精品解析：上海市卢湾高级中学2026-2027学年第一学期期中考试高二年级数学试卷

卢湾高级中学2026学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 考试时间：13:00—14:30 一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分） 1. “点A在直线上”用符号语言可以表示为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据立体几何中，符号语言的表示规则直接写出答案. 【详解】A在直线上，即 故答案为： 2. 若直线，直线，则直线b、c的位置关系为______.（用文字表述） 【答案】相交或异面 【解析】 【分析】利用反证法得到直线b、c不平行，进而得到答案. 【详解】假设，因为，由平行线的传递性可知，与条件相矛盾，所以直线b、c的位置关系可以是相交或者异面， 如图1，直线b、c相交，如图2，直线b、c异面， 故答案为：相交或异面. 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为______． 【答案】 【解析】 【详解】在空间直角坐标系中，若两点关于平面对称， 则两点的横坐标和纵坐标分别相等，竖坐标（坐标）互为相反数， 已知点，则关于平面的对称点为. 4. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的母线长是___________. 【答案】2； 【解析】 【分析】设该圆锥的母线长为，根据侧面展开图为半圆，利用圆的面积公式得即可求圆锥的母线长. 【详解】设该圆锥的母线长为， ∴由题意，，解得. 故答案为： 5. 已知球的表面积是，则其体积是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据表面积求出球的半径，再利用半径计算体积. 【详解】已知，解得，  则 . 故答案为：. 6. 已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中， ，那么原的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原，可得原图底边长和高，即可求出原图的面积. 【详解】还原该坐标系和直观图可得： 由斜二测画法的规定可知： ，， 则. 故答案为：. 7. 已知向量与平行，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，求解即可得出的值. 【详解】由已知可得，，， 所以，，， 所以，. 故答案为：. 8. 如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则等于______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为三棱柱中，、分别是、的中点， 且，，， 所以， 故答案为：. 9. 在棱长为2的正方体中，那么点到平面的距离为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由等体积法求出到平面的距离，根据正方体的性质有面，即可求到平面的距离. 【详解】由，且， 若到平面的距离为h，则，可得， 由正方体的性质易知：面， 故到平面的距离为. 故答案为： 10. 已知底面圆的半径为，母线长为的圆柱， 是该圆柱的一条母线，一蜘蛛从绕圆柱一周爬到，则该蜘蛛爬行的最短路程为________________． 【答案】10 【解析】 【详解】圆柱的侧面展开图是矩形 ， 如图所示， 则爬行的最短路程是 ． 所以 ，， 所以 ， 即爬行的最短路程是. 11. 若圆锥的轴截面为底角的等腰三角形，母线长为，则过此圆锥的两条母线的截面的面积的最大值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】先计算圆锥的轴截面的顶角，进而可判断圆锥的两条母线夹角，再由三角形的面积公式及三角函数性质可得. 【详解】已知圆锥轴截面是底角为的等腰三角形， 因此轴截面的顶角为 ，圆锥母线长. 设任意两条母线的夹角为（），截面为等腰三角形，腰长均为母线长， 因此截面面积为 . 因为，当且仅当时等号成立. 因此过圆锥的两条母线的截面的面积的最大值为. 12. 勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体.如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设是底面的中心，是正四面体的中心，也是正四面体的外接球球心，设正四面体外接球的半径为是高，根据正四面体的性质，求得的长，在直角中，列出方程求得，进而求得勒洛四面体的内切球半径. 【详解】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体4个弧面都相切，即为勒洛四面体的内切球， 由对称性知，勒洛四面体的内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心， 设是底面的中心，是正四面体的中心， 也是正四面体的外接球球心，正四面体外接球的半径为是高，如图1所示， 由正四面体的棱长为，可得， 则，所以， 在直角中，由，得，解得， 因此，如图2所示，勒洛四面体的内切球半径． 故答案为：. 二、选择题（本题共有4题，满分16分，每题4分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定即可判断. 【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的充分条件， 设，，显然，从而有成立，但此时不平行. 故选：A. 14. 三个平面不可能将空间分成（ ）个部分 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】分三个平面互相平行，三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，三个平面交于一条直线，三个平面两两相交且三条交线平行，三个平面两两相交且三条交线交于一点，五种情况讨论即可. 【详解】若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分； 若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6个部分； 若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分； 若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8部分 故n的取值为4，6，7，8，所以n不可能是5. 故选：A. 15. 如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 16. 已知正方体是一个棱长为2的正方体容器，，分别为，的中点，下列选项中正确的是（ ） 命题甲：过，，三点的截面面积为. 命题乙：若，，为三个小孔（孔的大小忽略不计），则此时容器的最大装水量为6 A. 命题甲和命题乙都为真命题 B. 命题甲和命题乙都为假命题 C. 命题甲为真命题，命题乙为假命题 D. 命题甲为假命题，命题乙为真命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于命题甲，连接三点，求解截面积，判断真假；对于命题乙，分类讨论水平面经过点的个数，结合体积公式以及基本不等式运算求解. 【详解】对于命题甲，过三点的截面，连接 可得如图所示，可得，与之间的距离为， 则截面积, 故甲是真命题; 对于命题乙，1.当处的小孔都在水平面时，则三棱台, 则所以容器所装水的多面体的体积, 2.当只有1个小孔在水平面上方时， （1）当处的小孔在水平面上方时，如图；当处的小孔在水平面上方时，如图；显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体的体积小，不会最大， （2）当处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为， ①当在线段上时，如图，设，，则， 因为正方体的体积为， 棱台的体积为， 可得，当且仅当，即时取等号， 所以棱台的体积无最小值，此时该容器可装水的体积小于. ②当在线段上时，如图，设，的中点为， 可知：水平面为平行四边形，且四棱锥与四棱锥的体积相同， 可知：多面体的体积与三棱柱的体积相同， 所以三棱柱的体积为， 此时该容器可装水的体积为. 综上所述：该容器可装水的最大体积为6. 故命题乙是真命题. 故选：A. 【点睛】分类讨论水平面经过点，的个数，结合图形分析求解. 三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. （2）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理得证. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. 18. 正方体ABCD—中，P、Q分别是与AB的中点. （1）求异面直线A1Q与所成角的大小（结果用反三角形式表示） （2）若直三棱柱的体积为，求四棱锥的体积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）若是中点，连接、、，易证为平行四边形，则，进而确定异面直线夹角的平面角，应用余弦定理、反三角函数求大小； （2）首先求出正方体的棱长，再应用棱锥的体积公式求体积. 【小问1详解】 若是中点，连接、、， 由Q是AB的中点，则且，即为平行四边形， 所以，故异面直线A1Q与所成角为或其补角， 若正方体棱长为2，易得， 所以，故异面直线A1Q与所成角为. 【小问2详解】 令正方体的棱长为a，则，可得， 所以. 19. 已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点. （1）求直线与平面所成的角的正切值； （2）证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 【答案】（1） （2） 证明：由题知，平面，平面， ，平面， 所以平面平面. 因为平面，平面， 所以， 又，平面，， 所以平面，又平面， 所以就是直线到平面的距离， 又为中点， 则， 即直线到平面的距离为. 【解析】 【分析】（1）根据直线与平面夹角的定义即可知即为直线与平面所成的角，然后利用线段长直接求解即可. （2）利用面面平行的判定定理直接证明即可；根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案. 【小问1详解】 因为平面，连接， 则即为直线与平面所成的角， 又，，， 为中点，可得，， 所以， 即直线与平面所成的角的正切值为. 【小问2详解】 略 20. 如图，底面是等腰梯形，，，，是平面外一点，是边长为的等边三角形． （1）在图中作出平面与平面的交线为（保留作图痕迹）； （2）若，求证：平面平面． 【答案】（1）延长，交于点，连接，直线即为所求交线． （2） 在平面内，过点作于， ，，所以， 在中，，，， 在中，， 所以， 因为，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）利用平面基本性质，找两平面的两个公共点，连线就是交线； （2）在底面等腰梯形中，计算边长，用勾股逆定理证，结合已知证得平面，再由面面垂直判定定理完成证明． 【小问1详解】 延长，交于点，连接，直线即为所求交线． 是两平面一个公共点， 因为平面，平面， 所以是两平面另一个公共点， 因此直线为平面与平面的交线． 【小问2详解】 略 21. 如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，. （1）证明：； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长. 【答案】（1）证明： 由题意，在四棱锥中，平面， 因为平面，所以， 又由四边形为直角梯形，所以， 因为，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）在四棱锥中， 平面，得到，由四边形为直角梯形，得到，再由线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到． （2）以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． （3）由（2），设，利用换元法求得，结合在上的单调性，即可计算得到结论． 【详解】（1）略； （2）以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 可得, 由题意，可得，又由，可得平面， 所以是平面的一个法向量， 又由， 设平面的法向量为， 由，取，可得， 所以， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为． （3）由（2）可得，设， 又，则， 又，从而， 设， 则， 当且仅当时，即时，的最大值为， 因为在上是减函数，此时直线与所成的角取得最小值， 又因为，所以. 【点睛】本题考查了线线垂直及线面的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 四、附加题（本大题共有2题，每题5分，共10分，高二（5）（6）（7）（8）班必做，其他班选做） 考生应在答题纸相应标号的空格内直接填写结果． 22. 《九章算术》中记录的“刍甍”是算学和建筑学术语，指的是一种类似隧道形状的几何体．如图，在“刍甍”中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且，则这个几何体的外接球的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由几何体的前后、左右对称性，确定外接球球心在过底面正方形中心且垂直于底面的对称轴上；计算底面正方形的外接圆半径，结合顶面与底面的边长差、等边三角形的边长条件，求出几何体的高；设球心到底面的距离为变量，根据底面顶点与上棱顶点到球心距离相等列方程，求解得到外接球半径，代入球的表面积公式计算结果. 【详解】该几何体左右、前后均对称，外接球的球心必在过底面正方形中心且垂直于底面的对称轴上， 因为底面是边长为的正方形，其对角线交点为（底面外接圆圆心），则底面外接圆半径. 设中点为，设点在底面的投影为. 因为平面且，，可知. 因为是边长为的等边三角形，所以， 在底面投影中，，故； 由勾股定理，几何体的高. 设中点为，则在对称轴上，，且. 设球心为，，则. 由外接球半径相等，得 ， 即 ，解得. 因此外接球半径， 外接球表面积为. 23. 如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.6米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米．（精确到0.1立方米） 【答案】 【解析】 【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为，设底面中心为， 截面中心为，则，， 所以，所以截面的面积为.    设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为，所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 所以帐篷围成几何体的体积为（立方米）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卢湾高级中学2026学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 考试时间：13:00—14:30 一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分） 1. “点A在直线上”用符号语言可以表示为_____________. 2. 若直线，直线，则直线b、c的位置关系为______.（用文字表述） 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为______． 4. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的母线长是___________. 5. 已知球的表面积是，则其体积是___________. 6. 已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中， ，那么原的面积是______. 7. 已知向量与平行，则______． 8. 如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则等于______. 9. 在棱长为2的正方体中，那么点到平面的距离为___________. 10. 已知底面圆的半径为，母线长为的圆柱， 是该圆柱的一条母线，一蜘蛛从绕圆柱一周爬到，则该蜘蛛爬行的最短路程为________________． 11. 若圆锥的轴截面为底角的等腰三角形，母线长为，则过此圆锥的两条母线的截面的面积的最大值为___________ 12. 勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体.如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为__________. 二、选择题（本题共有4题，满分16分，每题4分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 三个平面不可能将空间分成（ ）个部分 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 15. 如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（ ） A. B. C. D. 16. 已知正方体是一个棱长为2的正方体容器，，分别为，的中点，下列选项中正确的是（ ） 命题甲：过，，三点的截面面积为. 命题乙：若，，为三个小孔（孔的大小忽略不计），则此时容器的最大装水量为6 A. 命题甲和命题乙都为真命题 B. 命题甲和命题乙都为假命题 C. 命题甲为真命题，命题乙为假命题 D. 命题甲为假命题，命题乙为真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面. 18. 正方体ABCD—中，P、Q分别是与AB的中点. （1）求异面直线A1Q与所成角的大小（结果用反三角形式表示） （2）若直三棱柱的体积为，求四棱锥的体积. 19. 已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点. （1）求直线与平面所成的角的正切值； （2）证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 20. 如图，底面是等腰梯形，，，，是平面外一点，是边长为的等边三角形． （1）在图中作出平面与平面的交线为（保留作图痕迹）； （2）若，求证：平面平面． 21. 如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，. （1）证明：； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长. 四、附加题（本大题共有2题，每题5分，共10分，高二（5）（6）（7）（8）班必做，其他班选做） 考生应在答题纸相应标号的空格内直接填写结果． 22. 《九章算术》中记录的“刍甍”是算学和建筑学术语，指的是一种类似隧道形状的几何体．如图，在“刍甍”中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且，则这个几何体的外接球的表面积为_______． 23. 如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.6米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米．（精确到0.1立方米） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $