精品解析：北京市广渠门中学2026--2027学年度第一学期期中试题九年级数学学科

北京市广渠门中学2026—2027学年度第一学期期中试题 初三年级数学学科 时间：120分钟 本试卷共8页，100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、单选题 1. 我国有56个民族，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意； B、选项图形既是轴对称图形又是中心对称图形，选项符合题意； C、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意； D、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意． 2. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值5 B. 有最小值5 C. 有最大值4 D. 有最小值4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，有最小值，顶点坐标为， ∴该函数的最小值为5． 3. 下列一元二次方程中，两根之和为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，计算即可． 【详解】解：、由得， 设方程的两个实数根为，， ∴，不符合题意； 、由得， 设方程的两个实数根为，， ∴，不符合题意； 、由得， ∴无实数根，不符合题意； 、由得， 设方程的两个实数根为，， ∴，符合题意． 4. 如图，将绕点逆时针旋转，得到．若点在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由旋转可知，，， ． 5. 某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选A． 6. 如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴． 7. 如图，已知，圆心在射线上运动，圆的半径为2，且与始终有两个公共点，则当圆与射线仅有一个公共点时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：连接圆心和切点，则， ∵， 则为等腰直角三角形， ∴． 8. 若二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，且，图象上有一点，且在轴下方，对于以下说法：①；②的一个解是；③当时，的值最小；④．其中说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与轴的交点个数可对①进行判断；由点在二次函数图象上，可得方程，可对②进行判断；根据抛物线的对称性得出对称轴为直线，可对③进行判断；根据点在轴下方，得出，可得，，可对④进行判断；综上即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点，， ∴，故①正确， ∵点在二次函数图象上， ∴，即是方程的一个解，故②正确， ∵二次函数图象与轴交于，， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点处纵坐标最小， ∴当时，点为抛物线顶点，的值最小，故③正确， ∵点在轴下方， ∴， ∴，， ∴，故④正确， 综上所述：说法正确的是①②③④． 二、填空题 9. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标．根据点关于原点对称的点的坐标为，求出a、b，进而可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个相等的实数根”，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的值是． 11. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得抛物线的函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律，调整原解析式即可得到结果． 【详解】解：抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律 原抛物线解析式为 向右平移个单位长度，对自变量减去平移单位，得到解析式： 再向下平移个单位长度，对整体减去平移单位，得到： 整理得． 12. 已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式____________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的图像和性质，二次函数解析式求解，由二次函数有最小值可知开口向上，即二次项系数；由图象经过点可知常数项． 【详解】解：设二次函数解析式为． ∵二次函数有最小值， ∴． ∵图象经过点， ∴当时，，即． 取，，则解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，已知点是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据k的几何意义，得，结合图象分布解答即可． 【详解】解：根据k的几何意义，得， ∴． ∵图象在第二、四象限，即， ∴故． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，的取值范围是_________． 【答案】 或 【解析】 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 由图象知当时，的取值范围是 或 ． 15. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有关屋内墙角处放谷堆的数学问题：墙角处所放谷堆为一个圆锥的四分之一（如图），谷堆底部的半径为4尺，谷堆的高为5尺，需要用布盖住谷堆，那么所需的布的面积至少是________平方尺．（结果用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的计算．根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2计算即可． 【详解】解：根据题意，母线长为， 所需的布的面积至少是（平方尺）． 故答案为：． 16. 如图，某建筑公司有，，三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为吨，吨，吨，有，两个原料库供应水泥，使用一辆载重量大于吨的运输车可沿途中虚线所示的道路运送水泥．为节省运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路线千米数）最小．若公司安排一辆装有吨的运输车向和工地运送当日所需的水泥，且，为使总的“吨千米数”最小，则应从__________原料库（填“”或“”）装运；若公司计划从原料库安排一辆装有吨的运输车向，，三个工地运送当日所需的水泥，，，则总的“吨千米数”最小为____________． 【答案】 ①. ②. 24 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，整式加减运算的应用，勾股定理，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 先利用勾股定理和点的坐标求出各线段的长度，根据题意列式，利用整式的加减运算，分类求解即可． 【详解】解：（1）根据点的坐标得，，，，，， 由勾股定理得，,，， 若从原料库装运，应先沿着运往工地，再沿着运往工地， 总的“吨千米数”至少为； 若从原料库装运，应先沿着运往工地，再沿着运往工地， 总的“吨千米数”至少为； ∵， ∴， ∴应选从原料库装运； （2）方案一，若先送达到工地，则总的“吨千米数”为， 将，，代入上式得， 原式； 方案二，若先送达到工地，则总的“吨千米数”为， 将，，代入上式得， 原式； 方案三，若先送达到工地，则总的“吨千米数”为， 将，，代入上式得， 原式； 方案一和方案三比较，方案一的值较小，选择方案一， 方案一和方案二比较， ∵，， ∴方案二的值最小，选择方案二， 所以，最小值为． 三、解答题 17. 用适当的方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ，，， ， ∴， 即，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点A的坐标，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）请画出关于原点O成中心对称的； （2）请画出绕原点O逆时针旋转后得到的； （3）试求问题（2）中A在运动过程中经过的路径的长度． 【答案】（1）图形见解析； （2）图形见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质分别作出、、，依次连接即可； （2）根据旋转变换的性质分别作出、、，依次连接即可； （3）根据旋转的性质可知旋转角为，再利用勾股定理求出，最后利用弧长公式即可得到答案． 【小问1详解】 解：、、关于原点O对称点分别为、、， 、、， 依次连接、、，得到即为所求，如下图； 【小问2详解】 解：、、绕原点O逆时针旋转后对应点分别为、、， 、、， 依次连接、、，得到即为所求，如下图： 【小问3详解】 解：绕原点O逆时针旋转后得到的, 、， ，， ， 点A在运动过程中经过的路径的长度． 【点睛】本题考查了作图—旋转变换，中心对称变换，弧长公式，勾股定理等知识，熟练掌握旋转变换的性质是解题关键，属于中考常考题型． 19. 某山区公路修建工程中，需要开凿一条半圆形截面的隧道（横截面是以点O为圆心的圆的一部分）．施工人员在隧道底部测得底面宽度米．M是弦的中点，从M点竖直向上到隧道顶部E点的距离米（经过圆心O，E在上）．请计算该隧道横截面所在的半径． 【答案】5米 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，构造直角三角形是解题的关键． 连接，由垂径定理得出，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，设． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的半径为5米． 20. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得； （2）由一元二次方程根与系数关系， ∵， ∴ 即，解得． 又由（1）知：， ∴． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于k的方程． 21. 已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … −1 0 1 2 4 … … m 3 n −1 3 … （1）根据表格中的数据，求二次函数的解析式； （2）表格中空白处的值________，________； （3）在给定的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （4）当时，则y的取值范围是________． 【答案】（1） （2）； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）由（1）分别把、代入解析式求出，即可； （3）根据表格数据，分别描点、连线画出函数图象； （4）根据图象和取值范围，运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，把，，分别代入， 得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：依题意，把代入，得， 即； 把代入，得， 即； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由函数图象可得，时，的最小值为， 当时，；当时，, ∴． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B． （1）求该反比例函数的解析式； （2）①用含有k的式子表示b为______； ②当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式； （2）①将点A坐标代入一次函数即可求解； ②解方程组求出一次函数和反比例函数图象的交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：①∵一次函数的图象过点， ∴， ∴． 故答案为：． ②∵， ∴一次函数， 解方程组得得，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴， 解得， 则k的取值范围是． 23. 如图，广中初三年级开展主题为“寻知田埂添活力启智农耕蕴美好”的学农活动．学校计划在“励学楼”南侧开辟一块矩形菜地，它的一面靠墙（墙的最大可用长度为26米），其余边用长为49米的篱笆围成，菜地与墙平行的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）． （1）设边的长为x米，则________米（用含x的代数式表示）； （2）当x为何值时，围成的矩形菜地的面积为200平方米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据篱笆的长为49米，菜地与墙平行的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆），设菜地的宽为米，进行列式化简，即可作答； （2）根据围成的矩形菜地的面积为200平方米，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设菜地的宽为米， 米； 【小问2详解】 解：由题意，得 ， 整理得，， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， 当时，围成的矩形菜地的面积为200平方米． 24. 如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，PC＝，求线段AB的长． 【答案】（1）证明：∵BA＝BP， ∴∠BPA＝∠BAP． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA． ∵OP⊥OC， ∴∠COP＝90°． ∴∠OPC＋∠OCP＝90°． ∵∠APB＝∠OPC， ∴∠BAP＋∠OAC＝90°．即∠OAB＝90°， ∴OA⊥AB． ∵OA为半径， ∴AB为⊙O的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得∠BPA＝∠BAP、∠OAC＝∠OCA．再运用等量代换说明∠OAB＝90°，即可证明结论； （2）先由勾股定理可得OP=2, 设AB＝x，则OB＝x＋2．在Rt△AOB中运用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）在Rt△OPC中，OC＝4，PC＝， ∴OP＝2． 设AB＝x，则OB＝x＋2． 在Rt△AOB中，， ∴x＝3,即AB＝3． 【点睛】本题主要考查了圆的性质、圆的切线证明、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解答本题的关键． 25. 综合与实践：镁在燃烧时发出耀眼的白光．某兴趣小组在操场上做镁球的发射与燃烧实验： 质量、大小均相同的镁球从发射器（发射器的高度忽略不计）中竖直向上发射（镁球离开发射器即开始燃烧），以下是镁球发射后的相关数据： 已知镁球到达最高处后再过会燃烧完． 发射时间 0 2 5 9 12 13 … 离地面的高度 0 92 200 288 312 312 … 如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． （1）①观察上述各点的分布规律，估计y与x之间的函数类型是__________． （填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）． ②求y与x之间的函数关系式． （2）已知每个镁球发射后的运动轨迹均相同．该小组先后连续发射了2个镁球，第1个镁球燃烧完时，第2个镁球刚好和它处于对称位置，求这2个镁球发射时间相隔多少秒． 【答案】（1）①二次函数；② （2）3秒 【解析】 【分析】（1）①根据二次函数的图象和性质分析即可；②利用待定系数法求解即可； （2）设当第1个镁球燃烧完时，第2个镁球的发射时间为，根据二次函数的对称性列方程即可得解． 【小问1详解】 解：①观察上述各点的分布规律，估计y与x之间的函数类型是二次函数； ②根据题意设函数关系式为， 则，解得：， 函数关系式为； 【小问2详解】 解：镁球到达最高处后再过会燃烧完， 第1个镁球燃烧完时，发射时间为， 设当第1个镁球燃烧完时，第2个镁球的发射时间为， 由对称性可得，， 解得：，即第2个镁球的发射时间为， 这2个镁球发射时间相隔． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）当时，比较，的大小，并说明理由； （2）若抛物线与轴交于，两点，且长度大于，直接写出的取值范围； （3）若抛物线，当时，总满足，求的取值范围． 【答案】（1），理由如下： 当时，抛物线， 将代入得，， 将代入得，， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，然后分别将，代入求解比较即可； （2）首先根据判别式得到或，设，两点的横坐标分别为，，利用根与系数的关系得到，，然后表示出，根据长度大于4求解即可； （3）令整理得到，设，求出抛物线开口向上，对称轴为直线，然后根据题意得到与轴没有交点，然后利用判别式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴或， 当时，， 设，两点的横坐标分别为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵长度大于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵或， ∴． 【小问3详解】 解：令得，， 整理得，， 设， ∵二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵当时，总满足， ∴与轴没有交点， ∴， ∴． 27. 如图，在正方形中，点是边上一点（不与、重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段．连接，与的延长线交于点． （1）依题意补全图形； （2）求证：，且； （3）连接，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）证明：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴由三角形内角和定理可知， 即； （3）解：，证明如下： 如图，在上截取线段，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． 在和中： ， ∴， ∴，． ∴， 即是等腰直角三角形． 根据勾股定理，得 ∴． 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题干描述作图即可； （2）根据旋转的性质得到，，根据正方形的性质证明，可知，；结合对顶角相等及三角形内角和定理可知，得到； （3）在上截取线段，连接，证明，得到，，可知是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，即可得到线段、、之间的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于点和图形给出如下定义：如果图形上与点的距离为正整数的点恰有个，则称为图形关于点的特征值，记为．如图，已知的半径为．直线与轴交于点，与轴交于点． （1）当时，_____； （2）若在线段上存在点，使得是奇数，直接写出的取值范围； （3）若对于线段上任意一点，都有，直接写出的取值范围． 【答案】（1）3 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算、直线和圆的位置关系、一次函数的图象与性质，理解新定义是解题的关键． （1）当时，直线与轴交于点，得出点在上，再根据新定义运算即可求解； （2）先求出点的坐标和的长，设点到点的距离为，根据点和的位置关系分情况讨论，结合题意得出点必定在上，即线段与有交点，再利用圆的性质和一次函数的性质即可求出的取值范围； （3）根据题意，结合（2）中的结论分析可知线段在外，且满足，过点作线段的垂线，垂足为，则，再结合、、的长进行分类讨论，得出符合题意的的取值范围，即可解答． 【小问1详解】 解：当时，直线与轴交于点， ， 点在上， 上的点与点的距离最小值为0，最大值为2，且取到最值的点都只有1个， 由圆的对称性可知，上与点的距离为1的点有2个， 上与点的距离为正整数的点恰有个， ∴， 故答案为：3． 【小问2详解】 解：令，则，解得， 令，则， ，， ， 设点到点的距离为， 当点在内，则上的点与点的距离最小值为，最大值为， 此时， 由圆的对称性可知，上与点的距离为1的点有2个，此时为偶数，不符合题意； 当点在外，则上的点与点的距离最小值为，最大值为， 当是正整数时，则也是正整数，由圆的对称性，上与点的距离为正整数的点有4个，此时为偶数， 当不是正整数时，则也不是正整数，由圆的对称性，上与点的距离为正整数的点有4个，此时为偶数， 当点在外，不符合题意； 点必定在上，即线段与有交点， 当点在上时，则； 当线段与相切时，设切点为，则且， ， ，即， 解得：，（舍去）； 由图象得，的取值范围为． 【小问3详解】 解：由（2）得，，，， 当线段与有交点时，既存在点使得是奇数，也存在点使得是偶数，不符合题意； 线段与没有交点， ①若线段在内，由（2）可知，对于线段上任意一点，都有， 又， 线段上存在点，使得，不符合题意； ②若线段在外，由（2）可知，对于线段上任意一点，都有，则， 过点作线段的垂线，垂足为， 则， 当时，由图象可知，不符合题意； 当时，，，，则， 此时，， ，符合题意； 当时，由图象可知，符合题意； 当时，，，，则， ，不符合题意； 当时，由图象可知，不符合题意； 当时，，，，则， 此时，， ，不符合题意； 当时，由图象可知，不符合题意； 当时，，，，则， 此时，， ，不符合题意； 当时，由图象可知，不符合题意； 当时，，，，则， ，符合题意； 当时，由图象可知，不符合题意； 当时，，，，则， 此时，， ，符合题意； 当时，由图象可知，符合题意； 当时，，，，此时， ，， ，不符合题意； 当时，由图象可知，不符合题意； 当时，，，，则， ，不符合题意； 当时，由图象可知，符合题意； 当时，由图象可知，不符合题意； 综上所述，的取值范围为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市广渠门中学2026—2027学年度第一学期期中试题 初三年级数学学科 时间：120分钟 本试卷共8页，100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、单选题 1. 我国有56个民族，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值5 B. 有最小值5 C. 有最大值4 D. 有最小值4 3. 下列一元二次方程中，两根之和为的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点逆时针旋转，得到．若点在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，圆心在射线上运动，圆的半径为2，且与始终有两个公共点，则当圆与射线仅有一个公共点时，的长为（ ） A. B. C. D. 8. 若二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，且，图象上有一点，且在轴下方，对于以下说法：①；②的一个解是；③当时，的值最小；④．其中说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题 9. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则________． 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 11. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得抛物线的函数解析式为________． 12. 已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式____________________． 13. 如图，已知点是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点，若，则的值为_____． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，的取值范围是_________． 15. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有关屋内墙角处放谷堆的数学问题：墙角处所放谷堆为一个圆锥的四分之一（如图），谷堆底部的半径为4尺，谷堆的高为5尺，需要用布盖住谷堆，那么所需的布的面积至少是________平方尺．（结果用含的式子表示） 16. 如图，某建筑公司有，，三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为吨，吨，吨，有，两个原料库供应水泥，使用一辆载重量大于吨的运输车可沿途中虚线所示的道路运送水泥．为节省运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路线千米数）最小．若公司安排一辆装有吨的运输车向和工地运送当日所需的水泥，且，为使总的“吨千米数”最小，则应从__________原料库（填“”或“”）装运；若公司计划从原料库安排一辆装有吨的运输车向，，三个工地运送当日所需的水泥，，，则总的“吨千米数”最小为____________． 三、解答题 17. 用适当的方法解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点A的坐标，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）请画出关于原点O成中心对称的； （2）请画出绕原点O逆时针旋转后得到的； （3）试求问题（2）中A在运动过程中经过的路径的长度． 19. 某山区公路修建工程中，需要开凿一条半圆形截面的隧道（横截面是以点O为圆心的圆的一部分）．施工人员在隧道底部测得底面宽度米．M是弦的中点，从M点竖直向上到隧道顶部E点的距离米（经过圆心O，E在上）．请计算该隧道横截面所在的半径． 20. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 21. 已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … −1 0 1 2 4 … … m 3 n −1 3 … （1）根据表格中的数据，求二次函数的解析式； （2）表格中空白处的值________，________； （3）在给定的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （4）当时，则y的取值范围是________． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B． （1）求该反比例函数的解析式； （2）①用含有k的式子表示b为______； ②当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出k的取值范围． 23. 如图，广中初三年级开展主题为“寻知田埂添活力启智农耕蕴美好”的学农活动．学校计划在“励学楼”南侧开辟一块矩形菜地，它的一面靠墙（墙的最大可用长度为26米），其余边用长为49米的篱笆围成，菜地与墙平行的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）． （1）设边的长为x米，则________米（用含x的代数式表示）； （2）当x为何值时，围成的矩形菜地的面积为200平方米？ 24. 如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，PC＝，求线段AB的长． 25. 综合与实践：镁在燃烧时发出耀眼的白光．某兴趣小组在操场上做镁球的发射与燃烧实验： 质量、大小均相同的镁球从发射器（发射器的高度忽略不计）中竖直向上发射（镁球离开发射器即开始燃烧），以下是镁球发射后的相关数据： 已知镁球到达最高处后再过会燃烧完． 发射时间 0 2 5 9 12 13 … 离地面的高度 0 92 200 288 312 312 … 如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． （1）①观察上述各点的分布规律，估计y与x之间的函数类型是__________． （填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）． ②求y与x之间的函数关系式． （2）已知每个镁球发射后的运动轨迹均相同．该小组先后连续发射了2个镁球，第1个镁球燃烧完时，第2个镁球刚好和它处于对称位置，求这2个镁球发射时间相隔多少秒． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）当时，比较，的大小，并说明理由； （2）若抛物线与轴交于，两点，且长度大于，直接写出的取值范围； （3）若抛物线，当时，总满足，求的取值范围． 27. 如图，在正方形中，点是边上一点（不与、重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段．连接，与的延长线交于点． （1）依题意补全图形； （2）求证：，且； （3）连接，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和图形给出如下定义：如果图形上与点的距离为正整数的点恰有个，则称为图形关于点的特征值，记为．如图，已知的半径为．直线与轴交于点，与轴交于点． （1）当时，_____； （2）若在线段上存在点，使得是奇数，直接写出的取值范围； （3）若对于线段上任意一点，都有，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $