精品解析：吉林省第二实验学校2026-2027学年上学期九年级数学期中试题

2026－2027学年度上学期九年级期中考试数学试卷 本试卷包括三道大题，共24小题．共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、校区、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2026 C. D. 2. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，拥有庞大参数量，知识储备深厚，当前最新版本参数规模为亿．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若树高米，则点，之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 16米 5. 如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于E、F两点：再分别以E、F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线交于点H．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如图，在正方形网格里，点O，B，D在格点上，四边形是的内接四边形，观察图形，的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：______． 10. 函数的图象上，若随的增大而减小，则此时的取值范围为________ 11. 若是一元二次方程的一个根，则另一个根为____________． 12. 如图，直线，直线分别交、、于点A，B，C，过点B的直线分别交，于点D，E．若，，，则线段的长为______________ 13. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 14. 如图，为的弦，，为圆上的两个动点，记弦所对的圆心角度数为，弦所对的圆心角度数为． 若，给出如下四个结论： ①； ②若，则； ③若为弧的中点，则； ④． 上述结论中一定正确的有______（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 【代数推理】在证明命题“如果、、、都是正数，且，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：，是正数， （                               ） ，是正数，                         ． （不等关系具有传递性） 【问题解决】 （1）请将上述的证明过程填写完整； （2）若，求证：． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点称为格点，A，B，C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作平行四边形； （2）在图2中作正方形； （3）在图3中作菱形，使点在直线上． 18. 2026年5月18日，富平县文庙博物馆正式向公众开放．为庆祝开馆，某文创商店用200元购进了一批A款纪念徽章，又用300元购进了一批B款纪念徽章，且B款纪念徽章的单价（单位：元/枚）是A款纪念徽章单价的2倍，已知购进A款纪念徽章的数量比B款纪念徽章多10枚，求A款纪念徽章的单价． 19. 如图，四边形的对角线交于点O，，，．求证：四边形为矩形． 20. 项目学习 项目背景：“音乐喷泉”是某市民广场的一个打卡点，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏．现在对喷泉进行测量和规划，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何对音乐喷泉进行测量和规划 活动内容 利用三角形与圆等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 示意图如图所示，点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦， 米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C， 米．已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以点O为圆心，R为半径作防护栏所在圆（图中虚线所在的圆）． 数据 米，米．图中防护栏的厚度忽略不计． 计算 … 交流展示 … 根据上述数据， （1）求喷泉的半径的长． （2）若要在防护栏上至少每隔米安装一盏景观灯，最多可以安装多少盏景观灯？（结果取整数，取） 21. 综合与实践 【情境描述】 圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高40cm的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里． 【观察发现】 圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量x（只） 1 2 3 4 5 6 … 总高度h（cm） 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 … 【建立模型】 （1）请根据上表中的信息，在平面直角坐标系中描出对应点，观察这些点的分布规律，试求h关于x的函数表达式． （2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度． 【解决问题】 （3）请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？ 22. “弦图”被誉为数学界的图腾（如图1），该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间的一个小正方形，可以巧妙地证明勾股定理．依据“弦图”的结构特点，可联想、迁移解决一些“直角”相关问题． （1）【问题发现】如图1，“弦图”中，若，正方形的边长为2，则的长为           ； （2）【知识迁移】如图2，在正方形中，为边上一点，作于点，的延长线于点，连结，若，，求的长； 【问题解决】西西同学想模仿弦图的构图方式解决此问题，方法如下： 解：如图，将原图以与全等的三个直角三角形补成一个弦图，则四边形为正方形，， ， 四边形为矩形， 设． 解得，（舍去）； 请将方框中的证明过程补全． （3）【深化拓展】如图3，有同学参考弦图，用两组全等的直角三角形拼成了一个平行四边形，其中与为等腰直角三角形，连结，已知，，则的值为          ． 23. 如图，在矩形中，，，点P是对角线上一点（点P不与点B重合），以点P为圆心，长为半径的交射线于点E．作点E关于的对称点F． （1）线段的长为         ． （2）连结、，求证：是等边三角形． （3）连结，当点P在运动过程中，线段的长度最小时，的半径为         ． （4）连结、，若是等腰三角形时，直接写出的半径的长． 24. 在平面直角坐标系中．点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），抛物线与轴交于点，作直线BC．点是直线上一点，其横坐标为，点在轴上，其横坐标为，连结，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连结． （1）点坐标为（ ， ），点坐标为（ ， ），点坐标为（ ， ）． （2）当点落在抛物线上时，求的面积． （3）设线段与直线交于点，线段与抛物线存在交点时，设此交点为点，当时，求的值． （4）抛物线在内部的图象的函数值随的增大而增大，或者随的增大而减小时，直接写出此时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度上学期九年级期中考试数学试卷 本试卷包括三道大题，共24小题．共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、校区、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2026 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的倒数是． 2. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，拥有庞大参数量，知识储备深厚，当前最新版本参数规模为亿．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法的一般形式为（，n为整数）确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：亿． 3. 图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知， ， 故选：C． 4. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若树高米，则点，之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 16米 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角函数的应用，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键． 首先根据得到，然后利用得到，利用即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 在中，， ， 在中，， ， ， 米， 故选：B． 5. 如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 6. 如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于E、F两点：再分别以E、F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线交于点H．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得：平分，所以，再结合，得，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后用平角的定义直接求解即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， ． 7. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比较反比例函数值的大小．反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小； A、两点在同一象限时，若，则，原说法错误，本选项不符合题意； B、两点在不同一象限时，若，则，原说法错误，本选项不符合题意； C、反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，若，则，正确，本选项符合题意； D、两点在不同一象限时，若，则，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在正方形网格里，点O，B，D在格点上，四边形是的内接四边形，观察图形，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先连接，根据勾股定理及其逆定理说明是直角三角形，可得，再根据圆周角定理得出，然后根据圆内接四边形的对角互补得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， 根据勾股定理，得， 则， ∴是直角三角形， 则， ∴． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 10. 函数的图象上，若随的增大而减小，则此时的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小． 11. 若是一元二次方程的一个根，则另一个根为____________． 【答案】 【解析】 【分析】已知一个根为，设另一根为未知数，利用一元二次方程根与系数的关系中两根之积的关系，即可计算出另一根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系，可得两根的乘积为， ∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 即方程的另一个根为． 12. 如图，直线，直线分别交、、于点A，B，C，过点B的直线分别交，于点D，E．若，，，则线段的长为______________ 【答案】3 【解析】 【分析】三条平行线截两条直线，对应的线段比值相等，得到和的比等于和的比，算出长度是的 2 倍；由与两段组成，总长为 9，也就是 3 份等于 9，求出长是 3． 【详解】解：已知直线，，，． 根据平行线分线段成比例定理： 得到，， 又因为，，把代入得： 故答案为：3． 【点睛】 13. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 14. 如图，为的弦，，为圆上的两个动点，记弦所对的圆心角度数为，弦所对的圆心角度数为． 若，给出如下四个结论： ①； ②若，则； ③若为弧的中点，则； ④． 上述结论中一定正确的有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】延长交于点，连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，证明，得到，，进而得到判断①；根据，推出为等边三角形，进而得到，解直角三角形得到，判断②；假设，求出，得到只有当，，判断③；勾股定理结合等量代换判断④即可． 【详解】解：延长交于点，连接，则：，， ∴， ∵弦所对的圆心角度数为．弦所对的圆心角度数为， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴；故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在中，；故②正确； ∵若为弧的中点， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴只有当时，③成立；故③不正确， 在中，， ∵， ∴；故④正确； 综上所述，一定正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造直角三角形和全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算-化简求值，根据完全平方公式，多项式乘以多项式进行化简，再将代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 16. 【代数推理】在证明命题“如果、、、都是正数，且，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：，是正数， （                               ） ，是正数，                         ． （不等关系具有传递性） 【问题解决】 （1）请将上述的证明过程填写完整； （2）若，求证：． 【答案】（1）不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质进行求解； （2）根据不等式的性质进行证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点称为格点，A，B，C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作平行四边形； （2）在图2中作正方形； （3）在图3中作菱形，使点在直线上． 【答案】（1） 如图，平行四边形即为所求； （2） 如图，正方形即为所求； （3） 如图，菱形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺的基本作图，勾股定理，熟练掌握平移，平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，勾股定理是解题的关键． （1）连接，将点向下平移个单位，再向右平移个单位即可得到点，可得四边形即为所求． （2）正方形的判定，结合一线三直角的三角形全等模型，画图即可． （3）根据勾股定理，确定菱形的边长，作直线，再利用勾股定理，构造其余边长，确保点在直线上，结合四边相等的四边形是菱形完成作图． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 2026年5月18日，富平县文庙博物馆正式向公众开放．为庆祝开馆，某文创商店用200元购进了一批A款纪念徽章，又用300元购进了一批B款纪念徽章，且B款纪念徽章的单价（单位：元/枚）是A款纪念徽章单价的2倍，已知购进A款纪念徽章的数量比B款纪念徽章多10枚，求A款纪念徽章的单价． 【答案】A款纪念徽章的单价为5元． 【解析】 【分析】设A款纪念徽章单价为未知数，根据B款单价与A款的关系表示出B款单价，再结合A款数量比B款多10枚的等量关系列分式方程求解，解后检验即可得到结果． 【详解】解：设A款纪念徽章的单价为元，则B款纪念徽章的单价为元． 根据题意可得：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程的解，且符合实际意义． 答：A款纪念徽章的单价为5元． 19. 如图，四边形的对角线交于点O，，，．求证：四边形为矩形． 【答案】证明：∵ ，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴，，即， ∴平行四边形为矩形． 【解析】 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，结合已知条件，得出，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明； 【详解】略 20. 项目学习 项目背景：“音乐喷泉”是某市民广场的一个打卡点，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏．现在对喷泉进行测量和规划，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何对音乐喷泉进行测量和规划 活动内容 利用三角形与圆等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 示意图如图所示，点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦， 米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C， 米．已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以点O为圆心，R为半径作防护栏所在圆（图中虚线所在的圆）． 数据 米，米．图中防护栏的厚度忽略不计． 计算 … 交流展示 … 根据上述数据， （1）求喷泉的半径的长． （2）若要在防护栏上至少每隔米安装一盏景观灯，最多可以安装多少盏景观灯？（结果取整数，取） 【答案】（1）5米 （2）25盏 【解析】 【分析】（1）连接，由垂径定理的推论得到米，设米，则米，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵是的半径，D是的中点， ∴米， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴喷泉的半径的长为5米； 【小问2详解】 解：， 答：最多可以安装25盏景观灯． 21. 综合与实践 【情境描述】 圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高40cm的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里． 【观察发现】 圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量x（只） 1 2 3 4 5 6 … 总高度h（cm） 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 … 【建立模型】 （1）请根据上表中的信息，在平面直角坐标系中描出对应点，观察这些点的分布规律，试求h关于x的函数表达式． （2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度． 【解决问题】 （3）请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？ 【答案】 （1）如图 （2）（3）22个 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用．解题的关键是求出一次函数的解析式． （1）描点，连线画出函数图象，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入函数解析式，进行求解即可； （3）将代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】解：[建立模型] （1）根据点的分布规律可知，h关于x的函数关系式满足一次函数， 设h关于x的函数关系式为， ∵图象经过， ∴， 解得， ∴h关于x的函数关系式为； （2）当时，， ∴这摞杯子的总高度； （3）当时，， 解得：， ∴一摞最多能叠22个杯子，可以一次性放进柜子里． 22. “弦图”被誉为数学界的图腾（如图1），该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间的一个小正方形，可以巧妙地证明勾股定理．依据“弦图”的结构特点，可联想、迁移解决一些“直角”相关问题． （1）【问题发现】如图1，“弦图”中，若，正方形的边长为2，则的长为           ； （2）【知识迁移】如图2，在正方形中，为边上一点，作于点，的延长线于点，连结，若，，求的长； 【问题解决】西西同学想模仿弦图的构图方式解决此问题，方法如下： 解：如图，将原图以与全等的三个直角三角形补成一个弦图，则四边形为正方形，， ， 四边形为矩形， 设． 解得，（舍去）； 请将方框中的证明过程补全． （3）【深化拓展】如图3，有同学参考弦图，用两组全等的直角三角形拼成了一个平行四边形，其中与为等腰直角三角形，连结，已知，，则的值为          ． 【答案】（1）3 （2）在中，，即， 化简得， （3） 【解析】 【分析】（1）由弦图的构成可得出和的长，从而可得出的长； （2）将原图以与全等的三个直角三角形补成一个弦图，得四边形为正方形，四边形为矩形，设，在中利用勾股定理可解出的值； （3）由题目所给条件可推出四边形为正方形，连结，由可得，从而可得到，故，设，则，分别用表示出和即可得到的值． 【小问1详解】 解：∵正方形的边长为2， ∴， ∵，图1由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间的一个小正方形， ， ； 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：∵与为等腰直角三角形，两组全等的直角三角形拼成了一个平行四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形为矩形， ， ， ∴矩形为正方形， 如图，连结， ∴，， ， ， ， ， ， 又， ∴， ， 设，则，， ，， ． 23. 如图，在矩形中，，，点P是对角线上一点（点P不与点B重合），以点P为圆心，长为半径的交射线于点E．作点E关于的对称点F． （1）线段的长为         ． （2）连结、，求证：是等边三角形． （3）连结，当点P在运动过程中，线段的长度最小时，的半径为         ． （4）连结、，若是等腰三角形时，直接写出的半径的长． 【答案】（1） （2）证明：∵点E、F关于对称， ∴是线段的垂直平分线， 即，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质和所对直角边是斜边的一半得到，在中，结合勾股定理得到线段的长； （2）根据对称性得到是线段的垂直平分线，从而得到和，在中，根据直角三角形两锐角互余得到，从而得到结论； （3）根据“垂线段最短”，当时，线段的长度最小，在中，根据所对直角边是斜边的一半和勾股定理得到，利用等边三角形的性质得到，再根据圆的性质和等腰三角形的性质得到，在中，根据所对直角边是斜边的一半和勾股定理得到，即的半径； （4）根据是等腰三角形进行分类讨论，根据垂直平分线的性质和判定得到，再利用矩形性质和判定、菱形的性质和判定、等腰三角形性质、等边三角形性质、所对直角边是斜边的一半和勾股定理求出的半径． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由（2）知是等边三角形， ∴， ∴点始终都在射线上， 根据“垂线段最短”，当时，线段的长度最小， 此时，， 在中，，根据勾股定理得，， 解得， ∴， 过点作，垂足为点，连接， ∵、都是的半径， ∴， 又∵， ∴，且， 在中，， ∴， 根据勾股定理得，， 解得， ∴的半径为； 【小问4详解】 解：若是等腰三角形时，分为三种情况： 第一种情况：， 连接交于点，过点作，交于点，连接， ∵、、是的半径， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 由（2）知是等边三角形， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即的半径为； 第二种情况：， 连接交于点，交于点，过点作，交于点， 连接， ∵、、是的半径， ∴， 由（1）知， 由（2）知是等边三角形， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 根据勾股定理得，， ∴， ∴， ， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得， 即的半径为； 第三种情况：， 由（2）知是等边三角形， ∴， ∴点始终都在射线上， 根据“垂线段最短”，当时，线段的长度最小， 此时，， 在中，， 由（1）知， ∴， 根据勾股定理得，， 解得， 当线段最小时，长度为，此时， ∴不可能存在，舍去； 综上所述：的半径为或． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质和判定、矩形性质和判定、菱形的性质和判定、等腰三角形性质、等边三角形性质和判定、所对直角边是斜边的一半和勾股定理、解方程等内容，解题关键是数形结合和分类讨论． 24. 在平面直角坐标系中．点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），抛物线与轴交于点，作直线BC．点是直线上一点，其横坐标为，点在轴上，其横坐标为，连结，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连结． （1）点坐标为（ ， ），点坐标为（ ， ），点坐标为（ ， ）． （2）当点落在抛物线上时，求的面积． （3）设线段与直线交于点，线段与抛物线存在交点时，设此交点为点，当时，求的值． （4）抛物线在内部的图象的函数值随的增大而增大，或者随的增大而减小时，直接写出此时的取值范围． 【答案】（1），，，，，； （2）或； （3）或； （4）的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）令解一元二次方程，求得抛物线与轴交点、，根据“A在B左侧”确定两点坐标；令得到抛物线与轴交点； （2）在轴上，抛物线上落在轴的点只有、，因此落在抛物线上，等价于与或重合，由此得到的两个取值，解出参数，线段绕逆时针旋转得到，所以，，是等腰直角三角形，分两种的取值，求出的长度，利用等腰直角三角形面积公式分别计算面积； （3）过作轴垂线，垂足为；过作直线的垂线，垂足为，利用一线三垂直（型）全等，由逆时针旋转得到，证明，得到线段等量关系，推导出动点的坐标， 观察、，两点横坐标之和恒等于，因此中点横坐标恒为；而PQ与对称轴交于，可得就是的中点， 条件，在中，是中点，由三角形中位线定理，可得必须是的中点， 用中点公式写出的坐标，在抛物线上，将点代入抛物线解析式，得到关于的一元二次方程，解方程求出，完成求解； （4）先对动点的坐标消参，得到在定直线上运动，联立直线与抛物线求出交点作为分界，得到相对抛物线内外对应的范围；舍去在抛物线内部的不合题意范围，再结合点位置分类，依据二次函数增减性，判断内部的抛物线图象是否全部位于对称轴同一侧，筛选出满足条件的取值范围． 【小问1详解】 解：令，即， 因式分解：，解得， 在左侧， , 令，， ； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把代入： 解得， 直线：， 在轴上，横坐标为， 又轴上抛物线上的点只有， 落在抛物线上，则或， ①当时，， 如图： ∴的横坐标为代入， 得：的纵坐标：，即，与点重合， 此时，, 由旋转：， ②当时，， 如图：连接， 的纵坐标：，即， ，是等腰直角三角形，， 由，得， 点在轴上， ，横坐标都是， 轴，即， ，， 综上，或； 【小问3详解】 解：如图，过作轴垂线，垂足为；过作直线的垂线，垂足为， ， ， 又， ， 又， ， ， ，， ，， ，， 的横坐标： 的纵坐标： ∵中点横坐标：， 的中点落在直线上， 已知与直线交于， 是线段的中点，如下图： 因为，在中，为中点， 所以是的中点， 中点坐标： ， 在抛物线上，代入： 整理得： 解得：或， ∴当时，求m的值为或； 【小问4详解】 解： 令， 则 是直线上一动点， 联立方程组： ， 消去得： ， 整理得， 解得， 当时，在抛物线左外侧，得， 当时，在抛物线右外侧，得， 当时，在抛物线内部（包括在抛物线上）， 得， ， 当时，。 同时，， 在线段之间，在线段之间， 此时均在抛物线内部，如图所示： 不合题意，舍去； 当时， ，在点左侧（包括和点重合），如下图： 落在内部的抛物线在上方，且在对称轴左侧这一段抛物线，随增大而减小，符合题意， 当时，在点右侧，如下图： 此时落在内部有两段抛物线，不符合题意； 当时， ，在点右侧（包括和点重合）， 落在内部的抛物线一定在直线的右侧，而， 即直线在抛物线对称轴右侧（抛物线的对称轴为直线），如下图： 落在内部的抛物线，随增大而增大，符合题意； 当时，在点左侧， 此时落在内部有两段抛物线，不符合题意。 综上，的取值范围是或． 【点睛】本题是二次函数压轴大题，融合坐标旋转型全等、中位线隐藏条件、动点定轨迹识别、二次函数增减性、多段分类讨论，第（3）问的突破口是发现中点固定在对称轴，识别为中点，借助中位线简化计算，避免复杂斜率运算；第（4）问难点在于双重分类，先判断动点相对抛物线的内外位置，再结合的位置，结合图形判断三角形包裹的抛物线段增减性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $