精品解析：陕西省榆林市府谷县2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

2026～2027学年度第一学期期中质量抽样监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，答题卡交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若函数是关于的反比例函数，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵函数是关于的反比例函数， ∴， 解得． 2. 用配方法解方程时，可将其变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将常数项移到等号右侧，配方法核心是两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解： 3. 二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵中 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 ∴C选项符合题意． 4. 若关于的方程（为常数）有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方程有实数根，得根的判别式非负，列不等式求解的取值范围． 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴，即，解得． 5. 在适宜环境中，某实验种群的数量（单位：只）与培养时间（单位：天，）满足二次函数关系（受环境承载力限制，后期呈负增长趋势），则该实验种群数量的最大值为（ ） A. 240只 B. 250只 C. 260只 D. 265只 【答案】B 【解析】 【分析】将二次函数一般式配方为顶点式，结合开口方向与自变量取值范围求最大值． 【详解】解：∵ ∵，且， ∴当时，取得最大值，最大值为只． 6. 如图，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，轴于点，点是轴负半轴上一点，连接、，交轴于点，若，则的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数中k的几何意义解答即可． 【详解】解：如图所示，连接，设点，则， ∵， 解得． 7. 已知菱形的一条对角线长为8，另一条对角线的长是方程的一个根，则菱形的周长是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】以方程的根作为另一条对角线的长度为切入点，先求解方程并结合实际意义筛选根，再计算菱形周长． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，． ∵对角线长度为正数， ∴另一条对角线长为． ∵菱形对角线互相垂直平分， ∴菱形的边长为， 周长为． 8. 已知二次函数、为常数，的图象经过，两点，则的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数图象的对称轴为，将代入得到，将和代入函数得：，，，得到，将选项代入验证即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为， ，图象开口向下， 将代入得：， ， 将和代入得：， 整理得：， ， ，， ， 选项中，只有符合． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若反比例函数的图象的一支位于第四象限，则常数的值可以是______．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一，任意满足的实数均可） 【解析】 【分析】根据反比例函数图象所在象限与比例系数的关系，推导得到m的取值范围，再选取范围内的一个数即可．反比例函数的图象性质为：当时，两支分别位于第一、第三象限；当时，两支分别位于第二、第四象限． 【详解】解：∵反比例函数的图象的一支位于第四象限， ∴该函数的比例系数满足， 解得， 从所有满足的实数中选取一个即可，例如． 10. 已知关于的方程的一个解为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程解的定义，将已知解代入原方程，建立关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值， ∴ 将代入原方程，可得， 整理得，解得． 11. 如果抛物线的图像向右平移5个单位后，对称轴是轴，那么的值是_______． 【答案】 【答案】5 【解析】 【分析】根据抛物线平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，再利用对称轴是轴的条件求解. 【详解】解：将抛物线向右平移5个单位后，根据“左加右减”的平移规律，得到平移后的解析式为. ∵ 平移后抛物线的对称轴是轴，顶点式的对称轴为，对称轴轴即. ∴ . ∴ . 12. 随着我国网球运动员在2026年中国网球公开赛中夺冠，某校网球社团举办了网球单打（单循环）比赛，参赛的所有学生之间都进行一场比赛，共安排了36场比赛，设共有名学生参加比赛，则可列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】需结合单循环赛制的计数规则，排除重复计数的部分，结合总比赛场数建立等量关系即可． 【详解】解：∵共有x名学生参赛，每名学生需与其余名学生各赛1场， ∴初步统计的总场次为， ∵上述统计中，每一场比赛被两名参赛学生各计数1次，存在重复计算， ∴实际总比赛场数为初步统计值的， ∵已知实际总比赛场数为36， ∴可列方程为． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数（为常数，，）的图象上，点的坐标为，点的坐标为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出且，结合点、的坐标求出点的坐标，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解： 四边形是平行四边形 ， ， ， 点的坐标为，点的坐标为 ， ，且在轴上 ， 轴， ， 点的坐标为， 点的纵坐标为， 点在反比例函数 的图象上， 点的横坐标小于 ， ，点的横坐标为 ， 点的横坐标为 ， 点的坐标为 ； 把代入， ． 14. 已知二次函数（、为常数，且），将该二次函数的图象向右平移3个单位长度后经过原点，当时，二次函数的最大值为2，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次函数平移后过原点的条件推导与的关系，将原函数配方得到对称轴，结合的开口特征，利用给定区间的最大值列方程求解． 【详解】解：二次函数向右平移3个单位长度得到的函数解析式为 ∵平移后的图象经过原点 ∴ 解得 ∴原二次函数的解析式可写为 ∴对称轴为直线 ∵ ∴抛物线开口向下，顶点为图象的最高点 ∴当时，函数在处取得最大值， ∵函数的最大值为2 ∴ 解得． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法．利用因式分解把方程变形为，得到或，即可求出方程的根． 【详解】解：， 或， ，． 16. 用配方法将化成的形式，并写出对称轴和顶点坐标． 【答案】化成的形式为；对称轴为直线；顶点坐标为． 【解析】 【分析】提取二次项系数后对含的项配方化为顶点式，即可得到对称轴与顶点坐标． 【详解】解： ， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． 17. 已知反比例函数(为常数，且)，当时，，求该反比例函数的解析式，并判断点是否在该函数的图象上． 【答案】反比例函数解析式为；点在该函数的图象上． 【解析】 【分析】将已知的，值代入反比例函数表达式求出，得到解析式；将点的横坐标代入解析式，对比纵坐标判断点是否在图象上． 【详解】解：将，代入，得， 解得， ∴该反比例函数的解析式为． 将代入，得， ∵所得值与点的纵坐标相等， ∴点在该函数的图象上． 18. 某企业2023年芯片销售总额为36亿元，经过两年技术革新，该企业2025年芯片销售总额达到81亿元，求该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【详解】解：设该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为， 根据题意列方程得：， 解得，（舍去）， 因此年平均增长率为． 19. 已知抛物线经过点，求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】抛物线与轴的交点坐标为． 【解析】 【分析】将已知点坐标代入抛物线解析式求出参数，再令计算对应值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：∵抛物线经过点． ∴将，代入解析式，得  解得． ∴抛物线的解析式为． ∵抛物线与轴交点的横坐标为． ∴将代入，得． 综上所述，抛物线与轴的交点坐标为． 20. 在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率与做功所用的时间成反比例函数关系，图象如图所示． （1）求功率关于做功所用的时间的函数解析式； （2）若某次做功所用的时间为，求其功率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：设，由图可知，函数过， ，解得， 答：功率关于做功所用的时间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 时，， 答：其功率为． 21. 为实现乡村振兴，某乡镇农产品销售运营中心利用某直播平台销售火龙果．若该运营中心平均每天可销售70箱，每箱盈利10元．要尽可能让利给消费者，运营中心决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱火龙果每降价1元，平均每天可多售出15箱，当每箱火龙果降价多少元时，日盈利为780元？ 【答案】当每箱火龙果降价4元时，日盈利为780元． 【解析】 【分析】根据“每箱盈利日销售量日总盈利”的等量关系列一元二次方程求解，结合“尽可能让利给消费者”的条件选取较大的降价幅度． 【详解】解：设每箱火龙果降价元时，日盈利为780元． ∵每箱盈利为元，日销售量为箱． ∴列方程得． 整理得． 解得，． ∵要尽可能让利给消费者，需选择更大的降价幅度． ∴符合题意． 答：当每箱火龙果降价4元时，日盈利为780元． 22. 已知二次函数（为常数）的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … （1）填空：      ，      ，      ； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描点画出该二次函数的图象； （3）根据图象，当时，写出的取值范围为      ． 【答案】（1）；； （2）图像如下： （3） 【解析】 【分析】（1）由表格可知，函数过点，代入即可求出，再求出、时对应函数值即可求解； （2）根据表格，描点作图即可； （3）直接根据二次函数的图象在轴下方的部分对应的范围可得答案． 【小问1详解】 解：由表格可知，函数过点， ，解得， ， 当时，；当时，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据图象，当时，函数图像在轴下方， 的取值范围为． 23. 已知关于的方程的两个根为，，且，． （1）求、的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知等式求出两根之和与两根之积，结合一元二次方程根与系数的关系计算b，c的值； （2）利用方程的解的定义得到，根据计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，． ∵方程的两根为，，由根与系数的关系得，， ∴，， 解得，． 【小问2详解】 解：∵是方程的根， ∴． 将，代入，得， 即， ∴ ． 24. 如图，一次函数（、为常数，）与反比例函数（为常数，，）的图象交于、两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）点是第一象限反比例函数图象上一点，连接、，若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再把代入即可得到点的坐标； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出解析式，然后求出点的坐标，结合，列式求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得：， 解得， 反比例函数的解析式为， 把点代入，得：， 点的坐标为， 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把、代入，得：， 解得， 一次函数的解析式为， 令，则，解得， ，即， 设点的坐标为， ， ， 解得， 把代入，得：， 解得， 点的坐标为． 25. 有一座抛物线形拱桥，截面如图所示，其中桥拱截线是一段抛物线，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，抛物线最高点到的距离为5米．以点为原点，所在直线为轴，经过点与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，是警戒线，抛物线最高点到的距离是米． （1）求桥拱截线所在抛物线的解析式； （2）节日前夕，要在拱桥桥洞内悬挂一些高度相同的灯笼（宽度忽略不计），已知灯笼的高度（即悬挂点到灯笼底部的距离）均为米，要求灯笼的最底端不得低于，按要求挂满灯笼后，求最左端与最右端的两个灯笼之间的水平距离． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）由题可知抛物线经过点和，顶点坐标为，再利用待定系数法求解析式即可； （2）根据题意可得，令，求出值，再计算水平距离即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线经过点和，且最高点到的距离为米， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，得：， 解得， 抛物线的解析式为； 答：桥拱截线所在抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意可知，抛物线最高点的纵坐标为，警戒线到最高点的距离为米， 警戒线的高度为（米）， 设灯笼悬挂点的纵坐标为，灯笼高度为米， 灯笼的最底端不得低于， ，即， 当时，灯笼分布的水平距离最大， 将代入，得：， 整理得：， 解得，， 最左端与最右端的两个灯笼之间的水平距离为：（米）． 答：最左端与最右端的两个灯笼之间的水平距离为米． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，，，点是边上的动点（不与端点重合），连接，在右侧作，且，连接，设． ①用含的代数式表示的长为； ②当的面积为18时，求的长． 【问题解决】 （2）如图2，正方形是某小区的一块空地示意图，现物业工作人员要对这块空地进行绿化改造，在、边上分别找一点、（均不与端点重合），并沿、、铺设三条小路，要求，在的中点处修建一口灌溉水井，并从点向点铺设地下水管．已知，设，，求的长度最大（即最大）时，铺设地下水管的长度．（小路和地下水管的宽度及水井的大小均忽略不计） 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】①根据线段的和与差即可得到；②过作交于，可证，得到，然后结合三角形面积列方程求解，再由勾股定理计算即可； （2）先证，再由相比可得，然后由二次函数的性质得到最值，再结合勾股定理和在直角三角形中中线等于斜边的一半求解． 【小问1详解】 解：①在矩形中，，， ， ； ②过作交于， 则， ， ， 则，又， ， 在和中， ， ， ， 整理得：， 解得， ； 【小问2详解】 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， 设，，则， ， ， ， 当时，有最大值， 此时， ， 在中，由勾股定理得： ， 是的中点，， ， 答：铺设地下水管的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期期中质量抽样监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，答题卡交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若函数是关于的反比例函数，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 用配方法解方程时，可将其变形为（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程（为常数）有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在适宜环境中，某实验种群的数量（单位：只）与培养时间（单位：天，）满足二次函数关系（受环境承载力限制，后期呈负增长趋势），则该实验种群数量的最大值为（ ） A. 240只 B. 250只 C. 260只 D. 265只 6. 如图，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，轴于点，点是轴负半轴上一点，连接、，交轴于点，若，则的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 7. 已知菱形的一条对角线长为8，另一条对角线的长是方程的一个根，则菱形的周长是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 8. 已知二次函数、为常数，的图象经过，两点，则的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 4 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若反比例函数的图象的一支位于第四象限，则常数的值可以是______．（写出一个符合题意的数即可） 10. 已知关于的方程的一个解为，则的值为______． 11. 如果抛物线的图像向右平移5个单位后，对称轴是轴，那么的值是_______． 12. 随着我国网球运动员在2026年中国网球公开赛中夺冠，某校网球社团举办了网球单打（单循环）比赛，参赛的所有学生之间都进行一场比赛，共安排了36场比赛，设共有名学生参加比赛，则可列方程为____________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数（为常数，，）的图象上，点的坐标为，点的坐标为，则的值为______． 14. 已知二次函数（、为常数，且），将该二次函数的图象向右平移3个单位长度后经过原点，当时，二次函数的最大值为2，则的值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 用配方法将化成的形式，并写出对称轴和顶点坐标． 17. 已知反比例函数(为常数，且)，当时，，求该反比例函数的解析式，并判断点是否在该函数的图象上． 18. 某企业2023年芯片销售总额为36亿元，经过两年技术革新，该企业2025年芯片销售总额达到81亿元，求该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率． 19. 已知抛物线经过点，求抛物线与轴的交点坐标． 20. 在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率与做功所用的时间成反比例函数关系，图象如图所示． （1）求功率关于做功所用的时间的函数解析式； （2）若某次做功所用的时间为，求其功率． 21. 为实现乡村振兴，某乡镇农产品销售运营中心利用某直播平台销售火龙果．若该运营中心平均每天可销售70箱，每箱盈利10元．要尽可能让利给消费者，运营中心决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱火龙果每降价1元，平均每天可多售出15箱，当每箱火龙果降价多少元时，日盈利为780元？ 22. 已知二次函数（为常数）的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … （1）填空：      ，      ，      ； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描点画出该二次函数的图象； （3）根据图象，当时，写出的取值范围为      ． 23. 已知关于的方程的两个根为，，且，． （1）求、的值； （2）求的值． 24. 如图，一次函数（、为常数，）与反比例函数（为常数，，）的图象交于、两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）点是第一象限反比例函数图象上一点，连接、，若，求点的坐标． 25. 有一座抛物线形拱桥，截面如图所示，其中桥拱截线是一段抛物线，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，抛物线最高点到的距离为5米．以点为原点，所在直线为轴，经过点与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，是警戒线，抛物线最高点到的距离是米． （1）求桥拱截线所在抛物线的解析式； （2）节日前夕，要在拱桥桥洞内悬挂一些高度相同的灯笼（宽度忽略不计），已知灯笼的高度（即悬挂点到灯笼底部的距离）均为米，要求灯笼的最底端不得低于，按要求挂满灯笼后，求最左端与最右端的两个灯笼之间的水平距离． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，，，点是边上的动点（不与端点重合），连接，在右侧作，且，连接，设． ①用含的代数式表示的长为； ②当的面积为18时，求的长． 【问题解决】 （2）如图2，正方形是某小区的一块空地示意图，现物业工作人员要对这块空地进行绿化改造，在、边上分别找一点、（均不与端点重合），并沿、、铺设三条小路，要求，在的中点处修建一口灌溉水井，并从点向点铺设地下水管．已知，设，，求的长度最大（即最大）时，铺设地下水管的长度．（小路和地下水管的宽度及水井的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $