精品解析：上海市格致中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

格致中学 二〇二六学年度第一学期期中考试 高二年级 数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 一、填空题：（本题共有12个小题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分） 1. 若直线上有三个不同的点到平面的距离均为1，则直线与平面的位置关系为__________． 【答案】 直线与平面平行 【解析】 【详解】直线上有三个不同的点到平面的距离均为1，显然不可能相交，更不会是，只能是. 2. 已知圆锥的母线长为，底面半径为1，则该圆锥的体积为__________． 【答案】## 【解析】 【详解】由题意得，该圆锥的高为，则体积为. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，，则 4. 若一个奇函数的定义域为，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得的值，即可得的值. 【详解】解：若奇函数的定义域为，则，必有 故或； 若，则，必有，则，所以； 若，则，必有，则，所以； 综上：. 故答案为：. 5. 在正方体中，异面直线与所成角的大小为________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明出，可得出结果. 【详解】连接，如下图所示： 因为四边形为正方形，则， 在正方体中，平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，则， 因此，异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 6. 已知，，，若、和共面，则实数________． 【答案】 【解析】 【详解】若、和共面，则且， 所以，则，可得. 7. 已知且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，由，得到， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 8. 已知函数，对任意实数，方程都有解，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得值域为，再结合分段函数性质，分别计算在时及时的值域即可得. 【详解】由题意可得值域为，当时，， 则当时，对，有，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 9. 在正四面体中，和为侧面上互异的两点，则直线与平面所成角的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得可将问题转化为求侧面与底面的二面角，根据正四面体的性质与二面角的定义即可求解. 【详解】在正四面体中，侧面与底面的二面角，即为直线与平面所成角的最大值， 设正四面体棱长为2，取中点，此时应与重合， 设侧面与底面的二面角为， 因为，所以， 过向底面作垂线，易得垂足落在上， 因为棱长为2，则，进而， 故，则. 10. 如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距_________m． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，再由空间向量的模长的计算，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 而m、m，且m，水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为， 可知，又， 故， 故（m）, 故答案为： 11. 在三棱锥中，、、两两垂直且长度均为6，定长为的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在△内运动（含边界），若线段的中点的轨迹的面积为，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题设，易知的轨迹是以为球心，半径为的球面，利用球体的面积公式列方程，即可求. 【详解】由题意知：且， ∴△中，， 故的中点的轨迹是以为球心，以为半径的球面， ∴轨迹的面积，可得. 故答案为：. 12. 已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】由正方体可证平面，及，再由三角形面积可知点到的距离，即可判断点轨迹，即可得解. 【详解】 由连接， 由正方体可知，，，， 且，，平面， 则平面， 又平面， ， 同理， 又，，平面， 所以平面， 即平面，且， 设直线平面于点， 则，且为三角形中心， 又，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，， 又， 所以，即， 所以点的轨迹为圆上的三段弧，且每段弧所对的圆心角为， 则轨迹的长度为， 故答案为：. 二、选择题：（本题共有4个小题，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分，满分14分） 13. 已知，是复数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的性质及充分条件、必要条件求解即可． 【详解】当时，，此时， 当，若，则成立，同理也成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 14. 在空间中，下列命题为真命题的是（ ）． A. 若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； B. 若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直； C. 若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直； D. 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． 【答案】D 【解析】 【分析】ABC均可举出反例，D可利用线面平行的性质及线面垂直的性质进行证明. 【详解】A选项，若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线异面，平行或相交， 如图1，直线⊥，⊥，但与异面，故A错误； B选项，如图2，，，则， 故两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面不一定垂直，B错误； C选项，如图3，平面与平面垂直，交线为， 则过平面内一点的直线m垂直于交线，但m与另外一个平面平行，C错误； 选项D，如图4，直线，直线⊥，则，理由如下： 因为，，，所以， 因为⊥，，所以⊥，故，证毕. 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，D正确 故选：D 15. 已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，设，根据正n棱柱的结构特征，求出对应底面各顶点的x坐标，由可得对应的集合，进而得出对应的，即可求解. 【详解】如图，设AB所在的直线为x轴，过点A且与AB垂直的直线为y轴， 过点A且与平面垂直的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系， 则，得，设， 则. 因为该几何体为正n棱柱，所以上底面与下底面各顶点的x坐标对应相等. 当时，该几何体为正三棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有5个元素； 当时，该几何体为正方体，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有3个元素； 当时，该几何体为正六棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有9个元素； 当时，该几何体为正八棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则， 所以， 即，共有9个元素； 综上，当时，中的元素数量最少. 故选：B 16. 已知正方体，设直线平面，直线平面，记正方体12条棱所在直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能有4条直线与a异面； ②中可能有5条直线与a异面； ③中可能有8条直线与b异面； ④中可能有10条直线与b异面． A. ①②③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用异面直线的判断逐一分析即可得解. 【详解】当直线取时，中只有四条直线（、、、）与直线异面，故①正确； 因为直线平面，所以不可能与直线异面， 当直线过底面两个顶点时， 若直线为底面边所在直线，则由①可知，此时只有四条直线与直线异面； 若直线为底面对角线，不妨设为， 此时有超过5条直线与直线异面； 当直线只过底面一个顶点（不妨设过顶点）时， 此时至少有超过5条直线与直线异面； 当直线不过底面任何一个顶点时， 此时至少有超过5条直线与直线异面； 综上，中不可能有5条直线与a异面，故②错误； 当直线取线段AD中点与线段的中点连线时， 中除了AD和之外的10条棱均与直线异面，故④正确； 当直线取A点与线段的中点连线时， 中除了AD、、AB和之外的8条棱均与直线异面，故③正确； 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是对异面直线的充分理解. 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分．解题时要有必要的解题步骤） 17. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）设，，若关于的方程有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示及同角三角函数关系得，再把目标式化弦为切，代入求值即可； （2）由向量数量积的运算律与三角恒等变换化简函数式，利用余弦函数的性质求函数值域，结合方程有解列不等式求参数范围. 【小问1详解】 因为，则，即， 故. 【小问2详解】 因， 所以 因为，则，则，故， 因为关于的方程有解，则需使，解得， 故实数的取值范围是. 18. 已知圆柱的底面圆半径为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆．与母线所成角为． （1）已知，求圆柱的侧面积； （2）若圆柱体积为，求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，与母线所成的角等于，求出的长，结合圆柱的侧面积公式可求得； （2）取的中点，连接，分析可得，利用圆柱的体积可求得的值，再利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 连接，如图所示： 由题意可知，与母线所成的角等于， 因为底面，平面，则， 所以，，则， 所以，该圆柱的侧面积为. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以，该圆柱的体积为，解得， 取的中点，连接， 由正六边形的几何性质可得，，， 所以，，故， ，，则， 所以，， ， 易知，因为为的中点，则， 且，， 设点到平面的距离为，则，解得. 19. 长方体中，底面为边长为2的正方形，，点在棱上，且． （1）求直线与平面所成角的正切值； （2）一只小虫从顶点出发，沿着长方体的表面爬行到达，求小虫爬行的最短路径长度； （3）过线段作截面，使截面与底面所成锐二面角为，求该截面的面积． 【答案】（1） （2） （3）当时，截面面积为4；当时，截面面积为；当时，截面面积为. 【解析】 【分析】（1）找到直线与平面所成角，解直角三角形，即可求得答案； （2）分三种情况，利用平面展开图求解可得； （3）讨论的具体范围，确定截面形状，即可求得答案. 【小问1详解】 连接，长方体中，平面， 故即为直线与平面所成角； 由于， ，故， 在中，， 故. 【小问2详解】 如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 综上所述，小虫走过的最短路线的长为； 【小问3详解】 过线段作一个与底面成角的截面， 当时，截面即为底面四边形，面积为4； 设交于O，因为，故在中，， 故； 当时，不妨设截面与交于点N，连接， 则，而，故为截面与底面所成二面角的平面角， 即，故，则截面面积为； 当时，则截面为如图所示四边形，为等腰梯形， 设EF中点为P，连接，则，则， PO为梯形的高，， 由题意可知为等腰直角三角形，故， 故截面面积为. 20. 已知函数的定义域为.若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质. （1）分别判断：及是否具有性质；（结论不需要证明） （2）若函数的定义域为，且具有性质，证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件； （3）已知，设，若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求的值. 【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由如下： 因为指数函数的定义域为， 对于，，恒成立， 所以不存在满足， 因此函数不具有性质； 因为一次函数的定义域为， 对于，，取， 则，因此具有性质. （2）当时，由于函数具有性质， 取，则存在，使得， 所以，因此函数存在零点，即充分性成立； 当函数存在零点时， 设，，则， 因为对于任意，取，则， 且满足， 所以函数具有性质，但，即必要性不成立； 因此“”是“函数存在零点”的充分非必要条件. （3）或 【解析】 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）由定义结合必要不充分条件证明即可； （3）将问题转化为，再对进行分类讨论，求得的值域，结合的唯一性求得的值，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，存在唯一的实数，使得函数，具有性质， 即存在唯一的实数，对任意，都存在满足，即， 因为，则，故， 记的值域为，则， 当时，，，即， 所以，得，显然不唯一，不符合题意； 当时，的对称轴为，， 当，即时，在上递增，所以， 所以，得， 由于唯一，所以，解得，不符合题意； 当，即时，在上递增， 所以，则，得， 由于唯一，所以，解得，符合题意； 当，即时， 的最大值是，最小值是，则， 所以，得， 由于唯一，所以，解得，不符合题意； 当，即时， 的最大值是，最小值是，则， 所以，得， 由于唯一，所以，解得（舍去），满足题意； 综上，的值为或. 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点 （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件 （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 格致中学 二〇二六学年度第一学期期中考试 高二年级 数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 一、填空题：（本题共有12个小题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分） 1. 若直线上有三个不同的点到平面的距离均为1，则直线与平面的位置关系为__________． 2. 已知圆锥的母线长为，底面半径为1，则该圆锥的体积为__________． 3. 已知等差数列的前项和为，若，则__________． 4. 若一个奇函数的定义域为，则的值为______________． 5. 在正方体中，异面直线与所成角的大小为________. 6. 已知，，，若、和共面，则实数________． 7. 已知且，则的最小值为________． 8. 已知函数，对任意实数，方程都有解，则实数的取值范围是_____________. 9. 在正四面体中，和为侧面上互异的两点，则直线与平面所成角的最大值为______． 10. 如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距_________m． 11. 在三棱锥中，、、两两垂直且长度均为6，定长为的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在△内运动（含边界），若线段的中点的轨迹的面积为，则的值为______． 12. 已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为______. 二、选择题：（本题共有4个小题，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分，满分14分） 13. 已知，是复数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 在空间中，下列命题为真命题的是（ ）． A. 若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； B. 若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直； C. 若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直； D. 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． 15. 已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 16. 已知正方体，设直线平面，直线平面，记正方体12条棱所在直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能有4条直线与a异面； ②中可能有5条直线与a异面； ③中可能有8条直线与b异面； ④中可能有10条直线与b异面． A. ①②③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②④ 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分．解题时要有必要的解题步骤） 17. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）设，，若关于的方程有解，求实数的取值范围． 18. 已知圆柱的底面圆半径为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆．与母线所成角为． （1）已知，求圆柱的侧面积； （2）若圆柱体积为，求点到平面的距离． 19. 长方体中，底面为边长为2的正方形，，点在棱上，且． （1）求直线与平面所成角的正切值； （2）一只小虫从顶点出发，沿着长方体的表面爬行到达，求小虫爬行的最短路径长度； （3）过线段作截面，使截面与底面所成锐二面角为，求该截面的面积． 20. 已知函数的定义域为.若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质. （1）分别判断：及是否具有性质；（结论不需要证明） （2）若函数的定义域为，且具有性质，证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件； （3）已知，设，若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $