精品解析：吉林省长春市朝阳区2025—2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025－2026学年度（上学期）期中质量监测·九年级数学 全卷满分120分．考试时间为120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 1，3，6，9 B. 2，3，4，5 C 1，，2， D. 3，6，4，8 4. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 6. 如图，和是以点为位似中心位似图形，点在线段上，若，则与的位似比为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将直角三角形纸片按如图方式折叠再展开，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 四边形周长是周长的2倍 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 二次根式有意义的条件是____． 10. 若，则的值为________． 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 12. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝．如图，棋盘放在平面直角坐标系中，若“炮”所在位置的坐标为，“帅”所在位置的坐标为，则“相”所在位置的坐标为________． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；②分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点；③作直线，交于点．若，，则线段的长为________． 14. 如图，点为的边延长线上的一点，连结，交于点，交于点，且．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的12倍．上述结论中，正确结论的序号是________． 三、解答题：本题10小题，共78分． 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 有理数、在数轴上的位置如图所示，化简． 18. 近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变化．某地区年数字阅读市场规模为万元，年数字阅读市场规模达到万元，求该地区这两年数字阅读市场规模的年平均增长率． 19. 已知关于一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为，则的值为________，该方程的另一个根为________． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）图①中，在线段上确定一点，使； （2）在图②中，在线段上确定一点，使； （3）在图③中，在线段上确定一点，连结，使． 21. 是矩形的边上一点，连结，于点． （1）求证：； （2）若点为中点，，，则的长为________． 22. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2 如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点．求证：． 证明：连接． 、分别是边、的中点， …… （1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 【结论归纳】 通过进一步探究，可知结论：三角形三条边上中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 【拓展应用】 （2）如图②，在矩形中，，，对角线、交于点，点是的中点，连接交于点，则的长为________，的面积为________． （3）如图③，在矩形中，，，点、、分别在边、、上，且，，点为上一动点，连接、、，点为的重心，则线段的最小值为________． 23. 学校项目实验小组有一块矩形试验田如图所示，、，为了管理方便，现要在试验田中间开辟一横两纵共三条等宽的管理通道，使种植区（图中阴影部分）总面积为． （1）求管理通道的宽； （2）实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益．去年作物总产量为千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出．今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低元，总销量可增加千克． ①若今年义卖售价定为元/千克，则作物的总销量为________千克，义卖总收入为________元． ②若今年义卖总收入预计为元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为________元/千克． 24. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿以相同的速度运动，点、同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．连接，以为边作正方形，点与点在直线同侧．设点的运动时间为秒． （1）线段的长为________；（用含的代数式表示） （2）当时，求线段的长； （3）当点、同时在内部时，求的取值范围； （4）当点在内部时，若点到直线的距离是点到直线的距离的3倍，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度（上学期）期中质量监测·九年级数学 全卷满分120分．考试时间为120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数的因数为整数且无开得尽方的因数），逐一判断各选项． 【详解】∵ A：，被开方数5为整数，无分母，且5不是完全平方数，∴ 是最简二次根式． ∵ B：，被开方数含分母，∴ 不是最简． ∵ C：，分母中有根号，∴ 不是最简． ∵ D：，被开方数4是完全平方数，可化简为2，∴ 不是最简二次根式． 故选A． 2. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需熟练掌握化简步骤，确保方程为标准形式． 将原方程通过去括号、移项和合并同类项化为一般形式． 【详解】解：∵原方程为， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 乘以（使二次项系数正）：， ∴一般形式为， 故选：C． 3. 在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 1，3，6，9 B. 2，3，4，5 C. 1，，2， D. 3，6，4，8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义．熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键． 如果四条线段中，其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段叫做成比例线段． 判断四条线段是否成比例，可通过计算第一条与第四条线段的乘积，以及第二条与第三条线段的乘积，若相等则成比例． 【详解】A．，，，∴ 不成比例； B．，，，∴ 不成比例； C．，，，∴ 不成比例； D．，，，∴ 成比例． 故选：D． 4. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简及运算，解题的关键是掌握二次根式的化简法则和运算法则． 利用二次根式的化简法则和运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误； 故选：B． 5. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 通过因式分解法求解方程，利用零乘积性质得出解． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， 即 , ， 故选B． 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的位似比为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：， ， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， 则与位似比为. 故选：A． 7. 如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 根据相似多边形的性质，即相似多边形的对应角相等，对应边成比例来进行判断． 【详解】解： 五边形五边形， ，，． 已知，，则． 选项A：，错误，该选项不符合题意； 选项B：，错误，该选项不符合题意； 选项C： ，即正确，符合题意； 选项D：，，而不是，选项不符合题意； 故选C． 8. 如图，将直角三角形纸片按如图方式折叠再展开，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 四边形周长是周长的2倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及图形折叠的性质、平行线的判定．熟练掌握相似三角形的判定与性质以及图形折叠的性质、平行线的判定是解题的关键． 根据折叠的性质以及相似三角形的判定与性质对每个选项进行分析判断即可． 【详解】解：A.由折叠可知，， ， 故该选项正确，不符合题意； B.， ， 且由折叠的性质可知， ， ， ， 故该选项正确，不符合题意； C.， ， ，即， 故该选项正确，不符合题意； D.，且由折叠的性质可知， ， ， ，，， ， 的周长， 四边形的周长， 四边形的周长不是的周长的2倍， 故该选项错误，符合题意． 故选D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 二次根式有意义的条件是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于 的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 10. 若，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质与分式的化简求值．熟练掌握比例的性质与分式的化简求值是解题的关键． 根据已知比例关系，设参数表示和，再代入所求分式计算． 【详解】由 ，设 ，（其中 ）， 则 ， 所以 ． 故答案为：． 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 【答案】-4 【解析】 【分析】根据根的判别式列出关于的方程，求解即可. 【详解】由题意，得 ∴ 故答案为：-4. 【点睛】此题主要考查利用根的判别式求参数的值，熟练掌握，即可解题. 12. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝．如图，棋盘放在平面直角坐标系中，若“炮”所在位置的坐标为，“帅”所在位置的坐标为，则“相”所在位置的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据给出的坐标确定原点的位置，建立直角坐标系，进而写出“相”所在位置的坐标即可． 【详解】解：由题意，建立直角坐标系如图： 由图可知：“相”所在位置的坐标为； 故答案为：． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；②分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点；③作直线，交于点．若，，则线段的长为________． 【答案】9 【解析】 【分析】该题考查了尺规作垂直平分线，相似三角形的性质和判定，根据作图可知是的垂直平分线，从而得，，证明，列方程即可求解． 【详解】解：根据作图可知是的垂直平分线， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得：， 解得：，（负值已舍去）， 故， 故答案为：9． 14. 如图，点为的边延长线上的一点，连结，交于点，交于点，且．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的12倍．上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质；根据平行四边形的性质推出，，可以证明①说法正确；由平行线分线段成比例分别求得，，可以证明②说法正确；设，利用相似三角形的判定和性质求得，，可以证明④说法正确；根据现有条件不能说明，③说法错误． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，①说法正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，②说法正确； 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是的面积的12倍，④说法正确； 根据现有条件不能说明，③说法错误； 故答案为：①②④． 三、解答题：本题10小题，共78分． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的加减运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先对二次根式进行化简，再进行同类二次根式的加减即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，，， ， 所以 ， ， 即，． 17. 有理数、在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及利用数轴判断数的大小关系．熟练掌握二次根式的性质以及利用数轴判断数的大小关系是解题的关键． 先化简，需根据数轴上、的位置，判断出，的正负性，再结合二次根式的性质进行化简． 【详解】解：， ，， ． 18. 近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变化．某地区年数字阅读市场规模为万元，年数字阅读市场规模达到万元，求该地区这两年数字阅读市场规模的年平均增长率． 【答案】该地区这两年数字阅读市场规模的年平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用中的增长率问题是解题的关键． 利用增长率问题的公式，若初始量为，年平均增长率为，经过年后的量为，则有，进行计算即可． 【详解】解：设该地区这两年数字阅读市场规模的年平均增长率为， 根据题意，得 解这个方程，得：，（舍）． 经检验，符合题意． 答：该地区这两年数字阅读市场规模的年平均增长率为． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为，则的值为________，该方程的另一个根为________． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解与根的求解．熟练掌握一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解与根的求解是解题的关键． （1）运用一元二次方程根的判别式，通过判断的取值范围来证明方程总有两个实数根； （2）将已知根代入方程求出，再利用因式分解求解出方程的另一个根即可 【小问1详解】 解：，根据根的判别式公式有， 化简得， 方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：将代入， 得， 解得， 把代入， 得到， 因式分解得， 解得， 该方程的另一个根为． 故答案为：，． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，在线段上确定一点，使； （2）在图②中，在线段上确定一点，使； （3）在图③中，在线段上确定一点，连结，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及利用网格构造线段比例关系．熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理以及利用网格构造线段比例关系是解题的关键． （1）按照确定点位置即可； （2）首先借助勾股定理计算出的长度，再根据的长度要求，在上确定距离点为的点； （3）依据相似三角形的判定定理，结合网格个点，在上找到点，使得与的边满足相似比例关系，从而保证． 【小问1详解】 解：如图①所示． 【小问2详解】 解：如图②所示． 【小问3详解】 解：如图③（或图④）所示． 21. 是矩形的边上一点，连结，于点． （1）求证：； （2）若点为中点，，，则的长为________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质、勾股定理．熟练掌握相似三角形的判定与性质以及矩形的性质、勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形性质，矩形的对边平行且四个角为直角，可得到，，依据“两角分别相等的两个三角形相似“，从而证明． （2）先根据矩形的性质和点为中点，求出的长度，再利用勾股定理算出的长，然后由（1）中，根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，进而求出的长． 小问1详解】 解：四边形是矩形， ，， ， 又， ， ． 【小问2详解】 解：点为中点，， ， 又， 在中， 根据勾股定理， 由（1）知，， ， 即， ． 故答案为． 22. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2 如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点．求证：． 证明：连接． 、分别是边、的中点， …… （1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 【结论归纳】 通过进一步探究，可知结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 【拓展应用】 （2）如图②，在矩形中，，，对角线、交于点，点是的中点，连接交于点，则的长为________，的面积为________． （3）如图③，在矩形中，，，点、、分别在边、、上，且，，点为上一动点，连接、、，点为的重心，则线段的最小值为________． 【答案】（1）见解析；（2），4；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，为三角形的中位线，即可证明，根据相似三角形的性质得到，进而得到结论； （2）作于点，求得点为的重心，利用勾股定理结合重心的性质可求得，再证明，求得，利用三角形面积公式求解即可； （3）当点与点重合时，过点作于点，交于点，同（2）证明，求得，，证得点在线段上运动，当时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵D、E分别是边、的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：作于点， ∵矩形中，，， ∴， ∵矩形，对角线、交于点， ∴是的中线，， ∵点是的中点， ∴是的中线， ∴点为的重心， ∴， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积为； 故答案为：，4； （3）解：当点与点重合时，过点作于点，交于点， ∵矩形中，，，， ∴四边形也是矩形， ∴， ∵点为的重心， ∴，， 同理，， ∴，即， ∴， ∴， ∵点为上一动点， ∴点在线段上运动， ∴当时，线段有最小值， ∵， ∴四边形是矩形， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 23. 学校项目实验小组有一块矩形试验田如图所示，、，为了管理方便，现要在试验田中间开辟一横两纵共三条等宽的管理通道，使种植区（图中阴影部分）总面积为． （1）求管理通道的宽； （2）实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益．去年作物总产量为千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出．今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低元，总销量可增加千克． ①若今年义卖售价定为元/千克，则作物的总销量为________千克，义卖总收入为________元． ②若今年义卖总收入预计为元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为________元/千克． 【答案】（1）2米 （2）①，；② 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及销售问题中的数量关系．理解题意列出正确的数量关系是解题关键． （1）通过设通道宽，利用平移种植区的方法，得到种植区对应的矩形长和宽的代数式，再根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解并检验得到通道宽度． （2）①先计算出售价降低的幅度，再根据“每降低元，总销量增加千克”求出销量增加量，进而得到总销量，最后根据“总收入售价销量”计算总收入即可． ②设售价为元/千克，先表示出销量随售价的变化量，再根据“总收入售价销量”列出一元二次方程，求解后结合“让购买者得到实惠”的条件选择合适的售价即可． 【小问1详解】 解：设管理通道的宽为2米， 根据题意得， 解得，（不合题意，舍去） 答：管理通道的宽为米． 【小问2详解】 解：①千克， 元； ②设义卖售价应定为元/千克，售价降低了元， 增加的销量为千克， 总销量为千克， ， 解得，， 尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为元千克． 故答案为． 24. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒5个单位长度速度向终点运动，动点从点出发，沿以相同的速度运动，点、同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．连接，以为边作正方形，点与点在直线同侧．设点的运动时间为秒． （1）线段的长为________；（用含的代数式表示） （2）当时，求线段的长； （3）当点、同时在内部时，求的取值范围； （4）当点在内部时，若点到直线的距离是点到直线的距离的3倍，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据即可列代数式； （2）由题意得，则，则根据得到，代入数据求解； （3）找出两个临界位置，当点在上时和点在边上时，分别求出此时对应的t值； （4）当点在内部时，过点作的垂线，垂足为点，过点作的垂线，垂足为点，则，那么，过点作于点，同理，则，设，由，得到，可得方程，解得；当点在外部时，过点作的垂线，垂足为点，过点作的垂线，垂足为点，过点作于点，由，得到，可得，而，则，设，同理可求，则得到方程，解得． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故答案为：； 小问2详解】 解：由题意得，则， 当时，如图： ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：当点在上时，如图： ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点在边上时，如图： 由（2）知， ∴当点、同时在内部时，； 【小问4详解】 解：∵，，， ∴， 当点在内部时，过点作的垂线，垂足为点，过点作的垂线，垂足为点，则 由题意得， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，同理， ∴， 设， 同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 则， ∴， 解得； 当点在外部时，过点作的垂线，垂足为点，过点作的垂线，垂足为点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上：的值为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，列代数式，解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $