精品解析：广东普宁市高埔镇葵坑初级中学等校2026－2027学年第一学期第一次阶段训练题九年级数学

2026—2027第一学期第一次阶段学科训练题 九年级数学科 说明： 1.全卷共6页，用时120分钟，满分为120分． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的监测号、姓名、试室号、座位号、用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 的倒数是（　　） A. B. 3 C. D. 2. 如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac满足的条件是（　　） A. b2﹣4ac=0 B. b2﹣4ac＞0 C. b2﹣4ac＜0 D. b2﹣4ac≥0 4. 如图，已知为任意四边形，，，，分别为，，，的中点，添加下列哪个条件，不能判断四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 7. 餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（ ） A. （160+x）（100+x）=160×100×2 B. (160+2x)( 100+2x) =160×100×2 C. （160+x）（100+x）=160×100 D. 2(160x+100x)=160×100 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 设，是方程+5x﹣3=0的两个根，则的值是（ ） A. 19 B. 25 C. 31 D. 30 10. 如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE是中心对称图形；③△DEF是轴对称图形；④∠ADE=∠EDO．其中错误的结论有 ． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：__． 12. 方程的根是_____________． 13. 不等式组的解集是________． 14. 关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是__________. 15. 如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以，为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以，为两邻边作平行四边形…，依此类推，则平行四边形的面积为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 用配方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值，其中为整数且满足不等式组． 18. 如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知，，求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 关于x的一元二次方程有两个不等实根． （1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根满足，求k的值． 20. 粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降． （1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元； （2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆． 21. 如图，四边形中，． （1）在上找一点，使它到与边的距离相等（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）条件下，连接，若，求证四边形为菱形． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求： （1）A型自行车去年每辆售价多少元； （2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多． 23. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027第一学期第一次阶段学科训练题 九年级数学科 说明： 1.全卷共6页，用时120分钟，满分为120分． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的监测号、姓名、试室号、座位号、用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 的倒数是（　　） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 2. 如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意得，， ∵四边形是菱形， ∴． 3. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac满足的条件是（　　） A. b2﹣4ac=0 B. b2﹣4ac＞0 C. b2﹣4ac＜0 D. b2﹣4ac≥0 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2-4ac＞0． 故选B． 考点：根的判别式． 4. 如图，已知为任意四边形，，，，分别为，，，的中点，添加下列哪个条件，不能判断四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意连接BD，AC，根据三角形中位线定理与菱形的判定求解即可． 【详解】如图连接BD，AC， 因为E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形中位线定理，故，,，，故四边形EFGH是平行四边形． A选项： ，邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意． B选项： ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意． C选项： ，根据三角形中位线定理 ，，故，即邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意． D选项： 不能证明四边形EFGH是菱形，符合题意． 故选：D 【点睛】本题主要考查菱形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是连接BD，AC，根据三角形中位线定理与菱形的判定求解即可． 5. 用配方法解方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 6. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用“AAS或ASA”易证△FMC≌△EMA，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=，且tan∠BAC=；在Rt△AME中，AM=AC= ，tan∠BAC=可得EM=；在Rt△AME中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数． 7. 餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（ ） A. （160+x）（100+x）=160×100×2 B. (160+2x)( 100+2x) =160×100×2 C. （160+x）（100+x）=160×100 D. 2(160x+100x)=160×100 【答案】B 【解析】 【详解】依题意得：桌布面积为：160×100×2， 桌面的长为：160+2x，宽为：100+2x， 则面积为=（160+2x）（100+2x）=2×160×100． 故选B． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，即异号， 当时，一次函数的图象过一三四象限， 当时，一次函数的图象过一二四象限， 故选：B． 9. 设，是方程+5x﹣3=0的两个根，则的值是（ ） A. 19 B. 25 C. 31 D. 30 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得x1与x2的和与积，所求的代数式可以用两根的和与积表示出来，即可求解．∵，是方程x2+5x﹣3=0的两个根，∴+=﹣5，·=﹣3， ∴==25+6=31． 考点：根与系数的关系 10. 如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE是中心对称图形；③△DEF是轴对称图形；④∠ADE=∠EDO．其中错误的结论有 ． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的基本性质进行分析即可. 【详解】①正确,根据等底等高可证明； ②正确,根据已知及菱形的性质可证明△DEF≌△BEF； ③正确,可证明得△DEO≌△DFO； ④错误，每一条对角线平分一组对角，可得∠ADO=∠CDO，∠EDO=∠FDO，所以∠ADE=∠CDF≠∠EDO； 故选A. 【点睛】考核知识点：菱形的性质. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：__． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12. 方程的根是_____________． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ， 或 ， 解得，． 13. 不等式组的解集是________． 【答案】3≤x<6 【解析】 【分析】利用一元一次不等式的解法分别求出两个不等式的解集，再确定出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①移项并合并同类项得， 由②移项，未知数系数化1得， ∴原不等式组的解集是：． 故答案为：3≤x<6． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，理解一元一次不等式组的解法是解答关键． 14. 关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是__________. 【答案】k≥ 【解析】 【分析】关于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；当方程为一元一次方程时，k＝0；当方程是一元二次方程时，必须满足下列条件：①二次项系数不为零；②△＝b2−4ac≥0． 【详解】解：当k＝0时，方程为3x−1＝0，有实数根； 当k≠0时，△＝b2−4ac＝9＋4k≥0， 解得：k≥， 综上可知，当k≥时，方程有实数根； 故答案为k≥. 【点睛】本题考查了方程有实数根的含义，一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意到分两种情况讨论是解题的关键． 15. 如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以，为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以，为两邻边作平行四边形…，依此类推，则平行四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】因为平行四边形的对边互相平行，且平行四边形的对角线都互相平分，所以上下两平行线间的距离相等，平行四边形的面积等于底乘以高，所以第一个平行四边形是矩形的一半，第二个平行四边形是第一个平行四边形的一半依次可推下去． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 夹在和，和之间的距离相等， 第一个平行四边形的面积是矩形面积的一半即， 依此类推第二个平行四边形是第一个平行四边形面积的一半即， …，依此类推，第个平行四边形的面积为， 则平行四边形的面积为． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程：通过移项将常数项移至等式右边，将含未知数的项移至等式左边，将二次项的系数化为，通过配方将等式左边写成完全平方式，进而开平方求解． 【小问1详解】 解： 移项，得：， 配方，得：， 即， 两边开平方，得：， ∴，； 【小问2详解】 解：， 移项，得：， 两边同时除以，得：， 配方，得：， 即， 两边开平方，得：， ∴，． 17. 先化简，再求值，其中为整数且满足不等式组． 【答案】，时，原式 【解析】 【详解】解： ， 解不等式组得， 所以该不等式组的整数解为、、0、1， 因为且， 所以， 则原式． 18. 如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】欲证明，只要证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 关于x的一元二次方程有两个不等实根． （1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根满足，求k的值． 【答案】（1）k﹥；（2）k=2 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＞0，代入求得k的取值范围即可； （2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到，结合k的取值范围解方程即可． 【详解】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根 ∴ 解得：k﹥； 故答案为：k﹥. （2）∵k﹥， ∴＜0 又∵ ∴ ， ∴, ∵, ∴2k+1=k2+1， 解得：k1=0,k2=2 又 ∵k﹥ ∴k=2． 故答案为：k=2． 20. 粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降． （1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元； （2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆． 【答案】（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆． 【解析】 【分析】（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降，列出式子即可求出答案； （2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）依题意得：（万元） （2）设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260-x）辆,依题意得： 解得： 答：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是找到数量关系，列出方程． 21. 如图，四边形中，． （1）在上找一点，使它到与边的距离相等（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）条件下，连接，若，求证四边形为菱形． 【答案】（1）如图所示，点即为所求， （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）作的角平分线：以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交 于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，根据角平分线的性质定理可知点即为所求． （2）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到，继而根据等角对等边得到，从而得证结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求： （1）A型自行车去年每辆售价多少元； （2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多． 【答案】（1）2000元；（2）A型车20辆，B型车40辆 【解析】 【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可； （2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值． 【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得： ， 解得：x=2000． 经检验，x=2000是原方程的根． 答：去年A型车每辆售价为2000元； （2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得 y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a）， y=－300a+36000． ∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍， ∴60-a≤2a， ∴a≥20． ∵y=－300a+36000． ∴k=－300＜0， ∴y随a的增大而减小． ∴a=20时，y最大=30000元． ∴B型车的数量为：60-20=40辆． ∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程． 23. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形， 理由：由旋转可知：，， 又， 四边形是矩形． ∵． 四边形是正方形； （2）． 证明：如图，过点作，垂足为， 则， ． 四边形是正方形， ，． ， ． ． ∵， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）由旋转可知：，,再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明； （2）过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合、即可解答； （3）过E作EG⊥AD，先说明∠1=∠2，再设EF=x、则BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中运用勾股定理求得x，进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和EG的长，最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图：过E作EG⊥AD ∴GE//AB ∴∠1=∠2 设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x 在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15 ∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9 ∴BE=9,AE=12 ∴sin∠1= ,cos∠1= ∴sin∠2= ,cos∠2= ∴AG=7.2,GE=9.6 ∴DG=15-7.2=7.8 ∴DE=． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $