精品解析：广东揭阳市普宁市勤建学校2025-2026学年九年级上学期第三次学情自测数学试题

2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个正确选项） 1. 如图所示的立体图形是一个圆柱，那么从左面观察它能得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是从不同方向看几何体，根据从左面看到的平面图形，即可得出答案． 【详解】解：从左面看到的平面图形是． 故选：B． 2. 已知关于x的方程，且m满足关于m的方程，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，根据，求出m的值，将m的值代入，即可求出x的值． 【详解】解：由， 解得，（舍去）， 把代入原式得， ， 解得． 经检验，是该分式方程的解， 故选：A． 3. 在一个不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外，小球无其它差别．从中随机摸出两个小球，恰好一红一绿的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的小球恰好一红一绿的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的小球恰好一红一绿的结果有8种， ∴两次摸到的小球颜色不相同的概率是， 故选：D． 4. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等． 5. 黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知点是笛子的黄金分割点（），若笛子长，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割． 根据黄金分割点的定义，计算即可． 【详解】解：∵点是笛子的黄金分割点，， ∴， ∵笛子长， ∴， ∴长为． 故选：A． 6. 在直角三角形中，，，，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦． 【详解】解：∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 故选D． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 D. 对角线垂直的矩形是正方形． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，根据菱形的定义即可判断A；根据矩形的判定即可判断B；根据正方形的判定即可判断CD． 【详解】解：A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法正确，不符合题意； B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； C．对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意； D．对角线垂直的矩形是正方形，原说法正确，不符合题意． 故选：C． 8. 如图所示，在中，，若，，则与的相似比为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似比是对应边的比值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴与的相似比为． 故选：． 9. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，确定一元二次方程的系数是解题关键． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：． 10. 如图，菱形在平面直角坐标系的第一象限，且边轴，点的横坐标为2，若该菱形的面积为20，周长为20，反比例函数的图象经过两点，则的值是（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、反比例函数的图象和性质等知识. 过点A作交的延长线于点G，的延长线交轴于点H，求出，，根据即可求出答案. 【详解】解：过点A作交的延长线于点G，的延长线交轴于点H， ∵菱形的面积为20，周长为20， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵点的横坐标为2，边轴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：B 二．填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分．） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求特殊角的余切值，根据三角函数定义，是 的倒数，而为，然后即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为： ． 12. 某小区2023年有私家车100辆，预计2025年达到146辆，若年平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，掌握有关增长率的求解公式．根据2023年私家车数量（增长率）2025年私家车数量建立方程． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 13. 如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 用频率和概率之间的关系解答即可． 【详解】解：∵点落在图案部分的频率稳定在0.6左右, ∴此不规则图案的面积大约为 故答案为： ． 14. 已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值__________． 【答案】（满足都可以） 【解析】 【分析】先判断出一次函数的图象必定经过第二、四象限，再根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，从而可以得到反比例函数的图象经过第二、四象限，即，最终选取一个满足条件的值即可． 【详解】解：， 一次函数的图象必定经过第二、四象限， ， 反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限， 反比例函数（且）的函数图象经过第一、三象限， ， ∴， ∵， ∴， ∴满足条件的k值可以为1.5， 故答案为：1.5（满足都可以）． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限． 15. 如图，在中，，，点D在边上，连接，作于点E，连接．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的延长线于点，交于点，作延长线于点，先证明四边形是正方形，再证明是等腰直角三角形，设，则，证明，得到，进而得到，再证明，得出，，然后利用勾股定理，得到，，最后证明，根据对应边成比例，求出的值，即可得出的长． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，交于点，作延长线于点， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 是等腰直角三角形， ， 矩形是正方形， ，，，， ，， 是等腰直角三角形， ，， 设，则， ，， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质，作辅助线构造相似三角形是解题关键． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． （1）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方；第四步，直接开方即可； （2）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方；第四步，直接开方即可． 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 解得，． 17. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵D，E分别是，的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据三角形中位线定理得到，得到，根据菱形的判定定理即可得到四边形是菱形 【详解】略 18. 数学文化是人类文化的一种，是现代文明的重要组成部分．为了解数学文化相关知识，甲、乙两位同学分别从《九章算术》《几何原本》《世界数学通史》《古今数学思想》（依次用表示）四本数学名著中各自随机选择一本进行阅读．假设这两位同学选择阅读哪本名著不受任何因素影响，且每一本被选到的可能性相等． （1）从四本名著中任意抽取一本，抽到《几何原本》的概率是 ； （2）求甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查画树状图求概率． （1）根据等可能事件的概率公式计算即可． （2）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到其中两位同学选择阅读同一本名著的结果数，计算即可. 【小问1详解】 解：从四本名著中任意抽取一本，抽到《几何原本》的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下， 由树状图知，共有种等可能结果，甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的结果有种. ∴甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的概率． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知两个正方形和，周长比周长的倍多，面积比面积的倍多，求两个正方形的边长分别是多少？ 【答案】正方形的边长为，正方形的边长为 【解析】 【分析】本题是考查列方程与几何图形面积和周长计算相结合的实际问题． 根据题意设正方形的边长为，根据面积关系列方程，并解方程得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的边长为cm， 根据题意得，， 解得， ∴， ∴正方形的边长为，正方形的边长为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）与是以P点为位似中心的位似图形，点都在格点上，则点P的坐标为 ； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． 【答案】（1） （2） 由题意，画图如下： 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，熟练掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）根据位似图形的位似中心为对应点所连线段所在直线的交点上，确定点的坐标即可； （2）根据位似图形的性质，画出即可． 【小问1详解】 解：由题意，点的位置如图所示， 由图可知：； 【小问2详解】 略 21. 太原首座斜拉桥——太原绕城高速公路西北环汾河矮塔斜拉桥，其主跨跨径为米，在同类矮塔斜拉桥结构中跨径为中国第一．某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案： 【数据采集】：如图，点 是桥塔顶部一点， 即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部 处的俯角 ，底部处的俯角 ，沿水平方向由点 飞行米到达点 处，在 处测得 处的俯角． ，已知图中各点均在同一竖直平面内； 【数据应用】： （1）请根据以上数据求桥塔 的高度(结果精确到1米．参考数据： )； 【方案反思】： （2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案(，米， ）中至多可以删减的数据为 ． 【答案】（1）；（2）56米和 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义，构造直角三角形是解题的关键； （1）延长交于点，则，分别解，，求得，进而根据，，即可求解； （2）依题意由（1）可得只需要求得的长度，则只需要数据，即可求解． 【详解】解：（1）如图，延长交于点，则， 在中，， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵沿水平方向由点  飞行米到达点 处， ∴， 解得；， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴（米）， 答：桥塔 的高度约为米； （2）考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据， 由（1）可得只需要求得的长度， ∴只需数据，则原数据采集方案( ，米， ）中至多可以删减的数据为56米和， 故答案为：56米和． 五．解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，四边形的顶点在轴上，顶点，在轴上，，点的坐标为，双曲线经过点．的角平分线与轴交于点． （1）求反比例函数解析式； （2）若，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）； （2） 证明：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数表达式的求解，平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定．熟悉用待定系数法求反比例函数表达式，平行线的性质：两直线平行，内错角相等，角平分线的定义，等腰三角形等角对等边，平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是解题的关键． （1）根据双曲线经过点，将点的坐标代入y，得到反比例函数的表达式． （2）根据角平分线的性质和平行线的性质，得到，继而得到，因为，根据一组边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：∵双曲线经过点， ∴将点的坐标代入y得：2， ∴解得：， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 略 23. 如图①，四边形是边长为8的正方形，在中，，，且点E与点A重合，F在边上，，将沿边方向平移，平移x个单位长度后，绕点E逆时针旋转，旋转过程中点F始终在四边形内部（含点F落在正方形的边上）．K为的中点且点K到的距离为d． （1）当，旋转________时，点G到的距离最小，最小值为________； （2）如图②，当时，经过旋转后，点F落在边上，请求出此时点G到边的距离m（用含x的代数式表示）； （3）如图③，当时，经过旋转后，使点F落到边上，求平移和旋转过程中边扫过的面积，并直接写出此过程中d的取值范围．（取0.8，取0.8，取0.5，取，取） 【答案】（1）90，5 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，斜边上中线等于斜边一半，相似三角形的判定和性质，求扇形面积公式，点到圆的距离，正确画出图形，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）利用旋转的性质即可解答； （2）过G作于H并延长交于P，证明，利用相似三角形的性质即可解答； （3）作出图形，利用扇形面积公式，即可求得平移和旋转过程中边扫过的面积，再利用点圆的距离，可得d的取值范围． 【小问1详解】 解：当点旋转到上时，点G到的距离最小， 旋转角度为， ，， ，， 最小值为， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：如图，过G作于H并延长交于P， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：当时，平移扫过的面积为， ， 当经过旋转，点F落在边上时， 在中,， ， 扫过的面积为， 扫过的面积为， , 是直角三角形斜边上的中点， ， 当垂直时，取最小值为， 当为开始旋转时，取最大值， 如图，过点作，延长交于点， ， ， ， ，， 设， 根据勾股定理可得， 解得（负值舍去）， ， ， 四边形为矩形， ， ， 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个正确选项） 1. 如图所示的立体图形是一个圆柱，那么从左面观察它能得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的方程，且m满足关于m的方程，则x的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外，小球无其它差别．从中随机摸出两个小球，恰好一红一绿的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知点是笛子的黄金分割点（），若笛子长，则长为（ ） A. B. C. D. 6. 在直角三角形中，，，，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 24 7. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 D. 对角线垂直的矩形是正方形． 8. 如图所示，在中，，若，，则与的相似比为（ ）. A. B. C. D. 9. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 10. 如图，菱形在平面直角坐标系的第一象限，且边轴，点的横坐标为2，若该菱形的面积为20，周长为20，反比例函数的图象经过两点，则的值是（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 二．填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分．） 11. 计算：______． 12. 某小区2023年有私家车100辆，预计2025年达到146辆，若年平均增长率为x，则可列方程为______． 13. 如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为________． 14. 已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值__________． 15. 如图，在中，，，点D在边上，连接，作于点E，连接．若，，则的长为________． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 用配方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，．求证：四边形是菱形． 18. 数学文化是人类文化的一种，是现代文明的重要组成部分．为了解数学文化相关知识，甲、乙两位同学分别从《九章算术》《几何原本》《世界数学通史》《古今数学思想》（依次用表示）四本数学名著中各自随机选择一本进行阅读．假设这两位同学选择阅读哪本名著不受任何因素影响，且每一本被选到的可能性相等． （1）从四本名著中任意抽取一本，抽到《几何原本》的概率是 ； （2）求甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的概率． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知两个正方形和，周长比周长的倍多，面积比面积的倍多，求两个正方形的边长分别是多少？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）与是以P点为位似中心的位似图形，点都在格点上，则点P的坐标为 ； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． 21. 太原首座斜拉桥——太原绕城高速公路西北环汾河矮塔斜拉桥，其主跨跨径为米，在同类矮塔斜拉桥结构中跨径为中国第一．某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案： 【数据采集】：如图，点 是桥塔顶部一点， 即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部 处的俯角 ，底部处的俯角 ，沿水平方向由点 飞行米到达点 处，在 处测得 处的俯角． ，已知图中各点均在同一竖直平面内； 【数据应用】： （1）请根据以上数据求桥塔 的高度(结果精确到1米．参考数据： )； 【方案反思】： （2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案(，米， ）中至多可以删减的数据为 ． 五．解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，四边形的顶点在轴上，顶点，在轴上，，点的坐标为，双曲线经过点．的角平分线与轴交于点． （1）求反比例函数解析式； （2）若，，求证：四边形是平行四边形． 23. 如图①，四边形是边长为8的正方形，在中，，，且点E与点A重合，F在边上，，将沿边方向平移，平移x个单位长度后，绕点E逆时针旋转，旋转过程中点F始终在四边形内部（含点F落在正方形的边上）．K为的中点且点K到的距离为d． （1）当，旋转________时，点G到的距离最小，最小值为________； （2）如图②，当时，经过旋转后，点F落在边上，请求出此时点G到边的距离m（用含x的代数式表示）； （3）如图③，当时，经过旋转后，使点F落到边上，求平移和旋转过程中边扫过的面积，并直接写出此过程中d的取值范围．（取0.8，取0.8，取0.5，取，取） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $