精品解析：陕西省榆林市府谷县2025-2026学年上学期九年级数学期中质量检测试题

2025~2026学年度第一学期期中教学质量检测 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，在试题卷上作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计数分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 2. 如图，点是正方形对角线上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 一个盒子内装有大小、形状均相同的四个球，其中1个红球、1个绿球和2个白球．小明从中摸出一个球后不放回，再摸出一个球，则两次摸到的球的颜色一样的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点为边上一点．添加下列一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点，分别是，的中点，，垂足为，若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 3 7. 小颖在一次比赛中观察到铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系式为，当铅球的飞行高度为时，铅球此时的水平距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，为边上一点，连接，取的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若是关于x的方程的一个根，则m的值为______． 10. 如图，在菱形中，，为对角线，平分，若，则的度数为___________ °．  11. 某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下： 投掷次数 20 40 100 200 400 1000 “投掷到中心区域”的频数 15 34 88 184 356 910 “投掷到中心区域”的频率 0.75 0.85 0.88 0.92 0.89 0.91 估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为______．（结果保留小数点后一位） 12. 在一次聚会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯36次，则参加聚会的有______人． 13. 唢呐是一种中国传统双簧木管乐器，拥有其独特的气质与音色．它的外部结构因符合黄金分割比例使人产生视觉上的美感．如图，一个中号唢呐利用黄金分割法将其分为和两部分，其中点P为唢呐的黄金分割点，即．已知的长约为，则的长约为______． 14. 如图，四边形是正方形，点E在边上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，分别交于点M，N，过点F作的垂线交的延长线于点G．连接，若，则_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用配方法解方程：． 16. 用公式法解方程：． 17. 用因式分解法解方程：． 18. 如图，已知，，垂足分别为、，交于点，，，，求的长． 19. 如图，将矩形的对角线向两端延伸，使，连接，．求证：． 20. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张总面积的，求应设置的页边距． 21. 为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有3张相同的卡片，分别写有材料A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是______； （2）求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 22. 如图，小亮正在测量大楼的高度．他在距离大楼的点处竖立一根长为的标杆，并调整自己的位置站在点处，此时他的眼睛、标杆顶点和大楼顶点三点共线．已知，小亮的眼睛距离地面的高度．求大楼的高度． 23. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 24. 近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元． （1）求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率 （2）该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 25. 如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 26. 【问题提出】 （1）如图①，已知等边的边长为4，为边上一点，且，点为边上一点，若，则的长为_____； （2）如图②，在矩形中，点在边上，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上．连接，作的平分线交于点，交于点．判断点是否为线段的中点，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，某区管委会现计划将一片矩形空地改造为体育公园，供市民休闲娱乐，其中出入口点在边上，且，，，按照设计图，取的中点，连接，，且，连接交于点，将设计成一个观光湖，现准备分别在湖岸，上寻找一点，，修建两条小桥，，求小桥的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中教学质量检测 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，在试题卷上作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计数分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等实数根， 故选：． 2. 如图，点是正方形对角线上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质．由正方形的性质可得，，证明的度数，再利用三角形的外角性质可得答案． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3. 如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 4. 一个盒子内装有大小、形状均相同的四个球，其中1个红球、1个绿球和2个白球．小明从中摸出一个球后不放回，再摸出一个球，则两次摸到的球的颜色一样的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据题意画树状图，得出总共有12种等可能结果．两次颜色相同只能是两次都摸到白球，有2种方式，根据概率公式求解，即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况 ∴两次都摸到白球的概率是： 故选：B． 5. 如图，在中，点为边上一点．添加下列一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：有两组角相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据三角形相似的判定方法逐一进行判断． 【详解】解：当时， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ； 当， 而与不一定相等， 所以不能判定和相似． 故选：D． 6. 如图，在中，，点，分别是，的中点，，垂足为，若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质． 先由等腰三角形的性质得到，，然后由勾股定理求出，最后由直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∴， ∵，点是的中点 ∴， 故选：C． 7. 小颖在一次比赛中观察到铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系式为，当铅球的飞行高度为时，铅球此时的水平距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．将飞行高度代入函数关系式，得到关于x的二次方程，解该方程即可得到水平距离．由于水平距离应为正数，舍去负根． 【详解】解：∵，且， ∴， 整理得：， ∴或， ∵水平距离， ∴． 故选：D． 8. 如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，为边上一点，连接，取的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线，勾股定理．取中点，连接和，可得分别为和中位线，利用中位线定理可证三点共线，求出后，组合计算即可． 【详解】解：取中点，连接和， ∵在矩形中， ， ， ∵O为对角线的中点，F为的中点，为中点， ∴分别为和中位线， ∴，且， 三点共线， ． 故选：C． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若是关于x的方程的一个根，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的解，已知方程的解时，将方程的解代入方程求出其他参数即可，正确理解方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得， 故答案为1． 10. 如图，在菱形中，，为对角线，平分，若，则的度数为___________ °．  【答案】 【解析】 【分析】本题主要利用角平分线的定义和菱形的性质来求解的度数．首先，根据角平分线的定义计算的度数；然后，利用菱形的性质得出，从而得到；最后，利用三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下： 投掷次数 20 40 100 200 400 1000 “投掷到中心区域”的频数 15 34 88 184 356 910 “投掷到中心区域”的频率 0.75 0.85 0.88 0.92 0.89 0.91 估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为______．（结果保留小数点后一位） 【答案】0.9 【解析】 【分析】根据当实验次数较多时，可以用频率估计概率解答即可． 【详解】解：根据表中信息可知，当实验次数越来越多时，估计冰壶“掷到中心区域”的概率为0.9． 故答案为：0.9． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值就是概率，解决本题的关键是掌握利用频率估计概率． 12. 在一次聚会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯36次，则参加聚会的有______人． 【答案】9 【解析】 【分析】由题意设参加聚会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯36次，则可得每个人可碰（x-1）次，继而可得x人一共碰杯x（x-1）次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加聚会的人数为x人， 根据题意得：x（x-1）=36， 整理，可得：x2-x-72=0， 解得：x1=9，x2=（不合题意，舍去）， 则参加聚会的人数为9人， 故答案为：9． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．解题的关键是根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程． 13. 唢呐是一种中国传统双簧木管乐器，拥有其独特的气质与音色．它的外部结构因符合黄金分割比例使人产生视觉上的美感．如图，一个中号唢呐利用黄金分割法将其分为和两部分，其中点P为唢呐的黄金分割点，即．已知的长约为，则的长约为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求解即可． 【详解】解：点P为唢呐的黄金分割点，且， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，四边形是正方形，点E在边上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，分别交于点M，N，过点F作的垂线交的延长线于点G．连接，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】如图所示，过点Q作于Q，先证明得到，进而证明，得到，则，证明四边形是矩形，得到，，证明， 求出，证明，求出，则． 【详解】解：如图所示，过点Q作于Q， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用配方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程；利用配方法求解一元二次方程． 【详解】解：移项得 ， 配方得 ， 即 ， 开方得 ， ∴ ． 16. 用公式法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 解得． 17. 用因式分解法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先移项，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，正确利用方程根分解因式是解题关键． 18. 如图，已知，，垂足分别为、，交于点，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据，可得，由对顶角相等得，则，根据相似三角形的性质即可求解，熟知两个三角形相似，对应边的比相等是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 19. 如图，将矩形的对角线向两端延伸，使，连接，．求证：． 【答案】 证明：在矩形中， ∴， ∴， 又， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质可得，根据平行线的性质得出，根据邻补角相等得出，进而即可证明，即可得到． 【详解】略 20. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张总面积的，求应设置的页边距． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设页边距为，由题意得：，即可求解； 【详解】解：设页边距为， 由题意得：， 解得：（舍去）， ∴页边距为 21. 为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有3张相同的卡片，分别写有材料A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是______； （2）求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．熟练掌握简单的概率计算，列举法求概率是解题的关键． （1）利用概率公式计算求解即可； （2）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，小明诵读《论语》的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料有6种等可能的结果， ∵， ∴小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 22. 如图，小亮正在测量大楼的高度．他在距离大楼的点处竖立一根长为的标杆，并调整自己的位置站在点处，此时他的眼睛、标杆顶点和大楼顶点三点共线．已知，小亮的眼睛距离地面的高度．求大楼的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据可证，根据相似三角形的性质可知，从而求出的长度，根据求出大楼的高度． 【详解】解：如下图所示，过点作，交于点， 由题意可知，， 则， 又，， ，， ， ， ， ， 解得：， ． 23. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由为平行四边形可知，， ， ， 又， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据四边形的对边相等可得，求出的长，再根据相似三角形的性质对应边成比例，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平行四边形中，， ，， ， ， 由（1）得， ， ． 24. 近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元． （1）求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率 （2）该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 【答案】（1）集体经济收入的年平均增长率为10% （2）每千克甜瓜应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可； （2）设每千克甜瓜应涨价y元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x， ， 解之得(不合题意，舍去)， 答∶集体经济收入的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每千克甜瓜应涨价y元， ， 解之得， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答∶每千克甜瓜应涨价5元． 25. 如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， ，是边的中点． ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质及判定，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明四边形是菱形； （2）过点作交的延长线于点，先求出，，再根据勾股定理求出、、，进而求出，在中，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作交的延长线于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ，是边的中点， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 在，， ． 26. 【问题提出】 （1）如图①，已知等边的边长为4，为边上一点，且，点为边上一点，若，则的长为_____； （2）如图②，在矩形中，点在边上，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上．连接，作的平分线交于点，交于点．判断点是否为线段的中点，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，某区管委会现计划将一片矩形空地改造为体育公园，供市民休闲娱乐，其中出入口点在边上，且，，，按照设计图，取的中点，连接，，且，连接交于点，将设计成一个观光湖，现准备分别在湖岸，上寻找一点，，修建两条小桥，，求小桥的最小值． 【答案】（1）； （2）点P为线段的中点，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P是线段的中点； （3）小桥的最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）连接，根据题意及角平分线的定义，证明，得到，进而证明，得到，即可解答； （3）利用勾股定理求得，证明，求得，利用直角三角形的性质和三角形中位线定理求得，，，设，，证明和，求得，，联立得，在上取点，使，作于点，证明，得到，推出，得到的最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵等边的边长为4， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 作于点，作于点， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理， ∴，即， ∴， ∴，， 在上取点，使，作于点， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵矩形空地， ∴， ∵，， ∴在同一直线上， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，又， ∴，即小桥的最小值为． 【点睛】本题考查考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，掌握矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $