3）设点，点是上一点，若线段上存在点关于、的双旋转点，直接写出的取值范围是：_________． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据双旋转点的定义分别确定出点和点的坐标，利用待定系数法求得线段的解析式，分别将题中三个备选点坐标依次代入，若在线段上即可满足题意； （2）根据题意求出点的坐标，根据题意利用切线的性质并利用解直角三角形分别求得点和点的坐标，分别将点和点的坐标代入求得的值，要使上不存在点关于、的双旋转点，即直线与无交点，从而求得的取值范围； （3）先确定出旋转后的线段的位置，再由点确定出线段的位置，由于点在轴上运动，确定线段可看成沿直线作平移运动，要使线段上存在点关于、的双旋转点，且点是上一点，则需满足线段与有交点，利用两点之间的距离公式列方程求出的值，从而得到此时点的坐标，并最终求出的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意知，点在线段上， ∴如图，将线段先绕点逆时针旋转得到线段，再将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设线段的解析式为， ∴，解得：， ∴线段的解析式为， 要使点，，中存在点关于、的双旋转点， ∴点，，需在线段上， 对于点，代入得：，符合题意； 对于点，代入得：，符合题意； 对于点，代入得：，不符合题意， 综上所述，可能是点关于、的双旋转点的是，． 【小问2详解】 解：由题意知，将点绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到， 如图，连接，过点分别作直线，垂足为M，直线，垂足为N，设右侧直线交轴于点， ∵，，， ∴点，，三点共线， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 将点代入直线， 得：， 在中，， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴， 将点代入直线， 得：， ∵上不存在点关于、的双旋转点， ∴直线与无交点， ∴的取值范围是或． 【小问3详解】 解：将线段先绕点逆时针旋转得线段， ∴，， ∵点，即点在轴上运动， 又∵点是上一点， 要使线段上存在点关于、的双旋转点， 如图，当点位于原点时，将线段绕点逆时针旋转得线段， ∴，， ∴轴， 此时线段与有交点，即为上的点，即， 当线段绕点逆时针旋转得线段时，此时线段与有唯一的交点，即为上的点， ∴线段可由线段平移而来， ∴线段可看成沿直线作平移运动， 由线段绕点逆时针旋转得线段可知，，， ∵， ∴， 解得：，， ∴， 如图，当点位于原点时，将线段绕点逆时针旋转得线段， ∴，即， 当线段绕点逆时针旋转得线段时，此时线段与有唯一的交点，即为上的点， 由线段绕点逆时针旋转得线段可知，，， 同理由可得：， 解得：，， ∴， 综上所述，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $